文档内容
2013年厦门市中考
数 学
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
准考证号 姓名 座位号
注意事项：
1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
3．可直接用2B铅笔画图．
一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一
个选项正确）
1．下列计算正确的是
A．－1＋2＝1． B．－1－1＝0． C．(－1)2＝－1． D．－12＝1．
2．已知∠A＝60°，则∠A的补角是
A．160°． B．120°．
主 左
C．60°． D．30°． 视 视
3．图1是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 图 图
A．圆锥． B．球．
俯
C．圆柱． D．正方体． 视
4．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上 图
图1
一面的点数为5的概率是
A．1． B．． C．． D．0．
5．如图2，在⊙O中，\s\up8(︵)＝\s\up8(︵)，∠A＝30°，则∠B＝
A．150°． B．75°． A
C．60°． D．15°．
6．方程＝的解是
A．3． B．2． O
C．1． D．0．
B C
图2
7．在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别为点
O，A.若点O（0，0），A（1，4），则点O，A 的坐标分别是
1 1 1 1
A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）．
C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）．
二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
A
8．－6的相反数是 ．
9．计算：m2·m3＝ ． D E
10．式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
B C
是 ．
图3
11．如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，
DE＝2，则BC＝ ．
12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 3 2 4 1则这些运动员成绩的中位数是 米．
13．x2－4x＋4= ( ) 2 ．
14．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，
则常数m的取值范围是 ．
A D
15．如图4，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E， E
F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24厘米，
O
△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 厘米． F
B C
16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外图4的安全区域．甲工
人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 0.01
米/秒，
步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保
甲工人的安全，则导火线的长要大于 米．
17．如图5，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），
点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M
在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，且则点M
的坐标是 ( ， ) ．
三、解答题（本大题有9小题，共89分）
18．（本题满分21分）
（1）计算：5a＋2b＋(3a—2b)；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（－4,1），
B（－2,0），C（－3, －1）,请在图6上[来源:Zxxk.Com]
画出△ABC，并画出与△ABC关于
原点O对称的图形； D C
[来源:学&科&网]
（3）如图7，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∠ABC＝50°. 求证：AB∥CD.
A B
19．（本题满分21分） 图7
（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示：
郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷
A 20 0.15
B 5 0.20
C 10 0.18
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：
－ ，其中x＝＋1， y＝2—2；
D
（3）如图8，已知A，B，C，D 是⊙O上的四点，
延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE． C
求证：△ADE是等腰三角形. O
E
A B
图8
~
20．（本题满分6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1 12这12个整数（每
A D
个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正12面体一次，记事件A
E
B C
图9为 “向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为 “向上一面的数字是3的整数
倍”，请你判断等式“P(A)＝＋P(B)”是否成立，并说明理由.
21.（本题满分6分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，
对角线AC，BD相交于点E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，
梯形ABCD的高是，面积是54.求证：AC⊥BD.
22．（本题满分6分）一个有进水管与出水管的容器，
从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的
9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是
常数.容器内的水量y（单位：升）与时间
x（单位：分）之间的关系如图10所示.
当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.
23．（本题满分6分）如图11，在正方形ABCD中，点G是边 A D
BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于
E
点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH.
F
求证：∠ABH＝∠CDE.
H
B G C
图11
24．（本题满分6分）已知点O是坐标系的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝交于两个
不同的点A（m，n）(m≥2)和B（p，q）,直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C ，求△OBC的
面积S的取值范围．
25．（本题满分6分）如图12，已知四边形OABC是菱形，
B C
∠O＝60°，点M是OA的中点.以点O为圆心， E
r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，
连接BM.若BM＝， \s\up8(︵)的长是．[来源:学科网]
A D M O
求证：直线BC与⊙O相切.
图12
[来源:学|科|网]
26．（本题满分11分）若x，x 是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且＋
1 2
＝2（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，
x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次
方程”，并说明理由.福建省厦门市 2013 年中考数学试卷答案与解析
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分。每小题都有四个选项，其中有且只有一
个选项正确）
1．（3分）（2013•厦门）下列计算正确的是（ ）
A．﹣1+2=1 B．﹣1﹣1=0 C．（﹣1）2=﹣1 D．﹣12=1
考点：有理数的乘方；有理数的加法；有理数的减法．
分析：根据有理数的加减法运算法则，有理数的乘方对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、﹣1+2=1，故本选项正确；
B、﹣1﹣1=﹣2，故本选项错误；
C、（﹣1）2=1，故本选项错误；
D、﹣12=﹣1，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的加减运算，要特别注意﹣12和（﹣1）2的区别．2．（3分）（2013•厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（ ）
A．160° B．120° C．60° D．30°
考点：余角和补角．
分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．
解答：解：∵∠A=60°，
∴∠A的补角=180°﹣60°=120°．
故选B．
点评：本题考查了余角和补角，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．
3．（3分）（2013•厦门）如图是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．正方体
考点：由三视图判断几何体．
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体
应该是圆柱．
故选C．
点评：本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三
种视图的空间想象能力和综合能力．
4．（3分）（2013•厦门）掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上一面的点数为5的
概率是（ ）
A．1 B． C． D．0
考点：概率公式．
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总
数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：∵任意抛掷一个均匀的正方体骰子，朝上的点数总共会出现6种情况，且每一种情
况出现的可能性相等，而朝上一面的点数为5的只有一种，
∴朝上一面的点数为5的概率是 ．
故选C．
点评：本题考查概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）（2013•厦门）如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）A．150° B．75° C．60° D．15°
考点：圆心角、弧、弦的关系．
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分析：先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等
腰三角形的两个底角相等得出∠B=∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即
可．
解答：解：∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故选B．
点评：本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等
弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．
6．（3分）（2013•厦门）方程 的解是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：2x=3x﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选A
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（3分）（2013•厦门）在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O、A
的对应点分别为点O 、A ．若点O（0，0），A（1，4），则点O 、A 的坐标分别是（ ）
1 1 1 1
A．（0，0），（1，4）B．（0，0），（3，4）C．（﹣2，0），（1，4）D．（﹣2，0），（﹣1，4）
考点：坐标与图形变化-平移．
分析：根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变求出点O 、A 的坐标即可得解．
1 1
解答：解：∵线段OA向左平移2个单位，点O（0，0），A（1，4），
∴点O 、A 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，4）．
1 1
故选D．
点评：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移
减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
8．（4分）（2013•厦门）﹣6的相反数是 6 ．
考点：相反数．
分析：求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
解答：解：根据相反数的概念，得
﹣6的相反数是﹣（﹣6）=6．
点评：此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相
等．
9．（4分）（2013•厦门）计算：m2•m3= m 5 ．
考点：同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
解答：解：m2•m3=m2+3=m5．
故答案为：m5．
点评：本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，熟记性质是解题的关键．
10．（4分）（2013•厦门）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ 3 ．
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
解答：解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．（4分）（2013•厦门）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= 6 ．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC．
解答：解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，即 =
解得：BC=6．
故答案为：6．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握：相似三角形的对应边
成比例．
12．（4分）（2013•厦门）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下
表
成绩（米）1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数（个）2 3 3 2 4 1
则这些运动员成绩的中位数是 1.6 5 米．
考点：中位数．
专题：计算题．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为
中位数．
解答：解：按从小到大的顺序排列后，
最中间的数是1.65，
所以中位数是1.65（米）．
故答案为1.65．
点评：考查中位数的意义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数
个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找
中间两位数的平均数．
13．（4分）（2013•厦门）x2﹣4x+4=（ x﹣ 2 ）2．
考点：因式分解-运用公式法．
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分析：利用完全平方公式分解因式即可．
解答：解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．
故答案为：x﹣2．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
14．（4分）（2013•厦门）已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则常数m的取
值范围是 m ＞ 1 ．
考点：反比例函数的性质．
分析：根据反比例函数的图象关于原点对称可得到图象的另一分支所在的象限及m的取值
范围．
解答：解：∵反比例函数的图象关于原点对称，图象一支位于第一象限，
∴图象的另一分支位于第三象限；
∴m﹣1＞0，
∴m＞1；
故答案为：m＞1．
点评：本题考查的是反比例函数的图象和反比例函数的性质，即
①反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；
②当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减
小．
15．（4分）（2013•厦门）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段
AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 3 厘米．
考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析：根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF= AB=3cm．
故答案为：3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，
三角形中位线的判定定理及性质．
16．（4分）（2013•厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外
的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速
度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导
火线的长要大于 1. 3 米．
考点：一元一次不等式的应用
分析：计算出工人转移需要的最短时间，然后即可确定导火线的最短长度．
解答：解：设导火线的长度为x，
工人转移需要的时间为： + =130秒，
由题意得，x≥130×0.01m/s=1.3m．
故答案为：1.3．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题关键是确定工人转移需要的时间．
17．（4分）（2013•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0， ），点A在第一
象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对
称，则点M的坐标是（ 1 ， ）．
考点：轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形
分析：根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出
AO的长度，然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦值列式求出AM的
长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可．
解答：解：∵点B（0， ），
∴OB= ，
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称，
∴OB=OE= ，
∵点E是线段AO的中点，∴AO=2OE=2 ，
根据勾股定理，AB= = =3，
tan∠A= = ，
即 = ，
解得AM=2，
∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，
∴点M的坐标是（1， ）．
故答案为：（1， ）．
点评：本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并
作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共89分）
18．（21分）（2013•厦门）（1）计算：5a+2b+（3a﹣2b）；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣1）．请在图1上画出
△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形；
（3）如图2所示，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°．求证：AB∥CD．
考点：作图-旋转变换；整式的加减；平行线的判定
分析：（1）根据整式的加减法则直接去括号合并同类项即可得出；
（2）根据点的坐标得出△ABC，再利用关于原点对称点坐标性质得出与△ABC关于原
点O对称的图形即可；
（3）利用三角形内角和定理得出∠A=70°，再利用平行线的判定得出AB∥CD．
解答：（1）解：5a+2b+（3a﹣2b）
=5a+3a+2b﹣2b
=8a．
（2）解：如图所示：△A′B′C′与△ABC关于原点O对称；（3）证明：∵∠ACB=60°，∠ABC=50°，
∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，
∵∠ACD=70°，
∴AB∥CD．
点评：此题主要考查了整式的加减以及平行线的判定和关于原点对称点的图形画法等知识，
根据已知得出对应点位置是解题关键．
19．（21分）（2013•厦门）（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷
A 20 0.15
B 5 0.20
C 10 0.18
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值： ，其中 ， ；
（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：
△ADE是等腰三角形．
考点：圆周角定理；分式的化简求值；等腰三角形的判定；加权平均数．
分析：（1）求出总面积和总人口，再相除即可；
（2）先算加法，再化成最简分式，再代入求出即可；
（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．
解答：
解：（1）甲市郊县所有人口的人均耕地面积是 ≈0.17
（公顷）；
（2）原式=
=
=x﹣y，
当x= +1，y=2 ﹣2时，
原式= +1﹣（2 ﹣2）=3﹣ ；
（3）∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠E，
∴∠A=∠E，
∴AD=DE，
即△ADE是等腰三角形．
点评：本题考查了分式求值，四点共圆，等腰三角形的性质和判定，求平均数等知识点的应
用，主要考查学生的推理和计算能力．
20．（6分）（2013•厦门）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1～12这12个整数
（每个面只有一个整数且互不相同）．投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的数
字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式P
（A）= +P（B）是否成立，并说明理由．
考点：概率公式．
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分析：让向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的情况数除以总情况数即为事件A所求的
概率，进而得出事件B的概率，进而得出答案．
解答：解：不成立；
理由：
∵投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，
∴符合要求的数有：2，3，4，6，8，9，10，12一共有8个，
则P（A）= ，
∵事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，
∴符合要求的数有：3，6，9，12一共有4个，
则P（B）= ，
∵ + = ≠ ，
∴P（A）≠ +P（B）．
点评：此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
21．（6分）（2013•厦门）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若
AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是 ，面积是54．求证：AC⊥BD．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；梯形．
专题：证明题．
分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作
DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股
定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD．
解答：证明：∵AD∥BC，
∴△EAD∽△ECB，
∴AE：CE=DE：BE，
∵AE=4，CE=8，DE=3，
∴BE=6，
S梯形= （AD+BC）× =54，
∴AD+BC=15，
过D作DF∥AC交BC延长线于F，
则四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD，
∴BF=AD+BC=15，
在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，
∴BD2+DF2=BF2，
∴BD⊥DF，
∵AC∥DF，
∴AC⊥BD．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、梯形的面积公式以
及勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．
22．（6分）（2013•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，
在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）
与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．考点：一次函数的应用
分析：分别求出0≤x＜3和3≤x≤12时的函数解析式，再求出y=5时的x的值，然后根据函数
图象写出x的取值范围即可．
解答：解：①0≤x＜3时，设y=mx，
则3m=15，
解得m=5，
所以，y=5x，
②3≤x≤12时，设y=kx+b，
∵函数图象经过点（3，15），（12，0），
∴ ，
解得 ，
所以，y=﹣ x+20，
当y=5时，由5x=5得，x=1，
由﹣ x+20=5得，x=9，
所以，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1＜x＜9．
点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，以及已知函
数值求自变量的方法．
23．（6分）（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，
垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：
∠ABH=∠CDE．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，再根据同角的余角相等求出
∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△ABG和△DAF全等，根据全等三角形对应边相
等可AF=BG，AG=DF，全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BGA，然后求出
EF=HG，再利用“边角边”证明△AEF和△BHG全等，根据全等三角形对应角相等可
得∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，最后根据等角的余角相等证明即可．
解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠2+∠EAD=90°，
又∵∠1+∠EAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABG和△DAF中， ，∴△ABG≌△DAF（ASA），
∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA，
∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，
∴EF=HG，
在△AEF和△BHG中， ，
∴△AEF≌△BHG（SAS），
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，
∠3+∠ABH=∠ABC=90°，
∴∠ABH=∠CDE．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角或同角的余角相等的性质，
本题难点在于两次证明三角形全等，用阿拉伯数字加弧线表示角可以更形象直观．
24．（6分）（2013•厦门）已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=﹣x+m+n与双曲线
交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直线y=﹣x+m+n与y轴交于点C，求△OBC
的面积S的取值范围．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：先确定直线y=﹣x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为
（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关
于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S = （m+n）
△OBC
•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．
解答：解：如图，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，
∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），
∴S=S = （m+n）•n= mn+ n2，
△OBC
∵点A（m，n）在双曲线 上，
∴mn=1，即n=
∴S= + （ ）2
∵m≥2，
∴0＜ ≤ ，
∴0＜（ ）2≤ ，
∴ ＜S≤ ．点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的
交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一次函数的性质．
25．（6分）（2013•厦门）如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中
点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM= ， 的长
是 ．求证：直线BC与⊙O相切．
考点：切线的判定；菱形的性质；弧长的计算．
专题：证明题．
分析：过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设
菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG2+GM2=BM2，即（
a）2+（2a）2=（ ）2，求得a=1，得到OF= ，再根据弧长公式求出r= ，则圆心O
到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切．
解答：证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，
OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM= OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°﹣60°=30°，
∴AG= AB=a，BG= AG= a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG= a，GM=a+a=2a，BM= ，
∴BG2+GM2=BM2，即（ a）2+（2a）2=（ ）2，
解得a=1，
∴OF=BG= ．
∵ 的长= = ，
∴r= ，∴OF=r= ，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．
点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，弧长的计算公式，切线的判定，综合性较强，难度
适中，利用菱形的性质及勾股定理求出a的值是解题的关键．
26．（11分）（2013•厦门）若x ，x 是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x |+|x |=2|k（| k
1 2 1 2
是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，
，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方
程”，并说明理由．
考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
专题：阅读型；新定义．
分析：（1）求出原方程的根，再代入|x |+|x |看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
1 2
（2）由条件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以
表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x |+|x |就可以得出结论．
1 2
解答：解：（1）不是，
解方程x2+x﹣12=0得，x =3，x =﹣4．
1 2
|x |+|x |=3+4=7=2×3.5．
1 2
∵3.5不是整数，
∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb2+n，
当b=﹣6，c=﹣27时，
﹣27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=﹣ ，
∴c=﹣ b2．
∵ 是偶系二次方程，
当b=3时，c=﹣ ×32．
∴可设c=﹣ b2．
对于任意一个整数b，c=﹣ b2时，△=b2﹣4c，
=4b2．
x= ，
∴x = b，x = b．
1 2
∴|x |+|x |=2b，
1 2
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=﹣ b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及
数学建模思想的运用，解答本体时根据条件特征建立模型是关键．
