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2015 年福建省厦门市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2015•厦门）反比例函数y= 的图象是（ ）
A．线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线
2．（4分）（2015•厦门）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．6种
3．（4分）（2015•厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以
是（ ）
A．﹣2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3
4．（4分）（2015•厦门）如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为
D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长 B．线段CD的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
5．（4分）（2015•厦门）2﹣3可以表示为（ ）
A． 22÷25 B． 25÷22
C． 22×25 D． （﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
6．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．
若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A和∠B互为补角 B．∠B和∠ADE互为补角
C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角7．（4分）（2015•厦门）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（
x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元
8．（4分）（2015•厦门）已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（ ）
A．a2 B．2a C．b2 D．b
9．（4分）（2015•厦门）如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A
（0 ， ），B（1， ），C（2， ），则此函数的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
10．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过
点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•厦门）不透明的袋子里装有1个红球，1个白球，这些球除颜色
外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
12．（4分）（2015•厦门）方程x2+x=0的解是 ．13．（4分）（2015•厦门）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距
离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 km；若A
地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向．
14．（4分）（2015•厦门）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是
边AD的中点．若AC=10，DC=2 ，则BO= ，∠EBD的大小约为
度 分．（参考数据：tan26°34′≈ ）
15．（4分）（2015•厦门）已知（39+ ）×（40+ ）=a+b，若a是整数，1＜b＜2，则a=
．
16．（4分）（2015•厦门）已知一组数据1，2，3，…，n（从左往右数，第1个数是1，
第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n个数是n）．设这组数据的各数之和
是s，中位数是k，则s= （用只含有k的代数式表示）．
三、解答题（共11小题，满分86分）
17．（7分）（2015•厦门）计算：1﹣2+2×（﹣3）2．
18．（7分）（2015•厦门）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣2，0），C
（0，1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．19．（7分）（2015•厦门）计算： + ．
20．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若
DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
21．（7分）（2015•厦门）解不等式组 ．
22．（7分）（2015•厦门）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面
试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示．
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成
绩，谁将被录取？23．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的
中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
24．（7分）（2015•厦门）已知实数a，b满足a﹣b=1，a2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函
数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．
25．（7分）（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞
2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y= x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD
相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．26．（11分）（2015•厦门）已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．
（1）若b=1，c=3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出
点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
27．（12分）（2015•厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜
90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断
直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．2015 年福建省厦门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2015•厦门）反比例函数y= 的图象是（ ）
A．线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线
考 反比例函数的性质．菁优网版权所有
点：
分 根据反比例函数的性质可直接得到答案．
析：
解
解：∵y= 是反比例函数，
答：
∴图象是双曲线．
故选：D．
点 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
评：
（1）反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x
的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x
的增大而增大．
2．（4分）（2015•厦门）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．6种
考 专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
点：分 由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次
析： 这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况．
解 解：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次
答： 这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，
故选：C．
点 此题考查了正方体相对两个面上的数字，解决本题的关键是明确1～6中偶
评： 数有2，4，6三个．
3．（4分）（2015•厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以
是（ ）
A．﹣2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3
考 单项式．菁优网版权所有
点：
分 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系
析： 数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解 解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
答： A、﹣2xy2系数是﹣2，错误；
B、3x2系数是3，错误；
C、2xy3次数是4，错误；
D、2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
点 此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
评：
4．（4分）（2015•厦门）如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为
D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长 B．线段CD的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长考 点到直线的距离．菁优网版权所有
点：
分 根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的
析： 距离，可得点C到直线AB的距离是线段CD的长，据此解答即可．
解
答：
解：如图， ，
根据点到直线的距离的含义，可得
点C到直线AB的距离是线段CD的长．
故选：B．
点 此题主要考查了点到直线的距离的含义，要熟练掌握，解答此题的关键是要
评： 明确：点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长
度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这
个图形．
5．（4分）（2015•厦门）2﹣3可以表示为（ ）
A．22÷25 B．25÷22 C．22×25 D．（﹣2）×（﹣2）×
（﹣2）
考 负整数指数幂；有理数的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．菁优网
点： 版权所有
分 根据负整数指数幂、同底数幂的除法，即可解答．
析：
解 解：A、22÷25=22﹣5=2﹣3，故正确；
答： B、25÷22=23，故错误；
C、22×25=27，故错误；
D、（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=（﹣2）3，故错误；
故选：A．点 本题考查了负整数指数幂、同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记负整数
评： 指数幂、同底数幂的除法的法则．
6．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．
若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A和∠B互为补角 B．∠B和∠ADE互为补角
C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角
考 余角和补角．菁优网版权所有
点：
分 根据余角的定义，即可解答．
析：
解 解：∵∠C=90°，
答： ∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=∠ADE，
∴∠A+∠ADE=90°，
∴∠A和∠ADE互为余角．
故选：C．
点 本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记余角的定义．
评：
7．（4分）（2015•厦门）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（
x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元考 代数式．菁优网版权所有
点：
分
首先根据“折”的含义，可得x变成 x，是把原价打8折后，然后再用它减
析：
去10元，即是 x﹣10元，据此判断即可．
解 解：根据分析，可得
答：
将原价x元的衣服以（ x﹣10）元出售，
是把原价打8折后再减去10元．
故选：B．
点 此题主要考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）
评： 把数或表示数的字母连接而成的式子，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确“折”的含义．
8．（4分）（2015•厦门）已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（ ）
A．a2 B．2a C．b2 D．b
考 锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
点：
分 根据一个数的平方的含义和求法，由sin6°=a，可得sin26°=a2，据此解答即
析： 可．
解 解：∵sin6°=a，
答： ∴sin26°=a2．
故选：A．
点 （1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是
评： 要明确：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
（2）此题还考查了一个数的平方的含义和求法，要熟练掌握．
9．（4分）（2015•厦门）如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A
（0， ），B（1， ），C（2， ），则此函数的最小值是（ ）A．0 B． C．1 D．
考 函数的图象．菁优网版权所有
点：
分 根据函数图象的纵坐标，可得答案．
析：
解 解：由函数图象的纵坐标，得
答：
＞ ＞ ，
故选：B．
点 本题考查了函数图象，利用了有理数大大小比较．
评：
10．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过
点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
考 切线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
点：
分 连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，由AB=AC，D是边BC的中析： 点，得到AD是BC的中垂线，由于BC是圆的切线，得到AD必过圆心，由
于AE是圆的弦，得到AE的中垂线必过圆心，于是得到结论．
解 解：连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
答： ∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，
∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，
∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点，
故选C．
点 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，线段中垂线的性质，掌握切线
评： 的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•厦门）不透明的袋子里装有1个红球，1个白球，这些球除颜色
外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
考 概率公式．菁优网版权所有
点：
分 用红球的数量除以球的总数量即可求得摸到红球的概率．
析：
解 解：∵共2个球，有1个红球，
答：
∴P（摸出红球）= ，故答案为： ．
点 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总
评： 情况数之比．
12．（4分）（2015•厦门）方程x2+x=0的解是 x =0 ， x =﹣1 ．
1 2
考 解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
点：
专 计算题．
题：
分 利用因式分解法解方程．
析：
解 解：x（x+1）=0，
答： x=0或x+1=0，
所以x =0，x =﹣1．
1 2
故答案为x =0，x =﹣1．
1 2
点 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把
评： 方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再
解一次方程可得到一元二次方程的解．
13．（4分）（2015•厦门）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距
离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 5 km；若A地在C
地的正东方向，则B地在C地的 正北 方向．
考 勾股定理的应用；方向角．菁优网版权所有
点：
分 根据勾股定理来求AB的长度．由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B
地在C地的正北方向．析：
解 解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，
答： ∴AB= = =5（km）．
又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．
故答案是：5；正北．
点 本题考查了勾股定理的应用和方向角．勾股定理在实际问题中的应用：运用
评： 勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
14．（4分）（2015•厦门）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是
边AD的中点．若AC=10，DC=2 ，则BO= 5 ，∠EBD的大小约为 1 8 度
26 分．（参考数据：tan26°34′≈ ）
考 矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
点：
分 由在矩形ABCD中，AC=10，DC=2 ，根据矩形的对角线相等且互相平分，
析： 可求得BO的长，利用勾股定理即可求得AD的长，继而求得∠DAC的度
数，又由E是边AD的中点，可得△ABE是等腰直角三角形，继而求得答
案．
解 解：∵在矩形ABCD中，AC=10，
答： ∴BD=AC=10，
∴BO= BD=5，∵DC=2 ，
∴AD= =4 ，
∴tan∠DAC= = ，
∵tan26°34′≈ ，
∴∠DAC≈26°34′，
∴∠OAB=∠OBA=90°﹣∠DAC=63°26′，
∵E是AD的中点，
∴AE=AB=2 ，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠EBD=∠OBA﹣∠ABE=18°26′．
故答案为：5，18，26．
点 此题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知
评： 识．注意求得∠DAC=26°34′是关键．
15．（4分）（2015•厦门）已知（39+ ）×（40+ ）=a+b，若a是整数，1＜b＜2，则a=
1611 ．
考 有理数的混合运算．菁优网版权所有
点：
分 首先把原式整理，利用整式的乘法计算，进一步根据b的取值范围得出a的
析： 数值即可．
解
解：（39+ ）×（40+ ）
答：
=1560+27+24 +
=1611+
∵a是整数，1＜b＜2，
∴a=1611．
故答案为：1611．
点 此题考查有理数的混合运算，掌握运算的方法和数的估算是解决问题的关评： 键．
16．（4分）（2015•厦门）已知一组数据1，2，3，…，n（从左往右数，第1个数是1，
第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n个数是n）．设这组数据的各数之和
是s，中位数是k，则s= 2 k 2 ﹣ k （用只含有k的代数式表示）．
考 中位数．菁优网版权所有
点：
分 由于已知一组数据1，2，3，…，n（从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，
析： 第3个数是3，依此类推，第n个数是n），所以这组数据的中位数与平均数
相等，即可求出这组数据的各数之和s的值．
解 解：∵一组数据1，2，3，…，n（从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第
答： 3个数是3，依此类推，第n个数是n），
∴这组数据的中位数与平均数相等，
∵这组数据的各数之和是s，中位数是k，
∴s=nk．
∵ =k，
∴n=2k﹣1，
∴s=nk=（2k﹣1）k=2k2﹣k，
故答案为：2k2﹣k．
点 本题考查了中位数与平均数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到
评： 小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数
据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
组数据的中位数．平均数是所有数据的和除以数据的个数．
三、解答题（共11小题，满分86分）
17．（7分）（2015•厦门）计算：1﹣2+2×（﹣3）2．
考 有理数的混合运算．菁优网版权所有
点：
分 选算乘方，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．析：
解 解：原式=1﹣2+2×9
答： =﹣1+18
=17．
点 此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的关
评： 键．
18．（7分）（2015•厦门）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣2，0），C
（0，1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．
考 作图-旋转变换．菁优网版权所有
点：
分 根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接，再找出关于点
析： O对称的点位置，然后顺次连接即可．
解 解：作图如下：
答：
点 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的位置
评： 是方法是解题的关键，此题难度不大．
19．（7分）（2015•厦门）计算： + ．
考 分式的加减法．菁优网版权所有
点：
专 计算题．
题：
分 原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．析：
解
解：原式=
答：
=
=2．
点 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
评：
20．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若
DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
考 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
点：
分
根据平行线分线段成比例定理得出 = ，再根据AD=3，AB=5，即可得出
析：
答案．
解 解：∵DE∥BC，
答：
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ = ．
点 此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意准
评： 确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用．
21．（7分）（2015•厦门）解不等式组 ．考 解一元一次不等式组．菁优网版权所有
点：
分 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
析：
解
解： ，
答：
由①得：x＞1，
由②得：x≥﹣2，
不等式组的解集为：x＞1．
点 此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取
评： 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．（7分）（2015•厦门）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面
试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示．
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成
绩，谁将被录取？
考 加权平均数．菁优网版权所有
点：
分 根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答
析： 案．
解 解：甲的平均成绩为：（87×6+90×4）÷10=88.2（分），
答： 乙的平均成绩为：（91×6+82×4）÷10=87.4（分），
因为甲的平均分数较高，
所以甲将被录取．
点 此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4
评： 的权进行计算．23．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的
中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
考 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
点：
分 先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再
析：
由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD= BC=3，AD⊥BC，根据勾股定
理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE= AB，DF= AC，证
出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
解 解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
答：
∴AE=BE= AB，AF=CF= AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中， ，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD= BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB= = = ，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE= AB，DF= AC，
∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=2 ．
点 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角
评： 三角形斜边上的中线性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是
解决问题的关键．
24．（7分）（2015•厦门）已知实数a，b满足a﹣b=1，a2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函
数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．
考 反比例函数的性质；解一元一次不等式．菁优网版权所有
点：
分 首先根据条件a﹣b=1，a2﹣ab+2＞0可确定a＞﹣2，然后再分情况进行讨
析：
论：①当﹣2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y= 的最大值是y= ，最小值是y=a，②
当a＞0，1≤x≤2时，函数y= 的最大值是y=a，最小值是y= ，再分别根据最
大值与最小值之差是1，计算出a的值．
解 解：∵a2﹣ab+2＞0，
答： ∴a2﹣ab＞﹣2，
a（a﹣b）＞﹣2，
∵a﹣b=1，
∴a＞﹣2，
①当﹣2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y= 的最大值是y= ，最小值是y=a，
∵最大值与最小值之差是1，
∴ ﹣a=1，
解得：a=﹣2，不合题意，舍去；
②当a＞0，1≤x≤2时，函数y= 的最大值是y=a，最小值是y= ，
∵最大值与最小值之差是1，
∴a﹣ =1，
解得：a=2，符合题意，∴a的值是2．
点
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数 （k≠0），当
评：
k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大
而减小；
当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增
大而增大．
25．（7分）（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞
2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y= x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD
相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
考 矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
点：
专 证明题．
题：
分 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边
析： 形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行
四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．
解 证明：作EF⊥AB于点F，
答： ∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ABE和△CDE中，
，∴△ABE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=4，△AEB的面积是2，
∴EF=1，
∴AD=2EF=2，
∵平行四边形ABCD的面积为△ABE的面积的4倍，
∴S =8，
四边形ABCD
∴DA⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．
点 本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形
评： 是矩形，难度不大．
26．（11分）（2015•厦门）已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．
（1）若b=1，c=3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出
点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
考 二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．菁优网
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分 （1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；
析：（2）根据题意求得抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，从而求得点P（x﹣1，
x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，然后利用5点式画出
函数的图象即可．
解 解：（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．
答： ∴n=4+（﹣2）×1+3=5．
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），∴抛物线的对称轴x= =1，
∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，
令x﹣1=x′，
∴点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，
点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：
点 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数
评： 的最值等，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．
27．（12分）（2015•厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜
90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断
直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
考 切线的判定；等腰直角三角形．菁优网版权所有
点：
专 证明题．
题：分 （1）由∠ACD=∠ABC得到 = ，则AD=AB，加上EB=AD，则AB=EB，再
析： 根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判断△ABE是等腰
直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，则60°≤∠DCE＜90°，根据三角形边角
关系得AE≥AC，而OE＞AE，所以OE＞AC，作OH⊥EF于H，如图，根据含
30度的直角三角形三边的关系得OH= OE，所以OH＞OA，则根据直线与
圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离．
解 （1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
答： ∴∠ACD=∠ACB，
∴ = ，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH= OE，
∴OH＞OA，
∴直线EF与⊙O相离．点 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
评： 切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为
半径），再证垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置
关系．
