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第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中） 可以写为是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）将下列各式分解因式，结果中不含 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·上海松江·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，则称这个数为“幸
福数”，下列数中为“幸福数”的是（ ）．
A．270 B．308 C．330 D．360
6．（2023上·广东广州·七年级广州市第五中学校考期中）按如图所示的运算程序，能使输出 值为1
的是（ ）
A． B．
C． D．7．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）若 的乘积中不含 项，则常数a的
值为（ ）
A．3 B． C． D．－3
8．（2023上·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）已知 ，则
的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
9．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，有正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张
，如果要选用上述 类卡片共 张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全
部用上，则下面选取方案不正确的是（ ）
AI
A． 张 类卡片， 张 类卡片， 张 B． 张 类卡片， 张 类卡片， 张
C． 张 类卡片， 张 类卡片， 张 D． 张 类卡片， 张 类卡片， 张
10．（2023下·四川达州·七年级校考期中）观察下列各式：
，
，
，
，
根据上述规律计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中） ．
12．（2023上·福建福州·八年级校联考期中）已知 为正整数，且 ，则 的值为 ．
13．（2023上·广西河池·九年级统考期中）分解因式： ．
14．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）计算： ．
15．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）已知 ，则代数式
.
16．（2022上·陕西西安·八年级校考开学考试）已知a、b是等腰 的边且满足
，则等腰 的周长为 ．
17．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）若 ，则
的值是 ．
18．（2022上·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其
中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方
形，且 （以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·河北唐山·八年级统考期中）
（1） ； （2） ．20．（8分）（2023上·北京西城·八年级北京十五中校考期中）因式分解：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2023上·山西临汾·八年级统考期中）先化简再求值：
（1） ，其中 ．
（2） ，其中 ， ．
22．（10分）（2023上·广东广州·七年级广州市第一一三中学校考期中）已知 ，
．
（1）用含x，y的式子表示 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 的值与y的值无关，求x的值．
23．（10分）（2023上·福建福州·八年级福建师大附中校考期中）如图1，有一长方形菜地，宽为米，长比宽多 米．
（1）求菜地的面积（结果用含 的代数式表示）；
（2）如图2，经测量菜地的长为 米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦
的菜地宽度均为 米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含 的代数式表示）．
24．（12分）（2023下·辽宁沈阳·七年级校联考阶段练习）问题情境阅读：若 满足 ，
求 的值，解：设 ， ，则 ，
，所以 ．请仿照上例解
决下面的问题：
问题发现：（1）若 满足 ，求 的值；
类比探究：（2）若 满足 ，求 的值；
拓展延伸：（3）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积为 ，
四边形 和 都是正方形，四边形 是长方形，直接写出四边形 的面积．（结果必
须是一个具体数值）参考答案：
1．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项，根据同底数幂的乘法法
则判断选项A、幂的乘方法则判断选项B和D以及合并同类项法则判断选项C．
解：A． ，故不符合题意；
B． ，故符合题意；
C． ，故不符合题意；
D． ，故不符合题意；故选：B．
2．C
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式以及完全平方公式进行计算即可求解．
解：A. 与 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了因式分解的定义，“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解”，熟
练掌握此定义是解此题的关键．
解：A、 ，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、 ，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、 ，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、 ，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】提取公因式，再检查括号内能否用公式法进行分解因式，即可求解．
解：A. ，含 ，故不符合题意；
B. ，不含 ，故符合题意；
C. ，含 ，故不符合题意；
D. ，含 ，故不符合题意；故选：B．
【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为 ，先得出由这两个奇数得到的“幸
福数”为 ，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
解：设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为 ，
由这两个奇数得到的“幸福数”为 ，
观察四个选项可知，只有选项B、D中的数能够整除4，
当 时，
解得： ，不是奇数不合题意舍去，
即故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解
题关键．
6．B
【分析】分别将选项中的m、n的值代入进行计算，然后判断即可．
解：A．当 时， ,则 ，因此选项A不符合题意；
B．A．当 时， ,则 ，因此选项B符合题意；
C．当 时， ,则 ，因此选项C不符合题意；
D．当 时， ,则 ，因此选项C不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了流程图、代数式求值等知识点，理解流程图运算程序是正确解答的关键．
7．C
【分析】利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令 项的系数为0得到关于a的方程求解
即可．解：
,
∵多项式 的乘积中不含 项，
∴ ，解得： ．
故选C．
【点拨】本题主要考查了整式有关性质、多项式乘多项式等知识点，令 项的系数为0得到关于a的
方程是解题的关键．
8．A
【分析】由题意可知 ，利用单项式乘多项式计算得 ，即可求
解．
解：∵ ，
∴ ，
则：
，
故选：A．
【点拨】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解决问题的关键．
9．D
【分析】列出大长方形的长和宽，利用多项式乘多项式可得到答案．
解： 、因为 ，所以 张 类卡片， 张 类卡片， 张 类卡片，共
张，是正确的；、因为 ，所以 张 类卡片， 张 类卡片， 张 类卡片，共
张，是正确的；
、因为 ， 张 类卡片， 张 类卡片， 张 类卡片，共 张，是正
确的；
、因为 ，所以 张 类卡片， 张 类卡片， 张 类卡片，共
张， 是错误的．
故选： ．
【点拨】本题考查了几何图形与整式乘法，多项式乘以多项式，注意数形结合的思想是解答本题的关
键．
10．A
【分析】根据上面的式子得到： ，然后根据规律计算即可．
解：根据上面的式子可得：
∴ ，
∴
．
故选A．
【点拨】本题考查了整式的除法，关键是通过观察找出规律，再根据规律进行计算．
11．
【分析】根据底数不变，指数相加计算即可．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．2【分析】运用幂的乘方的逆运算即可解答，熟练掌握该知识点是解题的关键．
解： ，
，
，
故答案为：2
13．
【分析】此题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式 分解因
式是解题的关键．
解： ，
故答案为： ．
14．1
【分析】本题考查了“积的乘方”的逆用，熟知积的乘方公式 并正确逆用是解题关键．
解： ．
故答案为：1
15．8
【分析】先把代数式进行化简得 ，再把 代入求解即可．
解：
，
∵ ，即 ，
把 代入得，原式 ，故答案为：8．
【点拨】本题考查代数式求值，整式的化简求值，利用整体代入的思想是解题的关键．
16． 或
【分析】根据完全平方公式可得 ，求出a和b的值，再分情况讨论求出 的
周长．
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 ，
当 是等腰三角形 的腰时，周长为 ；
当 是等腰三角形 的腰时，周长为 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了因式分解的应用和等腰三角形的性质，偶次方的非负性，熟练掌握这些知识是解
题的关键．
17． /
【分析】先根据非负数的性质求出 、 的值，再代入进行计算即可．
解：∵ ，即：
∴ ，
∴ ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质．利用完全平方公式进行配方是解决问题的
关键．
18．
【分析】由图可知， 是长方形纸板的面积，即可得出结论．解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为： ，
∴长方形纸板的面积为： ，
又长方形纸板的面积 ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解的应用．解题的关键是正确的识图，
用两种方法表示出长方形纸板的面积．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积
的乘方，再合并同类项即可；也考查了多项式除以单项式，先计算多项式除以单项式，再合并同类项即可；
熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
解：（1） ；
（2） ．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）先提公因式4，再用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式 ，再用完全平方公式分解因式即可．
（1）解：
；
（2）解：．
【点拨】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，准确计算，
如果有公因式，要先提公因式．
21．（1） ；（2）
【分析】本题考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法
则是解题关键．
（1）解：原式
，
当 时，原式 ；
（2）原式
，
当 ， 时，
原式 ．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了整式的混合运算及无关型问题、代数式求值等知识点，准确的计算是解题关键．
（1）利用整式的混合运算法则即可求解；
（2）利用平方和绝对值的非负性可求x，y的值，代入（1）中结论即可；
（3）将 中含y的项合并后，令其系数为零即可求解．
（1）解：
；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
解得：
23．（1） 平方米；（2） 平方米．
【分析】（1）根据题意即可得到答案；
（2）由题意得，开垦后菜地的长为 米，菜地的宽为 米，即可求出答案．
（1）解：由题意得： 的实际意义是菜地的宽度，设菜地的宽度为 米，则长度为 米，
∴菜地的面积为： （平方米）；
（2）解：∵菜地的长为 米，
∴菜地的宽为 米，
∵四周开垦的菜地宽度均为 米，
∴开垦后菜地的长为 米，菜地的宽为 米，
∴开垦后菜地的面积为：
（平方米）．
【点拨】本题考查了列代数式及多项式的乘法，灵活运用所学知识是解题关键．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；
（2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得：四边形 是正方形，然后设 ， ，则 ， ，
从而可得 ， ，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答．
解：（1）设 ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的值为 ；
（2）设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（3）四边形 的面积为 ，
理由：由题意得：四边形 是正方形，
设 ， ，
∵正方形 的边长为 ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，∵长方形 的面积为 ，
∴ ，
∴正方形 的面积：
，
∴四边形 的面积为 ．
【点拨】本题考查整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题
的关键．
