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2011 年福建省厦门市中考数学试题
一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分）
1．化简|－2|等于【 】
A．2 B．－2 C．±2 D．
2．下列事件中，必然事件是【 】
A．掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．抛掷一枚普通的硬币，掷得的结果不是正面就是反面
D．从装有99个红球和1个白球的布袋中随机取出一个球，这个球是红球
3．下列物体中，俯视图为矩形的是【 】
A． B． C． D．
4．下列计算结果正确的是【 】
B
A．a·a＝a2 B．(3a)2＝6a2
C．(a＋1)2＝a2＋1 D．a＋a＝a2 C
5．如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，
D
则下列旋转方式中，符合题意的是【 】
A
A．顺时针旋转90º B．逆时针旋转90º
C．顺时针旋转45º D．逆时针旋转45º E
6．已知⊙O、⊙O 的半径分别为5和2，OO＝3，则⊙O 与⊙O 的位置关系为【 】
1 2 1 2 1 2
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切 A O B
7．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．
当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高【 】
A．2m B．4m C．4.5m D．8m
二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
8．的相反数是 ．
9．若∠A＝30º，则∠A的补角是 ．
10．将1 200 000用科学记数法表示为 ．
11．某年6月上旬，厦门市最高气温如下表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高气温(ºC) 30 28 30 32 34 31 27 32 33 30
那么，这些日最高气温的众数为 ºC．
12．若一个n边形的内角和为720º，则边数n＝ ． C
13．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB＝6cm，
则AE＝ cm．
O
14．在△ABC中，若∠C＝90º，AC＝1，AB＝5，则sinB＝ ．
A E B
15．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥
D
的侧面积是 cm2．
16．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD＝1，那么
当AE＝ 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．C y
y＝x
11
B 9
7
· 5
D
A 3
1
O x
1 3 5 7 9 11
17．如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y＝x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、…所对应的
点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S、S、S、…、S、…．则S＝
1 2 3 n 1
，S＝ ．
n
三、解答题（本大题有9小题，共89分）
18．(本题共3小题，满分18分)
(1)计算：－1＋3×(―2)2―；
(2)解不等式组：
(3)化简：·．
19．(8分)甲袋中有三个红球，分别标有数字1、2、3；乙袋中有三个白球，分别标有数字2、3、4．这
些球除颜色和数字外完全相同．小明先从甲袋中随机摸出一个红球，再从乙袋中随机摸出一
个白球．请画出树状图，并求摸得的两球数字相同的概率．
20．(8分)如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点． A E D
求证：∠EBC＝∠ECB．
B C21．(8分)甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A、C两城的
距离为360km，B、C两城的距离为320km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达
C城．
设乙车的速度为xkm/h．
(1)根据题意填写下表：
行驶的路程(km) 速度(km/h) 所需时间(h)
甲车 360
乙车 320 x
(2)求甲、乙两车的速度．
22．(8分)已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，m)、B(－4，n)．
(1)求一次函数的关系式； y
(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并
4
根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于
反比例函数的值？
－4 O 4 x
－4
23．(8分)如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，
BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．
A
(1)求证：AD为⊙O的切线； E
(2)若AC＝2，tan∠ABD＝2，求⊙O的直径．
D
B C
O24．(10分)已知关于x的方程x2―2x―2n＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
25．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90º，∠B＝∠D．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形； A D
(2)若AB＝3cm，BC＝5cm，AE＝AB，点P从B点出发，
E·
以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，
则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角
B C形？
26．(11分)已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C
是线段AB上一点(不与点A、B重合)，过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P．
(1)若点C(1，a)是线段AB的中点，求点P的坐标；
(2)若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC＝CP，求△OEP的面积S的取值范围．
答案与解析
1、（2011•厦门）化简|﹣2|等于（ ）A、2 B、﹣2 C、±2 D、
考点：绝对值。
分析：根据负数的绝对值是它的相反数直接进行化简即可．
解答：解：|﹣2|=2．
故选A．
点评：本题考查了绝对值，注意正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对
值是0．
2、（2011•厦门）下列事件中，必然事件是（ ）
A、掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是1 B、掷一枚普通的正方体骰
子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C、抛掷一枚普通的硬币，掷得的结果不是正面就是反面 D、从装有99个红球和1个白球
的布袋中随机取出一个球，这个球是红球
考点：随机事件。
分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
解答：解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是必然事件，故选项正确；
D、是随机事件，故选项错误．
故选C．
点评：本题考查了必然事件的定义，关键是理解必然事件的定义．
3、（2011•厦门）下列物体中，俯视图为矩形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：简单几何体的三视图。
分析：根据各个立体图形的俯视图进行逐一分析判断．
解答：解：A、其俯视图是圆，故本选项不符合；
B、其俯视图是圆，故本选项不符合；
C、其俯视图是矩形，故本选项符合；
D、其俯视图是圆，故本选项不符合．故选C．
点评：此题考查了各类立体图形的俯视图．
4、（2011•厦门）下列计算结果正确的是（ ）
A、a•a=a2 B、（3a）2=6a2C、（a+1）2=a2+1 D、a+a=a2
考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
专题：常规题型。
分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘；完全平方公式；合并同类项法则对各选项分析判断后利用排除法．
解答：解：A、a•a=a2，正确；
B、应为（3a）2=9a2，故本选项错误；
C、应为（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；
D、应为a+a=2a，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方．理清指数的变化是解题的关键．
5、（2011•厦门）如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，
符合题意的是（ ）
A、顺时针旋转90° B、逆时针旋转90°
C、顺时针旋转45° D、逆时针旋转45°
考点：旋转的性质。
分析：此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．
解答：解：根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE．
故选B．
点评：本题主要考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角
度．
6、（2011•厦门）已知⊙O 、⊙O 的半径分别为5和2，O O =3，则⊙O 与⊙O 的位置关系为（ ）
1 2 1 2 1 2
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O 、⊙O 的半径分别为5和2，O O =3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
1 2 1 2
的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O 、⊙O 的半径分别为5和2，O O =3，
1 2 1 2
又∵5﹣2=3，
∴⊙O
1
与⊙O
2
的位置关系为内切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题那比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系
与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
7、（2011•厦门）如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长
臂外端B升高（ ）
A、2m B、4m C、4.5m D、8m
考点：相似三角形的应用。
分析：栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题．
解答：解：设长臂端点升高x米，
则 ，
∴x=4．
故选：B．
点评：此题是相似三角形在实际生活中的运用，比较简单．
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二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
8、（2011•厦门） 的相反数是 ﹣ ．
考点：相反数。
专题：计算题。
分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．解答：解： +（﹣ ）=0，
故 的相反数是﹣ ，
故答案为﹣ ．
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点评：本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题．
9、（2011•厦门）若∠A=30°，则∠A的补角是 150 ° ．
考点：余角和补角。
专题：常规题型。
分析：根据补角的和等于180°计算即可．
解答：解：∵∠A=30°，
∴∠A的补角是180°﹣30°=150°．
故答案为：150°．
点评：本题考查了补角的和等于180°的性质，需要熟练掌握．
10、把1200000用科学记数法表示为 1.2×1 0 6．
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1
时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
1200000中a为1.2，小数点移动了6，即n=6．
解答：解：将1200000用科学记数法表示为1.2×106．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11、（2011•厦门）某年6月上旬，厦门市最高气温如下表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高气温（℃） 30 28 30 32 34 31 27 32 33 30
那么，这些日最高气温的众数为 3 0 ℃．
考点：众数。分析：根据众数的定义就可以解答．
解答：解：30出现3次是最多的数，所以众数为30．
故答案为30．
点评：本题考查了众数的定义，组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
12、（2011•厦门）若一个n边形的内角和为720°，则边数n= 6 ．
考点：多边形内角与外角。
分析：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求
出边数．
解答：解：由题意可得：（n﹣2）•180°=720°，
解得：n=6．
所以，多边形的边数为6．
故答案为6．
点评：此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
13、（2011•厦门）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE= 3 cm．
考点：垂径定理；勾股定理。
分析：由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，根据垂径定理，即可求得AE的长．
解答：解：∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE= AB，
∵AB=6cm，
∴AE=3cm．
故答案为：3．
点评：此题考查了垂径定理的知识．此题比较简单，解题的关键是熟记垂径定理，注意数形结合
思想的应用．
14、（2011•厦门）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB= ．考点：锐角三角函数的定义。
专题：数形结合。
分析：利用锐角三角函数的定义知：锐角的正弦值= ．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），
sinB= = ．
故答案是： ．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义．①正弦（sin）等于对边比斜边； ②余弦（cos）等于邻边
比斜边； ③正切（tan）等于对边比邻边； ④余切（cot）等于邻边比对边； ⑤正割（sec）等于斜边
比邻边； ⑥余割 （csc）等于斜边比对边．
15、（2011•厦门）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 18π
cm2．
考点：圆锥的计算。
专题：计算题。
分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
解答：解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，
[来源:21世纪教育网]
∴圆锥的侧面积为π×3×6=18πcm2．
故答案为18π．
点评：考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
16、（2011•厦门）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果
AD=1，那么当AE= 2 或 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．考点：相似三角形的性质。
专题：网格型。
分析：首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= =6 ，然后分别从若△ADE∽△ABC
与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解．
解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC= =6 ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE=2 ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，∴当AE=2 或 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为：2 或 ．
点评：此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类
讨论思想的应用．
17、（2011•厦门）如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、
9、…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S 、S 、S 、…、
1 2 3
S 、…．则S = 4 ，S = 4 （ 2n﹣ 1 ） ．
n 1 n
考点：一次函数综合题。
专题：规律型。
分析：由图得，S = =4，S = =12，S = =20，…，S =4（2n﹣
1 2 3 n
1）．
解答：解：由图可得，
S = =4=4（2×1﹣1），
1
S = =12=4（2×2﹣1），
2
S = =20=4（2×3﹣1），
3
…，∴S =4（2n﹣1）．
n
故答案为：4；4（2n﹣1）．
点评：本题主要考查了一次函数综合题目，根据S 、S 、S ，找出规律，是解答本题的关键．
1 2 3
三、解答题（本大题有9小题，共89分）
18、（2011•厦门）（1）计算：﹣1+3×（﹣2）2﹣ ；
（2）解不等式组： ；
（3）化简： • ．
考点：分式的混合运算；实数的运算；解一元一次不等式组。
分析：（1）实数的基本运算．搞清楚运算的先后顺序及各种运算的法则；
（2）解不等式组．求每个不等式解集的公共部分；
（3）分式的混合运算．注意通分、约分的方法．
解答：解：（1）原式=﹣1+3×4﹣4=﹣5+12=7；
（2）由 x+1＞2 得 x＞1；
由 x﹣1＜3 得 x＜4．
所以不等式组的解集为 1＜x＜4；
（3）原式= =a．
点评：此题考查实数的运算、解不等式组、分式的运算等知识点，难度中等．
19、（2011•厦门）甲袋中有三个红球，分别标有数字1、2、3；乙袋中有三个白球，分别标有数字2、3、
4．这些球除颜色和数字外完全相同．小明先从甲袋中随机摸出一个红球，再从乙袋中随机摸出
一个白球．请画出树状图，并求摸得的两球数字相同的概率．考点：列表法与树状图法。
专题：图表型。
分析：首先根据题意画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两球的数字相同的
情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图可得
共有9种等可能的结果，数字相同的有2种，
∴P（两个球上的数字相同）= ．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所
有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、（2011•厦门）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点．
求证：∠EBC=∠ECB．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：要证出∠EBC=∠ECB，只需证明△BEC是等腰三角形，一般采用证边或证角相等，由此
考虑到用三角形全等进行证明．
解答：证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD．
∵E是AD中点，
∴AE=DE．
∴△ABE≌△DCE．
∴BE=CE．
∴△BEC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB．
点评：此题主要利用矩形的性质及三角形全等的判定来证明△BEC为等腰三角形，从而证明∠EBC=∠ECB．
21、（2011•厦门）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A、C
两城的距离为360km，B、C两城的距离为320km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同
时到达C城．设乙车的速度为xkm/h．
（1）根据题意填写下表：
行驶的路程（km） 速度（km/h） 所需时间（h）
甲车 360 x+1 0
乙车 320 x
（2）求甲、乙两车的速度．
考点：分式方程的应用。
专题：行程问题。
分析：（1）设乙的速度是x千米/时，那么甲的速度是（x+10）千米/时，根据时间= 可求甲、乙
两辆汽车所需时间；
（2）路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
解答：解：（1）甲的速度是（x+10）千米/时，
甲车所需时间是 ，
乙车所需时间是； ；
（2）设乙的速度是x千米/时，甲的速度是（x﹣10）千米/时，依题意得：
= ，
解得x=80
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经检验：x=80是原方程的解
x+10=90答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．
点评：本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，根据时间= ，列方程求解．
22、（2011•厦门）已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于点A（﹣1，m）、B（﹣4，n）．
（1）求一次函数的关系式；
（2）在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数
的值大于反比例函数的值？
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：探究型。
分析：（1）先把A、B两点坐标代入反比例函数解析式即可求出m、n的值，进而可得出A、B两
点的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出k、b的值，进而可得出其关系
式；
（2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象，再利用数形结合进行解答即可．
解答：解：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式得，m= =﹣4；
把B点坐标代入反比例函数解析式得，n= =﹣1；
故A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），代入一次函数y=kx+b得， ，解得 ，
故一次函数的关系式为：y=﹣x﹣5；
（2）如图所示：
∵由函数图象可知，当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、利用描点法画一次函数及反比例函数
的图象及用待定系数法求一次函数的解析式，熟知以上知识是解答此题的关键．
23、（2011•厦门）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足
为D．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AC=2 ，tan∠ABD=2，求⊙O的直径．
考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。
专题：计算题；证明题。分析：（1）先连接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE=∠ABO，而∠ABO=∠BAO，易得
∠BAO=∠ABD，结合AD⊥BE，易求∠BAO+∠BAD=90°，即∠DAO=90°，从而可证AD是⊙O
切线；
（2）由于BC是直径，那么∠BAC=90°，而∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，易得tan∠ABO=2，在
Rt△ABC中，易求AB，进而可求BC．
解答：解：如右图所示，连接OA．
（1）∵BA平分∠CBE，
∴∠ABE=∠ABO，
又∵∠ABO=∠BAO，
∴∠BAO=∠ABD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠BAD=90°，
即∠DAO=90°，
∴AD是⊙O切线；
（2）∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，
∴tan∠ABO=2，
在Rt△ABC中，AB= = ，
∴BC= = =5．
点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、正切．解题的关键是连接OA，并求出AB．24、（2011•厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可
得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来
求n的值．
解答：解：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣
2n，
∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，
解得，n＞﹣ ；
（2）由原方程，得
（x﹣1）2=2n+1，
∴x=1± ；
∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，
∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，
解得，n=0，n=1.5或n=4．
点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
25、（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
[来源:21世纪教育网]
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE= AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相
似三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可；
（@）求出AC，当P在BC上时，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，
③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在
AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△NAP∽△ABC，推出PN：AN：AP=4：3：5，设PN=4x，
AN=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可．
解答：（1）证明：在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，′
由勾股定理得：AC=4，
即AB、CD间的最短距离是4，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
当P在BC上时，
①BE=BP=2，
t=2时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∵cosB= = = ，∴BP= ，
t= 时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2，
作EN⊥BC于N，
∴cosB= = ，
∴ = ，BN= ，
∴BP= ，
t= 时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4，
当P在AD上时，只能BE=EP=2，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠NAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠N=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4x，AQ=3x，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x= ，
AP=5x= ，
∴t=5+5+3﹣ = ，
答：从运动开始经过2s或 s或 s或 s时，△BEP为等腰三角形．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性
质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质
进行推理是解此题的关键．
26、（2011•厦门）已知抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，
C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P．
（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=﹣ ，得A点的横坐标为
m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数的解析式；
（2）把抛物线化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，﹣
（n﹣m）2+2）根据AC=CP求得m﹣n的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出△OPE的面积，
进而求得面积的取值范围．解答：解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），
设P（1，n）据x=﹣ ，得A点的横坐标为m，即m=2，
所以y=x2+4x﹣2，把P点的坐标代入得n=1，
即P点的坐标为（1，1）
（2）把抛物线化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+2，
可知A（m，2），设C（n，2），
把n代入y=﹣（x﹣m）2+2得y=﹣（n﹣m）2+2，
所以P（n，﹣（n﹣m）2+2）
∵AC=CP
∴m﹣n=2+（m﹣n）2﹣2，
即m﹣n=（m﹣n）2，
∴m﹣n=0或m﹣n=1，
又∵C点不与端点A、B重合
∴m≠n，
即m﹣n=1，
则A（m，2），P（m﹣1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2﹣m，
∴△OPE的面积S= （2﹣m）（m﹣1）=﹣（m﹣ ）2+ （1＜m＜2），
∴0＜S＜ ．点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目
的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围．
