文档内容
2014 年福建省宁德市中考数学试卷
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请
在答题卡的相应位置填涂）
1．-5的相反数是
A． B．- C．-5 D．5
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．下列图形中，不是正方体表面展开图的是
A． B． C． D．
4．下列事件是必然事件的是
A．任取两个正整数，其和大于1 B．抛掷1枚硬币，落地时正面朝上
C．在足球比赛中，弱队战胜强队 D．小明在本次数学考试中得150分
5．把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B=70°，现将△ADE沿DE翻
折，点A的对应点为M，则∠BDM的大小是
A
D E
B M C
第6题图
A．70° B．40° C．30° D．20°
7．9的算术平方根是
A． B．3 C． D．
8．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是
数学试题 第 1 页 共 14 页B
N
C
E
M
O A
D
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
9．如图，在边长为1的正方形网格中，从A ，A ，A 中任选一点A （n=1，2，3），从
1 2 3 n
B ，B ，B ，B 中任选一点 B （m=1，2，3，4），与点 O 组成 Rt△AB O，则
1 2 3 4 m n m
=1的概率是
A3
A2
A1
B4 B3 B2 B1 O
A． B． C． D．
10．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，
DE⊥BC于E， FG⊥BC于G， DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG，
②△EDP≌△GFP，③∠EDP＝60°，④EP=1中，一定正确的是
A
D
G
B E P C
F
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．若∠A＝30°，则∠A的补角是_______°．
12．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是_______边形．
13．国务院《节能减排“十二五”规划》中明确指出：至2015年，全国二氧化硫排放总
量控制在20 900 000吨．数据20 900 000用科学记数法表示是_____________．
数学试题 第 2 页 共 14 页14．某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下： ，
， ， ，则这两名运动员中______的成绩更稳定．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆
的圆心是图中的点 ．
C
B Ａ
第 15 题
图
16．方程 的解是 ．
17．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB=AC=67cm，BC=30cm，则∠ABC的大小
约为_____°（结果保留到1°）．
A
B
C
18．如图，P是抛物线 在第一象限上的点，过点P分别向 轴和 轴引垂
线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
y
P
B
O A x
B
三、解答题（本大题有8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
19．（本题满分14分）
（1）计算： ；
（2）计算： ．
数学试题 第 3 页 共 14 页20．（本题满分8分）
某校在校内为见义勇为基金会开展了一次捐款活动，学生会随机调查了部分学生的捐
款金额，绘制了如下统计图1和统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）直接写出样本中学生捐款金额的众数和中位数，及统计图1中“15元”部分扇
形圆心角的度数；
（2）求本次被调查学生的人均捐款金额；
（3）若随机调查该校一名学生，估计该生捐款金额不低于20元的概率．
学生捐款金额扇形 学生捐款金额条形
统计图 统计图
人数
16
15元 16
12
20元 12
10
24% 10元 8 8
4
30元 32% 4
16% 5元 0
8%
5元 10元 15元 20元 30元 捐款金额
图1 图2
21．（本题满分8分）
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是 BC 的中点，连接 AC，DE，AC=AB，
DE∥AB．
求证：四边形AECD是矩形．
A D
B E C
数学试题 第 4 页 共 14 页22．（本题满分10分）
为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费
+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分
按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第
一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？
23．（本题满分10分）
如图，已知□ABCD，∠B=45，以AD为直径的⊙O经过点C．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AB= ，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
A O D
B C
.
数学试题 第 5 页 共 14 页24．（本题满分10分）
如图，点A在双曲线 （k≠0）上，过点A作AB⊥x轴于点B（1，0），且△AOB
的面积为1．
（1）求k的值；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90，得到△A′OB′，请在图中画出△A′OB′，并直接
写出点A′，B′的坐标；
（3）连接A′B，求直线A′B的表达式．
y
A
O B x
25．（本题满分13分）
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 Rt△DBC，
∠BDC=90．
数学试题 第 6 页 共 14 页（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；
下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设AB与CD相交于点O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠ ① ．
∵M是DC的中点，
∴CM= CD= ② ．
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以ＤN为斜边
的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说
明理由；
（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．
A A
D
O D
M O
B C B C
图1 图2
26．（本题满分13分）
数学试题 第 7 页 共 14 页如图，已知抛物线 与 轴交于A，B两点，与 轴交于C点．
（1）求A，B，C三点坐标及该抛物线的对称轴；
（2）若点E在x轴上，点P(x，y）是抛物线在第一象限上的点，△APC≌△APE，求
E，P两点坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠AMC是钝角．若存在，求出点M的纵
坐标 的取值范围；若不存在，请说明理由．
y y l
C C
P
A O E B x A O B x
备用图
数学试题 第 8 页 共 14 页2014 年福建省宁德市中考数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）
1．D 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D
二、填空题：（本大题有8小题，每小题3分，满分24分）
11．150 12．九 13． 14．甲
15．C 16． 17．77 18．6
三、解答题:（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
19．（本题满分14分）
（1）解：原式= +4+1 …………6分
= …………7分
（2）解：原式=
…………4分
…………5分
…………6分
…………7分
20．（本题满分8分）
（1）众数10元，中位数 15元，圆心角 72 ． …………3分
（2）解法一： …………5分
=16.2元
答：人均捐款金额为16.2元． …………6分
解法二： …………5分
=16.2元
答：人均捐款金额为16.2元． …………6分
数学试题 第 9 页 共 14 页（3）P(不低于20元）= = ．
2
答：在该校随机调查一个学生捐款金额不低于20元的概率为5． …………8分
21．（本题满分8分）
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
A D
∴四边形ABED是平行四边形． …………2分
∴AD = BE．
∵点E是BC的中点，
B E C
∴EC =BE= AD． …………4分
∴四边形AECD是平行四边形． …………5分
∵AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC = 90°． …………7分
∴□AECD是矩形． …………8分
（证法2：由四边形ABED是平行四边形得DE=AB=AC，∴□AECD是矩形．）
22．（本题满分10分）
解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得： ……1分
， …………7分
解得 ． …………9分
答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元． …………10分
23．（本题满分10分）
证明：（1）连结OC．
∠∠
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ． A O D
∵OC = OD，
∴ ，
B C
∴ ．
（或 ．） …………3分
∵AD∥BC，
∴ ，
∴直线BC是⊙O的切线． …………5分
（2）在Rt△DOC中，CD = AB = ， ，
数学试题 第 10 页 共 14 页∴OC = CDsin = sin =2， …………7分
∴AD =2OC =4．
S =S -S - S
阴影部分 □ABCD Rt△COD 扇形AOC
1 1
π×22
2 4
=4×2- ×2×2-
=6-π．
（或S =S - S ．)
阴影部分 梯形AOCB 扇形AOC
答：阴影部分的面积为（6-π）． …………10分
24．（本题满分10分）
（1）解法一：由题意得OB=1，
∵ ，AB⊥x轴，
由 ，得AB=2，
∴点A的坐标为A(1，2) ．
将A代入 得，k=2． …………3分
解法二：根据S = ，点A在第一象限，得k=2． …………3分
△AOB
（2）画图（略）； …………5分
A′(-2，1)，B′(0，1) ． …………7分
¿0
（3）设直线A′B的表达式 (k )，
∵A′(-2，1)，B (1，0) ，
∴ ，解得 ． …………9分
∴直线A′B的表达式 ． …………10分
25．（本题满分13分）
A
（1）证明：①∠ACO（或∠ACM) ；②BD； …………4分
（2）解法一：存在．在BD上截取BN=CD， …………5分
D
同（1）可证得∠ACD =∠ABN．
O
∵AC=AB，∴△ACD≌△ABN， …………6分 N
B C
∴AD=AN，∠CAD =∠BAN，
∴∠CAD+∠NAC=∠BAN+∠NAC，
数学试题 第 11 页 共 14 页即∠DAN =∠BAC=90°． …………8分
∴△AND为等腰直角三角形． …………9分
解法二：存在．过点A作AN⊥AD交BD于点N，则∠DAN=90°，…………5分
同（1）可证得∠ABN=∠ACD．
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠CAN=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN=∠CAD． …………7分
∵AB=AC，∴△ABN≌△ACD． …………8分
∴AN=AD，∴△AND为等腰直角三角形． …………9分
（3）①当CD＞BD时，CD=BD+ AD； …………11分
②当CD＜BD时，BD=CD+ AD． …………13分
26．（本题满分13分） y
C
解：（1）把x=0代入 ，
得y=8，∴C（0，8）． …………1分
A O B x
由 ，
得x=-6，或x=8．
∴点A坐标为（-6，0），点B坐标为（8，0）． …………3分
∴抛物线的对称轴方程是直线x=1． …………4分
（2）如图1，连接AP交OC于F点，设F（0，t），
连接EF，由题意可得AC=10，
y
∵△APC≌△APE，
C
∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．
P
∴OE=10-6=4，点E坐标为（4，0）．……5分 F
∵AP平分∠CAE，
A O E B x
∴由对称性得EF= CF=8-t．
在Rt△EOF中， ，
图1
∴ ，解得t=3．
∴点F坐标为（0，3）． ……7分
设直线AF的表达式 (k ¿0 )， y
C
P
将点A（-6，0），F（0，3）代入，解得 ， F K
A O E B x
数学试题 第 12 页 共 14 页 图2∴直线AF的表达式 ．
由 ，
解得 或 （不符合题意，舍去）．
y
C
∴P（5， ），E（4，0）． …………10分,
P
G
注：解法二：如图 2，连 CE 交 AP 于 K，由
F
AC=AE，AP平分∠CAE得K为CE中点，坐标为（2，
A O E B
4），则可求得直线AP的表达式，以下相同；
解法三：如图3，过点F作FG⊥AC，由AP平分 图3
∠ CAE ， 得 AG=AO=6 ， 证 △ AOC∽△FGC ， 由
y
C
，得F（0，3），以下相同；
P
解法四：如图 3，过点 F 作 FG⊥AC，设 OF=FG=x，
F
CF=8- x，在Rt△CGF中由勾股定理得F（0，3）以下相
同； A O EH B x
解法五：如图4，用以上方法求出F（0，3）后，可过
图4
点P作PH⊥AB，证△AOF∽△AHP，由 ，设P
l
y
为（2y-6，y），代入抛物线得出 P（5， ），E（4，
C
0）； S
(3) 解法一：如图5，以AC为直径画⊙I，交对称轴l于 Q
I J
S，T，作IQ⊥l于Q，IQ交y轴于J，易得I为（-3，4），
T
A O D B x
∴IQ=4，IS=5； …………11分
在Rt△SIQ中由勾股定理得SQ=4
∴S，T的坐标分别为（1，7）和（1，1），……12分
当M介于S 和S 之间时，延长AM交⊙I于L，∠ALC=90， 图5
1 2
∠AMC＞∠ALC，∴∠AMC是钝角，∴1＜n＜7．……13分
l
y
注：解法二：如图6，对称轴l交x轴D点，设点S在对称轴
C N
l 上，且∠ASC=90°，过 C 作 CN⊥l 于 N，连接 SC，AS，则有 S1
CN=1，AD=7，设SD=m，则SN=8-m． ………11分
S2
数学试题 第 13 页 共 14 页 A O D B x
图6由△ADS∽△SNC，解得：m=1或m=7．
经检验符合题意，得S 和S 的纵坐标分别为7和1……12分
1 2
当M介于S 和S 之间时，∠AMC是钝角，
1 2
∴当∠AMC是钝角时 的取值范围是1＜n＜7． ……13分
数学试题 第 14 页 共 14 页
