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2015 年福建省漳州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项．）
1．（4分）（2015•漳州）﹣ 的相反数是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
﹣
2．（4分）（2015•漳州）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
3．（4分）（2015•漳州）漳州市被国家交通运输部列为国家公路运输枢纽城市，现
拥有营运客货车月21000辆，21000用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×104 B．21×103 C．2.1×104 D．2.1×103
4．（4分）（2015•漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2015•漳州）一组数据6，﹣3，0，1，6的中位数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
6．（4分）（2015•漳州）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
7．（4分）（2015•漳州）一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数
为（ ）
第1页（共33页）A．4 B．5 C．6 D．7
8．（4分）（2015•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面
高度h随时间t变化的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）（2015•漳州）已知⊙P的半径为2，圆心在函数y=﹣ 的图象上运动，当
⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（4分）（2015•漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现
无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）
A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，1
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．）
11．（4分）（2015•漳州）计算：2a2•a4= ．
12．（4分）（2015•漳州）我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串
“201506221500”中“0”出现的频数是 ．
13．（4分）（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x
的增大而减小．
14．（4分）（2015•漳州）如图，AD∥BE∥CF，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点
1 2
A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= ．
第2页（共33页）15．（4分）（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的
实数根，则a的取值范围是 ．
16．（4分）（2015•漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径
恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ．
三、解答题（共9题，满分86分．）
17．（8分）（2015•漳州）计算： ﹣（π﹣3）0+（﹣1）2015．
18．（8分）（2015•漳州）先化简： ﹣ ，再选取一个适当的m的值代入求
值．
19．（8分）（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
第3页（共33页）20．（8分）（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点
上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比
为2．
（1）在图中画出四边形AB′C′D′；
（2）填空：△AC′D′是 三角形．
21．（8分）（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大
小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上
的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．
（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
22．（10分）（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿
AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连
接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求 的值．
第4页（共33页）23．（10分）（2015•漳州）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用
170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱
台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．
（1）商店至多可以购买冰箱多少台？
（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润
为多少元？
24．（12分）（2015•漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、
讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使
BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= =
=2﹣ ．
第5页（共33页）思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设
α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =
=2﹣ ．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一
点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求
这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线y= x﹣1与双曲线y= 交于A，B两点，与y轴交于点C，
将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；
若不能，请说明理由．
第6页（共33页）25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（
， ）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位
置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点
C′的横坐标为（t 其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积
为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？
2015 年福建省漳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
第7页（共33页）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项．）
1．（4分）（2015•漳州）﹣ 的相反数是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
﹣
考点： 相反数．菁优网版权所有
分析： 根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边
添加“﹣”，据此解答即可．
解答： 解：根据相反数的含义，可得
﹣ 的相反数是：﹣（﹣ ）= ．
故选：A．
点评： 此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在
这个数的前边添加“﹣”．
2．（4分）（2015•漳州）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
考点： 全面调查与抽样调查．菁优网版权所有
分析： 普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调
查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度
相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会
给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限
制，这时就应选择抽样调查．
解答： 解：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调
查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，
故本选项错误；
第8页（共33页）C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选
项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故
本选项正确；
故选：D．
点评： 此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所
费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
3．（4分）（2015•漳州）漳州市被国家交通运输部列为国家公路运输枢纽城市，现
拥有营运客货车月21000辆，21000用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×104 B．21×103 C．2.1×104 D．2.1×103
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：把21000用科学记数法表示为2.1×104，
故选：C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）（2015•漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 几何体的展开图．菁优网版权所有
分析： 由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．
第9页（共33页）解答： 解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，
A、可以拼成一个长方体；
B、C、D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．
故选A．
点评： 考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的
各种情形．
5．（4分）（2015•漳州）一组数据6，﹣3，0，1，6的中位数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
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分析： 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可
得出答案．
解答： 解：把这组数据从小到大排列为：﹣3，0，1，6，6，最中间的数是1，则中位
数是1．
故选B．
点评： 此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）
重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（4分）（2015•漳州）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
考点： 命题与定理．菁优网版权所有
分析： 根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据
直线公理对C进行判断；根据角平分线性质对D进行判断．
解答： 解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；
第10页（共33页）C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．
故选B．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这
样的真命题叫做定理．
7．（4分）（2015•漳州）一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点： 多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析： 先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等
于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．
解答： 解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故选：C．
点评： 此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是
解答本题的关键．
8．（4分）（2015•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面
高度h随时间t变化的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．菁优网版权所有
第11页（共33页）分析： 由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分
三个阶段．
解答： 解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水
面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短
故选A．
点评： 此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部
分的粗细不同得到用时的不同．
9．（4分）（2015•漳州）已知⊙P的半径为2，圆心在函数y=﹣ 的图象上运动，当
⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
考点： 切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： ⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是±2，把y=±2代入函数
解析式，得到x=±4，因而点D的坐标是（±4，0），⊙P与y轴相切时，P点的横坐标
是±2，把x=±2代入函数解析式，得到y=±4，因而点D的坐标是（0．±4）．
解答： 解：根据题意可知，当⊙P与y轴相切于点D时，得x=±2，
把x=±2代入y=﹣ 得y=±4，
∴D（0，4），（0，﹣4）；
当⊙P与x轴相切于点D时，得y=±2，
把y=±2代入y=﹣ 得x=±4，
∴D（4，0），（﹣4，0），
∴符合条件的点D的个数为4，
故选D．
点评： 本题主要考查了圆的切线的性质，反比例函数图象上的点的特征，掌握反
比例函数图象上的点的特征是解题的关键．
10．（4分）（2015•漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现
无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）
第12页（共33页）A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，1
考点： 代数式求值．菁优网版权所有
专题： 图表型．
分析： 把各项中的数字代入程序中计算得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、把x=4代入得： =2，
把x=2代入得： =1，
本选项不合题意；
B、把x=2代入得： =1，
把x=1代入得：3+1=4，
把x=4代入得： =2，
本选项不合题意；
C、把x=1代入得：3+1=4，
把x=4代入得： =2，
把x=2代入得： =1，
本选项不合题意；
D、把x=2代入得： =1，
把x=1代入得：3+1=4，
把x=4代入得： =2，
本选项符合题意，
故选D
点评： 此题考查了代数式求值，弄清程序框图中的运算法则是解本题的关键．
第13页（共33页）二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．）
11．（4分）（2015•漳州）计算：2a2•a4= 2 a 6 ．
考点： 单项式乘单项式．菁优网版权所有
分析： 直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出即可．
解答： 解：2a2•a4=2a6．
故答案为：2a6．
点评： 此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（4分）（2015•漳州）我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串
“201506221500”中“0”出现的频数是 4 ．
考点： 频数与频率．菁优网版权所有
分析： 根据频数的概念求解．
解答： 解：数串“201506221500”中“0”出现的频数是4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频数的概念：频数是指每
个对象出现的次数．
13．（4分）（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x ＜ 2 时，y随x的增
大而减小．
考点： 二次函数的性质．菁优网版权所有
分析： 根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断
出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
解答： 解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x=2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
第14页（共33页）点评： 本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题
的关键．
14．（4分）（2015•漳州）如图，AD∥BE∥CF，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点
1 2
A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= 9 ．
考点： 平行线分线段成比例．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据平行线分线段成比例定理得到 = ，即 = ，然后根据比例性质求
EF．
解答： 解：∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴EF=9．
故答案为9．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对
应线段成比例．
15．（4分）（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的
实数根，则a的取值范围是 a ＞﹣ 且 a≠ 0 ．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
分析： 根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣
4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，
第15页（共33页）∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，
解得：a＞﹣ 且a≠0．
故答案为：a＞﹣ 且a≠0．
点评： 此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两
个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
⇔ ⇔
⇔
16．（4分）（2015•漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径
恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 61 ° ．
考点： 圆周角定理．菁优网版权所有
分析： 首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可
求得∠BCD的度数，继而求得答案．
解答： 解：连接OD，
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，
∴∠BOD=58°，
∴∠BCD= ∠BOD=29°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．
故答案为：61°．
第16页（共33页）点评： 此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题（共9题，满分86分．）
17．（8分）（2015•漳州）计算： ﹣（π﹣3）0+（﹣1）2015．
考点： 实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一
项利用乘方的意义计算即可得到结果．
解答： 解：原式=2﹣1﹣1=0．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2015•漳州）先化简： ﹣ ，再选取一个适当的m的值代入求
值．
考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，接着把分之分解后约分
得到原式=m﹣1，然后取m=2016求分式的值．
解答： 解：原式= ﹣
=
第17页（共33页）=
=m﹣1，
当m=2016时，原式=2016﹣1=2015．
点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的
值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（8分）（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
考点： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，
从而求得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．
解答： 证明：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．
又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
第18页（共33页）∴∠B=∠C．
点评： 本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出
辅助线是解答本题的关键．
20．（8分）（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点
上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比
为2．
（1）在图中画出四边形AB′C′D′；
（2）填空：△AC′D′是 等腰直角 三角形．
考点： 作图-位似变换．菁优网版权所有
分析： （1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对
应点C′，D′，再顺次连接即可；
（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么
AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．
解答： 解：（1）如图所示：
第19页（共33页）（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，
∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，
∴△AC′D′是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角．
点评： 本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表
所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考
查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题
的关键．
21．（8分）（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大
小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上
的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．
（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析： （1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案．
解答： 解：（1）根据题意画图如下：
第20页（共33页）∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，
∴P（小明获胜）= = ；
（2）∵P（小明获胜）= ，
∴P（小东获胜）=1﹣ = ，
∴这个游戏不公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的
概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（10分）（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿
AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连
接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求 的值．
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．菁优网
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第21页（共33页）分析： （1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得
∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；
（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出 的值．
解答： （1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，
∵FG∥CD，
∴∠2=∠3，
∴FG=FE，
∴DG=GF=EF=DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，
在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，CE=8﹣x=3，
∴ = ．
点评： 本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质
和菱形的判定方法是解答此题的关键．
23．（10分）（2015•漳州）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用
170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱
台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．
第22页（共33页）（1）商店至多可以购买冰箱多少台？
（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润
为多少元？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析： （1）根据表格中三种家电的进价表示三种家电的总进价，小于等于170000
元列出关于x的不等式，根据x为正整数，即可解答；
（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=（2300﹣2000）2x+（1800
﹣1600）x+（1100﹣1000）（100﹣3x）=500x+10000，结合（1）中x的取值范围，利
用一次函数的性质即可解答．
解答： 解：（1）根据题意，得：2000•2x+1600x+1000（100﹣3x）≤170000，
解得：x ，
∵x为正整数，
∴x至多为26，
答：商店至多可以购买冰箱26台．
（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，
则y=（2300﹣2000）2x+（1800﹣1600）x+（1100﹣1000）（100﹣3x）=500x+10000，
∵k=500＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x 且x为正整数，
∴当x=26时，y有最大值，最大值为：500×26+10000=23000，
答：购买冰箱26台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为
23000元．
点评： 此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元一次不等式的应用，不
等式解集中的正整数解，以及一次函数的图象与性质，此类题常常以实际生活为
情景，考查利润等热点问题，解答时要审清题中的等量关系及不等关系，从表格
中提取有用的信息，达到解决问题的目的．
第23页（共33页）24．（12分）（2015•漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、
讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使
BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= =
=2﹣ ．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设
α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =
=2﹣ ．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一
点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求
这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线y= x﹣1与双曲线y= 交于A，B两点，与y轴交于点C，
将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；
若不能，请说明理由．
第24页（共33页）考点： 反比例函数综合题；解一元二次方程-公式法；根的判别式；反比例函数与
一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角
的三角函数值．菁优网版权所有
专题： 阅读型；探究型．
分析： （1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得
∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DB，
从而求出DC长；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C
作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C
的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan
（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及
tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由①可知
∠ACP=45°，P（（ ，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证
△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后
用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组
第25页（共33页）成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，
此时点P不存在．
解答： 解：（1）方法一：如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．
设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．
tan∠DAC=tan75°= = = =2+ ；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）
= = = =2+ ；
（2）如图2，
在Rt△ABC中，
AB= = =30 ，
sin∠BAC= = = ，即∠BAC=30°．
∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．
在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，
∴DB=AB•tan∠DAB=30 •（2+ ）=60 +90，
∴DC=DB﹣BC=60 +90﹣30=60 +60．
答：这座电视塔CD的高度为（60 +60）米；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．
过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．
解方程组 ，得
第26页（共33页）或 ，
∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．
对于y= x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，
∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，
∴tan∠ACF= = = ，
∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）
=
= =3，即 =3．
设点P的坐标为（a，b），
则有 ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（ ，3）；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．
由①可知∠ACP=45°，P（（ ，3），则CP⊥CG．
过点P作PH⊥y轴于H，
则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，
∴△GOC∽△CHP，
∴ = ．
∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，
第27页（共33页）∴ = = ，
∴GO=3，G（﹣3，0）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则有 ，
解得 ，
∴直线CG的解析式为y=﹣ x﹣1．
联立 ，
消去y，得
=﹣ x﹣1，
整理得：x2+3x+12=0，
∵△=32﹣4×1×12=﹣39＜0，
∴方程没有实数根，
∴点P不存在．
综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，
﹣4）或（ ，3）．
第28页（共33页）点评： 本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正
切公式、用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数与一次函数的图象的
交点、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式、解一元二次方程等知识
考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了分类讨论的
数学思想，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合
作交流相结合）的好题．
25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点C的坐标为（ 0 ， 3 ），点D的坐标为（ 1 ， 4 ）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位
置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点
C′的横坐标为（t 其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积
为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？
第29页（共33页）考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；
（2）求|PD﹣PC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P．因为|PD﹣PC|
小于或等于第三边CD，所以当|PC﹣PD|等于CD时，|PC﹣PD|的值最大．因此求
出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；
（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，
求出P′C′与BC的交点M的坐标，分点C′在线段CE上和在线段CE的延长线上
两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其
最大值即可．
解答： 解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴C（0，3），D（1，4），
故答案为：0；3；1；4；
（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，
∴延长DC交x轴于点P，
设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线DC的解析式为y=x+3，
将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，
如图1，点P（﹣3，0）即为所求；
第30页（共33页）（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，
由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，
由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，
在y=﹣2x+6中，当y=3时，x= ，
∴E点坐标为（ ，3），
设直线P′C′与直线BC交于点M，
∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），
∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，
联立 ，解得 ，
∴点M坐标为（ ， ），
∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），
∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，
分两种情况讨论：
第31页（共33页）①当0＜t＜ 时，如图2，B′C′与BD交于点N，
联立 ，解得 ，
∴N点坐标为（3﹣t，2t），
S=S ﹣S ﹣S = ×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ t2+3t，
△B′C′P △BMP △BNB′
其对称轴为t= ，可知当0＜t＜ 时，S随t的增大而增大，当t= 时，有最大值 ；
②当 ≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，
立 ，解得 ，
∴N点坐标为（ ， ），
S=S ﹣S = （6﹣t）× ﹣ ×（6﹣t）× = （6﹣t）2= t2﹣t+3；
△BNP′ △BMP′
显然当 ＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t= 时，S=
综上所述，S与t之间的关系式为S= ，且当t= 时，S有
最大值，最大值为 ．
第32页（共33页）点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、
平移的性质和二次函数的性质等知识点．在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题
的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E、
M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综
合性较强，计算量较大．
第33页（共33页）
