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2016年福建省泉州市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请
在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3 C．﹣ D．
2．（x2y）3的结果是（ ）
A．x5y3 B．x6y C．3x2y D．x6y3
3．不等式组 的解集是（ ）
A．x≤2B．x＞1 C．1＜x≤2 D．无解
4．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（ ）
A．4B．3.2 C．3D．2
6．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的
值为（ ）
A．3B．6C．3π D．6π
第1页（共22页）7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣ 上，则使△ABC是直角三角形
的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
8．27的立方根为 ．
9．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
10．因式分解：1﹣x2= ．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．
12．十边形的外角和是 °．
13．计算： = ．
14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= ．
15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE= ．
第2页（共22页）16．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为 ．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= ；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′ S（用“＞”或“=”或“＜”填
空）．
三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．
18．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣ ÷ +（﹣1）﹣1．
19．先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x= ．
20．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：
△CDA≌△CEB．
第3页（共22页）21．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数
字外没有任何区别．
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结
果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请
问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，
某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调
查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面
的问题：
最喜爱的一种活动统计表
活动形式 征文 讲故事 演讲 网上竞答 其他
人数 60 30 39 a b
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是
多少度？
（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．
第4页（共22页）23．已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点
P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量
y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．
（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；
（2）利用（1）的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售
价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
第5页（共22页）25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂
直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，
PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．
（1）比较 与 的大小；
（2）若OH=2 ，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα= 时，点P的位置．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．
第6页（共22页）（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；
（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，
且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么 为何值时，B′P⊥AB．
2016 年福建省泉州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请
在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3 C．﹣ D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对
值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（x2y）3的结果是（ ）
A．x5y3 B．x6y C．3x2y D．x6y3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案．
【解答】解：（x2y）3=x6y3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
第7页（共22页）3．不等式组 的解集是（ ）
A．x≤2B．x＞1 C．1＜x≤2 D．无解
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】切线的性质．
【分析】由切线的性质得出∠ABO=90°，由直角三角形的性质得出∠A=90°﹣∠AOB，即可得
出结果．
【解答】解：∵AB和⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∴∠A=90°﹣∠AOB=90°﹣60°=30°；
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质，证出∠ABO=90°
是解决问题的关键．
5．一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（ ）
A．4B．3.2 C．3D．2
【考点】中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：将数据由小到大排列
2，2，3，4，5，
中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其
它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，
如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的
值为（ ）
第8页（共22页）A．3B．6C．3π D．6π
【考点】圆锥的计算．
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr= ×2π×10，解得r=6．
故选B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣ 上，则使△ABC是直角三角形
的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
【解答】解：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），
③若∠C为直角
第9页（共22页）则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣ 的交点上．
过点E作垂线与直线的交点为F（﹣3， ），则EF=
∵直线y=﹣ 与x轴的交点M为（ ，0），
∴EM= ，EF= =
∵E到直线y=﹣ 的距离d= =5
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣ 恰好有一个交点．
所以直线y=﹣ 上有一点C满足∠C=90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆
周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
二、填空题：每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
8．27的立方根为 3 ．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
9．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 9.6×1 0 6 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
第10页（共22页）故答案为9.6×106．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．因式分解：1﹣x2= （ 1﹣ x ）（ 1 + x ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．
【解答】解：∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式
进行因式分解．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= 4 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DE= BC，即可得到答案．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE= BC=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定
理进行计算是解此题的关键．
12．十边形的外角和是 36 0 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故答案为：360．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形
的外角和都是360°．
13．计算： = 3 ．
【考点】分式的加减法．
第11页（共22页）【专题】计算题；分式．
【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= = =3，
故答案为：3
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= 5 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE= AB=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解
题关键．
15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE= 2 ： 3 ．
【考点】相交弦定理．
【分析】根据相交弦定理得到AE•BE=CE•DE，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，
∴AE•BE=CE•DE，
∴AE：DE=CE：BE=2：3，
故答案为：2：3．
【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键．
16．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为 22 6 ．
第12页（共22页）【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出规律，即可得出a的值．
【解答】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，
解得：a=226；
故答案为：226．
【点评】本题考查了数字的变化美；根据题意得出规律是解决问题的关键．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= 1 5 ；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′ = S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】推理填空题．
【分析】（1）若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，据此求出它的面积是多少即可．
（2）连接EC，延长CD、BE交于点P，证△ABE≌△DPE可得S =S 、BE=PE，由三角
△ABE △DPE
形中线性质可知S =S ，最后结合S =S +S +S 可得答案．
△BCE △PCE 四边形ABCD △ABE △CDE △BCE
【解答】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，
故答案为：15．
（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，
在△ABE和△DPE中，
∵ ，
第13页（共22页）∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴S =S ，BE=PE，
△ABE △DPE
∴S =S ，
△BCE △PCE
则S =S +S +S
四边形ABCD △ABE △CDE △BCE
=S +S +S
△PDE △CDE △BCE
=S +S
△PCE △BCE
=2S
△BCE
=2× ×BC×EF
=15，
∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，
故答案为：=．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质，通过
构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键．
三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．
18．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣ ÷ +（﹣1）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式=1+2﹣2﹣1
=0．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指
数幂等知识，属于基础题．
19．先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x= ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把
x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4，
当x= 时，原式=﹣6+4=﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：
△CDA≌△CEB．
第14页（共22页）【考点】全等三角形的判定；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即
可．
【解答】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中 ，
∴△CDA≌△CEB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数
字外没有任何区别．
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结
果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请
问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率的定义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
【解答】解：（1）P= ；
（2）由题意画出树状图如下：
一共有6种情况，
第15页（共22页）甲获胜的情况有4种，P= = ，
乙获胜的情况有2种，P= = ，
所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，
某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调
查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面
的问题：
最喜爱的一种活动统计表
活动形式 征文 讲故事 演讲 网上竞答 其他
人数 60 30 39 a b
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是
多少度？
（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】计算题；数据的收集与整理．
【分析】（1）根据“演讲”的人数除以占的百分比，得到调查的总学生人数，并求出扇形统计
图中“讲故事”部分的圆心角度数即可；
（2）求出最喜爱征文活动的学生人数占的百分比，乘以3800即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：39÷13%=300（名），
则“讲故事”所占的比例为30÷300×100%=10%，
所以扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是10%×360°=36°，
则在这次抽样调查中，一共调查了300名学生，扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是
36°；
（2）根据题意得：3800×20%=760（名），
则最喜爱征文活动的学生人数为760名．
【点评】此题考查了扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．
（1）求该函数的解析式；
第16页（共22页）（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点
P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变
化-平移．
【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的一般形式即可确定其解析式；
（2）首先确定平移后的横坐标，然后代入确定其纵坐标，从而确定沿y轴平移的方向和距离．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y= ，
∵图象经过点P（2，﹣3），
∴k=2×（﹣3）=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）∵点P沿x轴负方向平移3个单位，
∴点P′的横坐标为2﹣3=﹣1，
∴当x=﹣1时，y=﹣ =6，
∴∴n=6﹣（﹣3）=9，
∴沿着y轴平移的方向为正方向．
【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式及坐标的平移的知识，解题的关键
时确定反比例函数的解析式．
24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量
y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．
（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；
（2）利用（1）的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售
价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
【考点】二次函数的应用．
第17页（共22页）【分析】（1）我们根据图中的信息可看出，图形经过（37，38），（39，34），（40，32），根据待定系
数法可求函数关系式；
（2）①根据函数的最值问题即可求解；
②根据“特产”的保存时间和运输路线的影响，“特产”的销售时间最多是25天．要想使
售价不低于30元/千克，就必须在最多25天内卖完，当售价为30元/千克时，销售量已经由
（1）求出，因此可以根据最多进货的量÷30元/千克时的销售量≤25天，由此来列不等式，求
出最多的进货量．
【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则 ，
解得 ．
故函数关系式为y=﹣2x+112；
（2）依题意有
w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，
故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；
（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，
设一次进货最多m千克，
则 ≤30﹣5，
解得：m≤1300．
故一次进货最多只能是1300千克．
【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．得出销售定价和销
售量的函数关系是解题的关键．
25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂
直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，
PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．
（1）比较 与 的大小；
（2）若OH=2 ，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα= 时，点P的位置．
第18页（共22页）【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆
中角定理得到 = ；
（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2 ，则可判断△OPH为等腰直
角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径
的推理由 = 得到OQ⊥CD，
则根据平行线的判定方法得OP∥CD；
（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所
成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正
弦的定义计算出PH即可．
【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，
∴PH平分∠FPE，
∴∠DPQ=∠CPQ，
∴ = ；
（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，
∵OH=2 ，OP=4，
∴PH= =2 ，
∴△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
而OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵ = ，
∴OQ⊥CD，
∴OP∥CD；
（3）解：直线CD交MN于A，如图，
第19页（共22页）∵cosα= ，
∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，
而OB⊥CD，
∴∠AOB=60°，
∵OH⊥PQ，
∴∠POH=60°，
在Rt△POH中，∵sin∠POH= ，
∴PH=4sin60°=2 ，
即点P到MN的距离为2 ．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等
腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．
（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；
（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，
且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么 为何值时，B′P⊥AB．
【考点】四边形综合题；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；
第20页（共22页）（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并
推导出B′D=B′E，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示
出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式，求得a、b的比值即可．
【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形
证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）①作图如下：
②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，
由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，
当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，
∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，
∴B′D=B′E，
设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE= a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，
∴B′E=b﹣ a=B′D，
∴C′D=a+b﹣（b﹣ a）=a+ a，
∴直角三角形C′QD中，C′Q= a=CQ，DQ= C′Q= a，
∵CD=DQ+CQ=a+b，
∴ a+ a=a+b，
整理得（ +1）a=b，
∴ = = ，即 = ．
第21页（共22页）【点评】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱
形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边
相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．
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