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2025-2026学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题各4分，共40分）
1．（4分）商后母戊鼎又称司母戊鼎是已知中国古代最重的青铜器，鼎身四周铸有精巧的各类纹饰，下
列纹饰中是轴对称图形的是（ ）
A． 夔龙纹 B． 牛角兽面纹
C． 饕餮纹 D． 虎噬人纹
2．（4分）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3＝9x3 D．（x2）3＝x6
4．（4分）如图，已知∠AOB与∠EO′F（∠AOB＞∠EO′F），分别以点O，O′为圆心，以同样长为
半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以点B′为圆心，以
E′F′长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A′B′于点H．下列结论正确的是（ ）
.A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOH＝∠EO′F
C．∠AOH＝∠BOH D．∠HOB＝∠EO′F
5．（4分）如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，下列条件中用利用“SAS”的办法判定
△ABC与△DEF全等的是（ ）
A．AE＝FB B．∠CAB＝∠DFE C．∠D＝∠C D．∠ABC＝∠DEF
6．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．35° B．50° C．60° D．70°
7．（4分）如图，在△ABC中，点D、F分别在边BC、AC上，若BC＝ED，AC＝CD，AB＝CE，且
∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2m，对下列角中，大小为m的角是（ ）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】A．∠CDF B．∠ABC C．∠CFD D．∠CFE
8．（4分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高线，CE为AB边上的中线，AD，CE交于点F，连接
BF，下列说法中错误的是（ ）
A．若CA＝CB，则BF⊥AC
B．若AB＝AC，则S△ABF ＝S△BCF
C．若FA＝FB＝FC，则FD＝EF
D．若BA＝BC，则∠ABF＝∠CBF
9．（4分）若a，b是正整数，且满足3a+3a+⋯+ 3a = 3b×3b×⋯×3b，则a与b的关系正确的
︸ 9个3a相加 ¿
是（ ）
A．a+2＝9b B．2a＝9b C．a+2＝b9 D．2a＝9+b
10．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，
∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA和HC．①BD
＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④CF：AF＝CG：AG；其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）计算：
（1）x3+x3＝ ；
（2）a2•a3＝ ；
（3）（﹣a3）2＝ ；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（4）（2x3）3＝ ．
12．（4分）如图，作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点P，连接AP．若AC＝3，BC＝7，则△APC
的周长为 ．
13．（4分）如图，△ABC≌△EDF，BD＝10，FC＝4，BC＝ ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，S△ABD ＝12，则CD的长为
．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABN＝∠MBC，BM＝NM，则∠NBC的度数是
°．
16．（4分）如图，等边△ABC的边长为8，点E在BC上，CE＝2，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是
射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，AF的长为 ．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）计算：（1）a2•a4+（a2）3；
（2）（2x2）4+（﹣x2）3•x2﹣x3•x4•x．
18．（6分）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C
（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出A ，B ，C 点坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）在x轴上找出一点P，使PB+PA 最短．
1
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D是BC的中点，E是AB上一点，满足BE＝
CD，求∠ADE的度数．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】21．（8分）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果3×9x×27x＝326，求x的值；
（2）已知m＝63，n＝54，用含m，n的式子表示3036．
22．（11分）如图，△ABC与△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图，若点D在线段BE上，且BE＝BC，请猜想∠ACB与∠ABE的数量关系，并说明理由．
23．（11分）如图，在△ABC中，CD是∠ACG的角平分线．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线与射线CD交于点E（保留作图痕迹）；
（2）过点E作EF⊥AC，若BC＝8，CF＝2，求AC的长度．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点M（m，n），且平行于x轴．给出如下定义：
点P（x，y）先关于x轴对称得点P ，再将P 关于直线l对称得到点P ，则称点P 是P关于x轴和直
1 1 2 2
线l的双反射点．
（1）已知点M（0，3），
①若点P（0，﹣4），则P关于x轴和直线l的双反射点P 的坐标是 ；
2
②若点Q（0，a），其中a＞3，点Q关于x轴和直线l的双反射点Q ，求线段QQ 的长度．
2 2
（2）若点A（0，5），B（4，3），是否存在点M（m，n），使得点A关于x轴和直线l的双反射点
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】A ，满足A M＝A B，∠MA B＝90°．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2 2 2 2
25．（14分）如图1，已知∠EAF＝30°，定点P在射线AE上，动点B在射线AF上，作四边形ABPC，
使PC＝PB，且∠CPB＝150°．
（1）如图1，当∠PBA为锐角时．
①若∠PBA＝ ，试用含 的式子表示∠CPA＝ ；
α α 1
②过点C作CH⊥AP于点H，求证：CH= AP．
2
（2）如图2，连接BC交AP于点Q，当点B运动到使PC∥AB时，探究线段PC，PQ，AB之间的数量
关系，并说明理由；
（3）若点B关于直线AP的对称点为点D，连接DP，DC，当△DPC为等腰直角三角形时，请直接写
出S 的值．
△PAC
S
△PCD
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C B A D A B
11.（1）2x3；（2）a5；（3）a6；（4）8x9 12.10 13.7 14.4 15.60 16.3
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
{
∠B=∠ACE
)
BC=AC ，
∠BCD=∠CAE
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确，符合题意；
②如图，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，
∵∠EFC＝∠AFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CGN＝∠CEM，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】在△ECM和△GCN中，
{
∠CGN=∠CEM
)
∠CME=∠CNG=90° ，
CM=CN
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△BCD≌△CAE（ASA），
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
{
AM=HN
)
∠AMC=∠HNC=90° ，
CM=CN
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确，符合题意；
③由②知，∠CFH＝∠AFH＝60°，
若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°相矛盾，故③错误，不符合题意；
④∵∠ECF＝∠GAF，∠CFE＝∠AFG＝60°，
∴△ECF∽△GAF，
∴CF：AF＝CE：AG＝CG：AG，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故选：B．
16．解：如图，作E点关于CD的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB于点F'，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】则E'P＝EP，
∴EP+FP＝E′P+PF≥E′F≥E'F'，
即当EP+FP的值最小时，点F位于F'处．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F'⊥AB，
∴∠F'E′B＝30°，
∵等边△ABC的边长为8，CE'＝CE＝2，
∴BE′＝BC+CE＝8+2＝10，
1
∴BF'= BE'＝5，
2
∴AF＝8﹣5＝3，
∴当EP+FP的值最小时，BF的长为3，
故答案为：3．
解答题参考答案
17．解：（1）a2•a4+（a2）3
＝a6+a6
＝2a6；
（2）（2x2）4+（﹣x2）3•x2﹣x3•x4•x
＝16x8+（﹣x6）•x2﹣x8
＝16x8﹣x8﹣x8
＝14x8．
18．证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABC和△EAF中，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】{∠ACB=∠EFA
)
∠B=∠EAF ，
AB=AE
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
19．解：（1）如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
由图知，A （﹣1，1），B （﹣4，2），C （﹣2，3）；
1 1 1
（2）如图所示，点P即为所求．
20．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵点D是BC的中点，AB＝AC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵BE＝CD，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED＝65°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
21．解：（1）∵3×9x×27x＝326，
∴3×32x×33x＝31+5x＝326，
∴1+5x＝26，
∴x＝5；
（2）∵m＝63，n＝54，
∴3036
＝（6×5）36
＝636×536
＝（63）12×（54）9
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】＝m12n9．
22．（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠ACB与∠ABE的数量关系是：3∠ACB+∠ABE＝180°，理由如下：
设∠ACB＝ ，∠ABE＝ ，
∵△ABC是α等腰三角形，β且AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ，
∴∠CBE＝∠ABC﹣α∠ABE＝ ﹣ ，
由（1）可知：△BAD≌△CAαE，β
∴∠ABE＝∠ACE＝ ，
∴∠BCE＝∠ACB+∠βACE＝ + ，
在△BCE中，BE＝BC， α β
∴∠BEC＝∠BCE＝ + ，
由三角形内角和定理α得β：∠CBE+∠BEC+∠BCE＝180°，
∴ ﹣ + + + + ＝180°，
∴α3 +β＝α18β0°α，β
∴3α∠AβCB+∠ABE＝180°．
23．解：（1）图形如图所示：
（2）过点E作EH⊥BC于点H，连接EA，EB．
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴EA＝EB，
∵CD平分∠ACG，EF⊥AC，EH⊥BG，
∴EF＝EH，
∵∠EAF＝∠EHB＝90°，
∴Rt△AEF≌Rt△BEH（HL），
∴BH＝AF＝10，
AC＝AF+FC＝10+2＝12．
24．解：（1）①点P（0，﹣4）关于x轴对称点P 为（0，4），
1
P （0，4）关于直线y＝3对称点为P （0，2）；
1 2
故答案为：（0，2）；
②∵Q（0，a），
设Q 是Q关于x轴对称的点，
1
∴Q （0，﹣a）设直线l与y轴相交于M点，
1
∵M（0，3），a＞3，
∴MQ ＝3﹣（﹣a）＝3+a，
1
∴Q 的纵坐标为3+3+a＝6+a，
2
∴QQ ＝6+a﹣a＝6；
2
（2）如图，过点B作BE⊥y轴，过点M作MF⊥y轴，
∴∠A EB＝∠A FM＝90°，∠2+∠3＝90°，
2 2
∵∠MA B＝90°，
2
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】在△A BE和△MA F中，
2 2
{
∠3=∠1
)
∠A EB=∠A FM ，
2 2
A B=A M
2 2
∴△A BE≌△MA F（AAS），
2 2
∴A F＝BE，A E＝MF，
2 2
∵A（0，5），
∴A的双反射点A （0，5+2n），
2
∵B（4，3），E（0，3），F（0，n），M（m，n），
∴A F＝|5+2n﹣n|＝|5+n|，BE＝4，A E＝|5+2n﹣3|＝|2+2n|，MF＝|m|，
2 2
∴|5+n|＝4，|2+2n|＝|m|，
∴n＝﹣1或﹣9，
当n＝﹣1时，|m|＝0，故m＝0，
当n＝﹣9时，|m|＝16，故m＝±16，
∵（16，﹣9）时，∠MA B≠90°，
2
∴（16，﹣9）（舍去），
∴M（0，﹣1）或（﹣16，﹣9）．
25．（1）①解：如图1中，
∵∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣ ＝150°﹣ ，
∵∠CPB＝150°， α α
∴∠CPA＝∠CPB﹣∠APB＝150°﹣（150°﹣ ）＝ ；
故答案为： ； α α
②证明：如α图1中，过点P作PT⊥AB于点T，
∵CH⊥AP，
∴∠CHP＝∠PTB＝90°，
∵∠CPA＝ ，∠ABP＝ ，
α α
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠CPH＝∠PBT，
∴PC＝PB，
∴△CPH≌△PBT（AAS），
∴CH＝PT，
∵∠ATP＝90°，∠PAT＝30°，
∴PA＝2PT，
1
∴CH＝PT= AP；
2
（2）解：结论：AB﹣PC＝2PQ．
理由：如图，过点Q作KJ⊥AP交AB于点J．
∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠PAB＝30°，
∵PC＝PB，∠CPB＝150°，
∴∠PCB＝∠PBC＝15°，
∴∠PCB＝∠ABC＝15°，
∴∠QBP＝∠QBJ，
∵∠PQB＝∠QPC+∠PCQ＝30°+15°＝45°，∠PQJ＝90°，
∴∠BQP＝∠BQJ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△BQP≌△BQJ（ASA），
∴PQ＝JQ，PB＝BJ，
∵∠AQJ＝90°，∠QAJ＝30°，
∴AJ＝2QJ＝2PA，
∴AB﹣PC＝AB﹣PB＝AB﹣BJ＝AJ＝2PQ．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（3）解：①如图3中，当点C在点D的左侧时，
∵△PCD是等腰直角三角形，
∴∠CPD＝90°，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPD+∠CPB＝240°，
由翻折的性质可知，∠DPE＝∠BPE＝60°，
∴∠CPA＝30°＝∠PAB，
∴CP∥AB，
由（2）可知，PA＝PB＝PC＝PD，
1 1
过点C作CH⊥PA于点H，则CH= PC= PA，
2 2
1 1
PA⋅CH PA2
S 2 2 1
∴ △PAC = = = ；
S 1 PA2 2
△PCD PC⋅PD
2
②如图4中，当点C在点D的右侧时，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】由∠DPC＝90°，∠BPC＝150°，得到∠BPD＝60°，
∵B，D关于AP对称，
∴PD＝PB，
∴△PDB是等边三角形，
∴∠APB＝∠APD＝30°，
∵∠PAB＝30°，
∴DPA＝∠PAB＝∠APB，
∴PD∥AF，AB＝PB，
延长CP交AF于点H．则∠BPH＝30°，∠PHB＝90°，
设BH＝a，则AB＝PB＝DP＝PC＝2a，
∴AH＝3a，
1
⋅2a⋅3a
S 2 3
∴ △PAC = = ，
S 1 2
△PCD ⋅2a⋅2a
2
综上所述，S 1或3．
△PAC =
S 2 2
△PCD
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