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2014 年福建省莆田市中考数学试卷
一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中有且只有
一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．
1．（4分）（2014•莆田）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
﹣
2．（4分）（2014•莆田）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（2a）3=6a3 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．3a2﹣a2=2a2
3．（4分）（2014•莆田）如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2014•莆田）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2014•莆田）若x、y满足方程组 ，则x﹣y的值等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．（4分）（2014•莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）（2014•莆田）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O
按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）A．（2，﹣2 ） B．（2，﹣2 ） C．（2 ，﹣2） D．（2 ，﹣2）
8．（4分）（2014•莆田）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，
BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，
△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
9．（4分）（2014•莆田）我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称
世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示
为 ．
10．（4分）（2014•莆田）若正n边形的一个外角为45°，则n= ．
11．（4分）（2014•莆田）若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= ．
12．（4分）（2014•莆田）在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同的红色、黄色、
白色小球各1个，从袋子中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出
一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是 ．
13．（4分）（2014•莆田）在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、
79、83、87、77、81，则这6人本次数学测试成绩的中位数是 ．
14．（4分）（2014•莆田）计算： = ．15．（4分）（2014•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F
是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ．
16．（4分）（2014•莆田）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为2的等边三
1 1 1 2 2 2 3
角形，边AO在y轴上，点B ，B ，B ，…都在直线y= x上，则A 的坐标是 ．
1 2 3 2014
三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
17．（8分）（2014•莆田）计算： ﹣2sin60°+|﹣ |．
18．（8分）（2014•莆田）解不等式 ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2014•莆田）某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类
运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最
喜爱的一项运动项目上，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的
信息，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有 人；请补全条形统计图；
（2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是 度；
（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有 人．
20．（8分）（2014•莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画
弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图
中阴影部分（扇形）的面积．21．（8分）（2014•莆田）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于
点N，Rt△MON的外心为点A（，﹣2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l的解析式；
（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l
于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
22．（10分）（2014•莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于
点D，交⊙O于点E，且 = ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．23．（10分）（2014•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千
1
克成本y （元）与销售时间第x月满足函数关系式y =mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．
2 2
（1）求y 的解析式；
2
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）（2014•莆田）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度
的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折
线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
（1）点F在边BC上．
①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？
（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使
得 =？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．25．（14分）（2014•莆田）如图，抛物线C ：y=（x+m）（2 m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，
1
使其顶点D在抛物线C 位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C ．抛物线C 交x轴于A，B两
1 2 2
点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．
（1）如图1，若m=．
①当OC=2时，求抛物线C 的解析式；
2
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且
AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB=2 ﹣m（0＜m＜ ）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相
等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．2014 年福建省莆田市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中有且只有
一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．
1．（4分）（2014•莆田）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
﹣
考点：相反数．
.
分析：根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
解答：解：根据概念，（3的相反数）+（3）=0，则3的相反数是﹣3．
故选A．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）（2014•莆田）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（2a）3=6a3 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．3a2﹣a2=2a2
考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
.
分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘；完全平方公式；合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求
解．
解答：解：A、a3•a2=a3+2=a5，故本选项错误；
B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
D、3a2﹣a2=2a2，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记
性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．
3．（4分）（2014•莆田）如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
.
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及
轴对称图形的定义即可判断出．
解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称
图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图
形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故
此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图
形，故此选项错误．
故选：B．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的
关键．
4．（4分）（2014•莆田）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
.
分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则
可．
解答：解：从物体左面看，第一层有3个正方形，第二层的中间有1个正方形．故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三
种视图混淆而错误的选其它选项．
5．（4分）（2014•莆田）若x、y满足方程组 ，则x﹣y的值等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
考点：解二元一次方程组．
.
专题：计算题．
分析：方程组两方程相减即可求出x﹣y的值．
解答：
解： ，
②﹣①得：2x﹣2y=﹣2，
则x﹣y=﹣1，
故选A
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
6．（4分）（2014•莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
考点：弧长的计算．
.
分析：连接OA、OB，求出圆心角AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解答：
解：连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ 的长为 = ，
故选C．点评：本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧
AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长= ．
7．（4分）（2014•莆田）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O
按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2 ） B．（2，﹣2 ） C．（2 ，﹣2） D．（2 ，﹣2）
考点：坐标与图形变化-旋转．
.
专题：数形结合．
分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OA=2，AB= OB=2 ，则A点坐标
为（2，2 ），再根据旋转的性质得到∠A′OA=120°，OA′=OA=4，
则∠A′OB=60°，于是可判断点A′和点A关于x轴对称，然后根据关于x轴对称的
点的坐标特征写出点A′的坐标．
解答：解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，AB= OB=2 ，
∴A点坐标为（2，2 ），
∵△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，
∴∠A′OA=120°，OA′=OA=4，
∴∠A′OB=60°，
∴点A′和点A关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，﹣2 ）．
故选B．
点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特
殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
也考查了含30度的直角三角形三边的关系．8．（4分）（2014•莆田）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，
BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，
△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
.
分析：判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示
出PE、QE，再求出点Q到AD的距离，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关
系式，再根据二次函数图象解答．
解答：解：∵∠ABE=45°，∠A=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=2，BE= AB=2 ，
∵BE=DE，PD=x，
∴PE=DE﹣PD=2 ﹣x，
∵PQ∥BD，BE=DE，
∴QE=PE=2 ﹣x，
又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），
∴点Q到AD的距离= （2 ﹣x）=2﹣ x，
∴△PQD的面积y=x（2﹣ x）=﹣ （x2﹣2 x+2）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
即y=﹣ （x﹣ ）2+ ，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，二次
函数图象，求出点Q到AD的距离，从而列出y与x的关系式是解题的关键．二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
9．（4分）（2014•莆田）我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称
世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示
为 3.6×1 0 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将36000用科学记数法表示为：3.6×104．
故答案为：3.6×104．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（4分）（2014•莆田）若正n边形的一个外角为45°，则n= 8 ．
考点：多边形内角与外角．
.
分析：根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．
解答：解：n=360°÷45°=8．
答：n的值为8．
故答案为：8．
点评：本题考查多边形的外角和的特征：多边形的外角和等于360°，是基础题型．
11．（4分）（2014•莆田）若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= 2 ．
考点：一元二次方程的解．
.
分析：把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，
解得 a=2，
故答案是：2．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次
方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得
式子仍然成立．12．（4分）（2014•莆田）在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同的红色、黄色、
白色小球各1个，从袋子中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出
一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是 ．
考点：列表法与树状图法．
.
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球颜
色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的小球颜色相同的有3种情况，
∴两次摸出的小球颜色相同的概率是： =
故答案为：
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）（2014•莆田）在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、
79、83、87、77、81，则这6人本次数学测试成绩的中位数是 8 2 ．
考点：中位数．
.
分析：根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
解答：解：把这组数据从小到大排列为：77、79、81、83、84、87，
最中间两个数的平均数是：（81+83）÷2=82；
故答案为：82．
点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间
的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的概念
是本题的关键．14．（4分）（2014•莆田）计算： = a﹣ 2 ．
考点：分式的加减法．
.
专题：计算题．
分析：根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．
解答：
解： = =a﹣2．故答案为a﹣2．
点评：本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（4分）（2014•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F
是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 2 ．
考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
.
分析：首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，
EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
解答：解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH= AD，
∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=2 ，
在RT△EHD中，DE= = =2
∴EF+BF的最小值为2 ．
点评：此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解
本题的关键．
16．（4分）（2014•莆田）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为2的等边三
1 1 1 2 2 2 3
角形，边AO在y轴上，点B ，B ，B ，…都在直线y= x上，则A 的坐标是 （ 201 4 ，
1 2 3 2014
2016 ） ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
.
专题：规律型．
分析：
根据题意得出直线AA 的解析式为：y= x+2，进而得出A，A ，A ，A 坐标，进而得
1 1 2 3
出坐标变化规律，进而得出答案．
解答：解：过B 向x轴作垂线B C，垂足为C，
1 1
由题意可得：A（0，2），AO∥A B ，∠B OC=30°，
1 1 1
∴CO=OB cos30°= ，
1
∴B 的横坐标为： ，则A 的横坐标为： ，
1 1
连接AA ，可知所有三角形顶点都在直线AA 上，
1 1
∵点B ，B ，B ，…都在直线y= x上，AO=2，
1 2 3
∴直线AA 的解析式为：y= x+2，
1∴y= × +2=3，
∴A （ ，3），
1
同理可得出：A 的横坐标为：2 ，
2
∴y= ×2 +2=4，
∴A （2 ，4），
2
∴A （3 ，5），
3
…
A （2014 ，2016）．
2014
故答案为：（2014 ，2016）．
点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变
化规律是解题关键．
三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
17．（8分）（2014•莆田）计算： ﹣2sin60°+|﹣ |．
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
.
分析：先根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混
合运算的法则进行计算即可．
解答：
解：原式=3﹣2× +
=3﹣ +
=3．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质是
解答此题的关键．
18．（8分）（2014•莆田）解不等式 ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
.
专题：计算题．
分析：先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解
集．
解答：解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x），
去括号得6﹣3x≥4﹣4x，
移项得4x﹣3x≥4﹣6，
合并得x≥﹣2，
在数轴上表示为：
．
点评：本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：①去分母；②去括
号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
19．（8分）（2014•莆田）某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类
运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最
喜爱的一项运动项目上，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的
信息，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有 6 0 人；请补全条形统计图；
（2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是 14 4 度；
（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有 4 8 人．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
.
分析：（1）根据C类的人数是9，所占的比例是20%，据此即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数480，乘以对应的比例即可．
解答：解：（1）被抽查的学生数是：9÷15%=60（人），
D项的人数是：60﹣21﹣24﹣9=6（人），
；
（2）“乒乓球”对应扇形的圆心角是：360°× =144°；
（3）480× =48（人）．
故答案是：60，144，48．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）（2014•莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画
弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图
中阴影部分（扇形）的面积．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
.
专题：证明题．
分析：（1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三
角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；
（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定
理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到ED= BD= ，然后根据扇形的面积公
式求解．
解答：（1）证明：∵点D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BE=CE；
（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
∴ED= BD= ，
∴阴影部分（扇形）的面积= =π．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证
明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的
性质以及扇形的面积公式．
21．（8分）（2014•莆田）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于
点N，Rt△MON的外心为点A（，﹣2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l的解析式；
（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l
于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．考点：反比例函数综合题．
.
专题：综合题．
分析：（1）由A为直角三角形外心，得到A为斜边MN中点，根据A坐标确定出M与N坐
标，设直线l解析式为y=mx+n，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线
l解析式；
（2）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数k
的意义求出△OBC的面积，由△ONP的面积是△OBC面积的3倍求出△ONP的面
积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标．
解答：解：（1）∵Rt△MON的外心为点A（，﹣2），
∴A为MN中点，即M（3，0），N（0，﹣4），
设直线l解析式为y=mx+n，
将M与N代入得： ，
解得：m=，n=﹣4，
则直线l解析式为y=x﹣4；
（2）将A（，﹣2）代入反比例解析式得：k=﹣3，
∴反比例解析式为y=﹣，
∵B为反比例函数图象上的点，且BC⊥x轴，
∴S△OBC =，
∵S△ONP =3S△OBC ，
∴S△ONP =，
设P横坐标为a（a＞0），
∴ON•a=，即a=，
则P坐标为（，﹣1）．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数
k的几何意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（10分）（2014•莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于
点D，交⊙O于点E，且 = ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．考点：切线的判定．
.
专题：证明题．
分析：（1）连结OC，由 = ，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，
则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD
是⊙O的切线；
（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切
的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用
相似比先计算出AD= ，再计算出CD= ；根据垂径定理的推论由 = 得
OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD= ，则BE=2EF=
，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．
解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵ = ，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BE交OC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB= =，
而BC=3，∴AC=4，
∴AB= =5，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴ = ，即 =，解得AD= ，
∵ = ，即 =，解得CD= ，
∵ = ，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四边形DEFC为矩形，
∴EF=CD= ，
∴BE=2EF= ，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中，AE= = =，
∴DE=AD﹣AE= ﹣ = ．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
23．（10分）（2014•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千
1
克成本y （元）与销售时间第x月满足函数关系式y =mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．
2 2（1）求y 的解析式；
2
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
考点：二次函数的应用．
.
分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即
可得解；
（2）根据图1求出每千克的售价y 与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本得到
1
利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即
可．
解答：解：（1）由图可知，y =mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），
2
∴ ，
解得 ．
∴y =x2﹣x+ （1≤x≤12）；
2
（2）设y =kx+b（k≠0），
1
由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），
则 ，
解得 ，
所以，y =﹣x+12，
1
所以，每千克所获得利润=（﹣x+12）﹣（x2﹣x+ ）=﹣x+12﹣x2+x﹣
=﹣x2+x+
=﹣（x2﹣6x+9）++
=﹣（x﹣3）2+ ，
∵﹣＜0，
∴当x=3时，所获得利润最大，为 元．
答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是 元/千克．
点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法
求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理
成顶点式形式．
24．（12分）（2014•莆田）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度
的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折
线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
（1）点F在边BC上．
①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？
（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使
得 =？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题．
.分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．
②利用△EBF∽△DCF，得出 = ，列出方程求解．
（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF
所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用 =，求
出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，
以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y
轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定
理求出BG，运用 =，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求
解．
解答：解：（1）①如图1
∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如图2∵△EBF∽△DCF
∴ = ，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，
∴ = ，
解得，t= ，t= （舍去），
故t= ．
（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）
EF所在的直线函数关系式是：y= x+3﹣t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵BG= =2
∵ =，
∴BO= ，OG= ，
设O的坐标为（a，b），解得
∴O的坐标为（ ， ）
把O的坐标为（，）代入y= x+3﹣t，得
= ×+3﹣t，
解得，t= （舍去），t= ，
②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）
EF所在的直线函数关系式是：y= x+3﹣t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵BG= =2
∵ =，
∴BO= ，OG= ，
设O的坐标为（a，b），
解得
∴O的坐标为（，）
把O的坐标为（，）代入y= x+3﹣t，得= ×+3﹣t，
解得：t= ．
综上所述，存在t= 或t= ，使得 = ．
点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．
25．（14分）（2014•莆田）如图，抛物线C ：y=（x+m）（2 m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，
1
使其顶点D在抛物线C 位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C ．抛物线C 交x轴于A，B两
1 2 2
点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．
（1）如图1，若m=．
①当OC=2时，求抛物线C 的解析式；
2
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且
AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB=2 ﹣m（0＜m＜ ）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相
等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．
考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）①首先写出平移后抛物线C 的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2
2
上，求出抛物线C 的解析式；
2
②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的
距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如答图1所示，利用三角函数（或相似），
求出a的值；
（2）解题要点有3个：
i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；
iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．
解答：解：（1）当m=时，抛物线C ：y=（x+）2．
1
∵抛物线C 的顶点D在抛物线C 上，且横坐标为a，
2 1
∴D（a，（a+）2）．
∴抛物线C ：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2 （I）．
2
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵点C在抛物线C 上，
2
∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，
解得：a=，代入（I）式，
得抛物线C 的解析式为：y=﹣x2+x+2．
2
②在（I）式中，
令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：
，解得 ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+（a+ ）．
假设存在满足条件的a值．
∵AP=BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C 的对称轴上；
2
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，
∴OP⊥BC．
如答图1所示，设C 对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，
2
则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴∴P（a， a+ ），PE= a+ ．
∵tan∠EOP=tan∠BCO= = =2，
∴ = =2，
解得：a= ．
∴存在a= ，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且
AP=BP
（3）∵抛物线C 的顶点D在抛物线C 上，且横坐标为a，
2 1
∴D（a，（a+m）2）．
∴抛物线C ：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．
2
令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x =2a+m，x =﹣m，∴B（2a+m，0）．
1 2
∵OB=2 ﹣m，∴2a+m=2 ﹣m，∴a= ﹣m．
∴D（ ﹣m，3）．
AB=OB+OA=2 ﹣m+m=2 ．
如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB= ，OE=OB﹣BE= ﹣
m．
∵tan∠ABD= = = ，∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．
作∠ABD的平分线，交DE于点P ，则P E=BE•tan30°= • =1，
1 1
∴P （ ﹣m，1）；
1
在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P 、P 、P ．
2 3 4在Rt△BEP 中，P E=BE•tan60°= • =3，
2 2
∴P （ ﹣m，﹣3）；
2
易知△ADP 、△BDP 均为等边三角形，∴DP =DP =AB=2 ，且P P ∥x轴．
3 4 3 4 3 4
∴P （﹣ ﹣m，3）、P （3 ﹣m，3）．
3 4
综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，
其坐标为：P（ ﹣m，1），P（ ﹣m，﹣3），P（﹣ ﹣m，3），P（3 ﹣m，3）．
1 2 3 4
点评：本题是二次函数压轴题，以平移变换为背景，考查了二次函数、一次函数、三角函数
（或相似）、等边三角形、角平分线的性质等知识点，有一定的难度．函数解析式中含有
未知数，增大了试题的难度．第（2）问中，解题关键是理解“点B与点C到直线OP的
距离之和最大且AP=BP”的含义；第（3）问中，满足条件的点P有4个，不要漏解．
