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专题5.15 平行线的性质（分层练习）
一、单选题
1．（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n
上，已知∠α=120°，则∠β的度数是（ ）
A．45° B．60° C．65° D．75°
2．（2023下·全国·七年级专题练习）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判定 的
条件有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
3．（2023下·福建厦门·八年级厦门市海沧中学校考期末）如图，直线 ，则直线 之间的距离
是（ ）
A．线段 B．线段 的长度 C．线段 D．线段 的长度
4．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）如图，直线 ∥ ， ⊥ ．有三个命题：① ；② ；③ ．
下列说法中，正确的是
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①和③正确 D．①②③都正确
5．（2023下·七年级课时练习）如图，直线 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，直线 ，点 在直线 上，以点 为圆心，适当长
为半径画弧，分别交直线 于点B、C，连接 .若 ，则 的大小为（ ）
A．70° B．72° C．74° D．76°
7．（2022下·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）如图， ∥ ，有图中α，β，γ
三角之间的关系是（ ）A．α+β-γ=180°， B．α-β+γ=180°
C．α+β-γ=360°， D．α+β+γ=360°
8．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝
60°，∠C＝90°，点B在直线b上，直线a b，若∠1＝105°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，
， 平分 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）已知直线a b，将一块含 角的直角三角板 按如图
所示方式放置 ，并且顶点 ， 分别落在直线 ， 上，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
11．（2023下·河北秦皇岛·七年级秦皇岛市第七中学校考期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a
与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为（ ）厘米
A．3 B．7 C．3或7 D．2或7
12．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）将一幅三角板按如图放置，其中 ，则下列结
论中，① ；②如果 ，则有 ；③如果 ，则有 ；④如果 ，
则必有 ．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③
二、填空题
13．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）如图：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠DEA＝125°，则
∠CAE＝ °．
14．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知 ，则15．（2023下·上海黄浦·七年级校考阶段练习）如图，直线 ，点 在 上，若 ，
，三角形 的面积为24，则三角形 的面积为 ．
16．（2022下·江苏苏州·七年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E
在AC上， ， ， ．小明将 ADE从图中位置开始，绕点 按每秒
的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边 与边 平行．
17．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期中）已知： ，点 在点 的右侧， 平分 ，
平分 ， ， 所在直线交于点 ， ．
（1） 度；
（2）若 ，则 的度数是 （用含 的式子表示）．
18．（2023上·吉林·七年级东北师大附中校考期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，
点 、 、 、 在同一条直线上，若 ，则 的度数为 ．19．（2022下·河北保定·八年级保定市第十七中学校考开学考试）已知一个角的两边与另一个角的两
边分别平行，结合图①②，
（1）如图①②，则 ， ，则 与 的数量关系是 ；
（2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少 ，则这两个角的度数分别是
．
20．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如图， ，三角形 面积是
10， 是4，则三角形 的高是 ．
21．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，含有 角的直角三角板的两个顶点 放在一个
长方形的对边上，点 为直角顶点， ，延长 交 于点 ，如果 ，那么 的度数
是 ．
22．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，已知 ，连接 ． 分别
是 的角平分线（点 在平行线 之间），已知 ，（1）当 时， 度．
（2） 与 之间的关系式为 ．
23．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）在 中， ， ，点D是 边上一点，
过点D将 折叠，使点C落在 下方的点 处，折痕 与 交于点E，当 与 的一边平行
时， 的度数为 ．
24．（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）如图， 的平分线 与 的平分线相交于点 ，
过 作 交 于 ，交 于 ，若 ，则 的长为 ．
三、解答题
25．（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）填空：如图，在四边形 中， 分别于 、 相
交于点 、 ， ，试说明 ．
解：∵ ，
∴ ____ ____（____________________），
又∵ ，
∴ ____ ____（____________________），
∴ ____ ____（____________________）．26．（2023上·河南周口·七年级校联考期末）如图，已知 、 、 在一条直线上， ，问：
与 相等吗？为什么？
27．（2022上·河南新乡·七年级校考期末）问题情景：如图1， ．
（1）观察猜想：若 ， ．则 的度数为__________．
（2）探究问题：在图1中探究， 、 与 之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时 、 与 之间有怎样的等
量关系？并说明理由．28．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）（1）如图①， ， ，
，求 的度数．
（2）如图②， ， ， ，求 的度数；
（3）如图③，在 的条件下， 的平分线和 的平分线交于点 ，求 的度数．
29．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图（1），直线 与直线 ， 分别交于点 ，
， 为钝角， ．
（1）求证： ；
（2）如图（2），点 分别在直线 上，点 （不在直线 上）是直线 之间一
点，连接 ．若 ，求 等于多少度？
（3）如图（3），在（2）的条件下， 平分 交直线 于点 ， 平分 交 于点
，交直线 于点 ．若 ，求 的度数．30．（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）【基础巩固】
（1）如图1， ， 平分 ， 平分 ，试说明 ；
【尝试探究】
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成 的垂线，则“ ”这个结论不成立．请帮
小明完成探究：
如图2， ， 平分 ， ， 是 与 的夹角， 是 与 的夹角．
①若 ，求 的度数；
②试说明： ．
【拓展提高】
（3）如图3，若 ， ， 平分 ，请判断 与 之间的数量关系，并说明
理由．参考答案：
1．D
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠α，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和求出∠2，然后根据对顶角相等解答．
解：如图，∵m∥n，
∴∠1＝∠α＝120°，
∵∠1＝∠2＋45°，
∴∠2＝∠1−45°＝120°−45°＝75°，
∴∠β＝∠2＝75°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对顶
角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．B
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种
判定方法进行判定即可．
解：∵∠ ，∴ ，故①不合题意；
∵ ，∴ ，故②符合题意；
∵ ，∴ ，故③不合题意；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，故④符合题意．
故本题选：B．
【点拨】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．
3．D
【分析】根据两平行线之间的距离的概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
叫做两平行线的距离，进行判断即可．
解： 直线 ， ，
线段 的长度是直线 之间的距离，
故选：D．
【点拨】此题考查了平行线间的距离，熟练掌握平行线间的距离的概念是解答此题的关键．
4．A
解：因为 ∥ ，所以 ，又因为 °，所以 ，
由 ∥ 可得 ，而不是 ，所以只有①正确，故选A
5．A
【分析】根据平行线的性质，得 ，再根据对顶角相等，即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，对顶角相等．
6．B【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠2．
解：如图，由题意得，AC=AB，
∠2=180°-54°×2=72°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠1=∠2=72°．
故选B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．A
【分析】过E作EF∥AB∥CD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED
即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
8．A
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求得 ，进而根据两直线平行，同旁内角互补求得 ，
根据对顶角相等即可求得 的度数．解：如图，
∠A＝60°，∠C＝90°，
故选A
【点拨】本题考查了直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解
题的关键．
9．A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到 ，求出
，再利用角平分线计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ,
∴ ，
故选：A．
10．D【分析】根据平行线的性质结合三角板的角的度数即可求得答案．
解：∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
11．C
【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为： （厘米）；一种是c
在a、b之间a与c的距离为： （厘米）．
解：应分两种情况：
①如图：
a与c的距离为： （厘米）．
②如图
a与c的距离为： （厘米）．
综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米．
故选：C
【点拨】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离．
12．B
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，
即可得出答案．
解：①∵ ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确．
③∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 不平行于 ，故③错误．
④∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线判定和性质，余角等知识，明确两种三角板各角的度数是解题的关键．
13．55
【分析】根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，可计算∠EAB的度数，再根据角平分线的性
质可得，∠CAE＝∠EAB，即可得出答案．
解：∵AB∥CD，∠DEA＝125°，
∴∠EAB＝180°﹣∠DEA＝180°﹣125°＝55°，
又∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB＝55°．
故答案为：55．
【点拨】本题主要考查了平行线及角平分线的性质，熟练应用相关性质进行计算是解决本题的关键．
14． ．
【分析】首先根据题目所给条件判断出两条直线平行，然后再根据平行线的性质进行求解即可．
解：如图， ，由 ，知 ，则 ，
， ，
故答案为： ．【点拨】本题考查对平行线判断的能力以及对平行线性质的了解，解题的关键是要懂得平行线的基本
性质，然后再结合题目进行求解即可．
15．40
【分析】利用 ABC的面积，求出其BC边上的高AF=8，再利用平行线之间的距离相等，可以得到
CDE的边DE上的△高也为8，从而求出 CDE的面积．
△ 解：如图1，过A作AF⊥BC于F， △
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为40．
【点拨】本题是一道关于三角形面积的题目，理解平行线间距离处处相等是解决本题的关键．
16． 或
【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即
可求得答案．
解：①当DE在AB上方，∵ ，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴旋转时间为： （秒）；
②当DE在AB下方，
∵ ，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°-∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，
∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，
∴旋转时间为： （秒），
综上所述：在旋转过程中，第 或 秒时，边 与边 平行，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答．17． 35
【分析】（1）由 平分 和 ，可得 ；
（2）过点 作 ，由 ，可推得 ，利用平行线性质可得 ，
，利用角平分线定义与角的和即可得出结论．
解：（1）∵ 平分 ，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ；
（2）过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查平行线性质，角平分线定义，角的和差，是基础题，掌握平行线性质，角平分线定
义，角的和差是关键．
18． /49度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得 的度数，再
根据平行线的性质求解即可．解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
19． 或 和 或 和
【分析】（1）根据 ， ，即可得 与 的关系；
（2）设另一个角为 ，根据以上结论和一个角比另一个角的2倍少 ，列出方程即可求出这两个角
度数．
解：（1）如图①， ，
，
，
，
；
如图②， ，
，
，
，
．
（2）设另一个角为 ，根据以上结论得：
或 ，
解得： ， ，
当时，两个角分别为 和 ；
当时，两个角分别为 和
故答案为： 或 ； 和 或 和 ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，得到角的关系．
20．5
【分析】求出三角形 的高，根据平行线之间的距离即可解决．
解：∵三角形 面积是10， 是4，
∴三角形 的高为 ，
∵ ，
∴三角形 的高与三角形 的高相等，即为5，故答案为：5．
【点拨】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是掌握平行线之间的距离处处相等．
21．
【分析】本题考查了矩形的性质和平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”的应用，关键是得出
与 互补．
根据三角形的内角和得到 ，根据平角的定义得到 ，根据平行线的性质即可得
到结论．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
22． 117
【分析】（1）根据 可得 ，从而得 ，进而即可求解；
（2）过点 作 ，根据题意得出 ，结合平行线的性质即可得
到答案．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：117；
（2）由（1）可知： ，过点 作∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ， ，
∵
∴
即
∴
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键．
23． 或
【分析】需要分两种情况讨论：①当 时；②当 时．可先求得 的度数，然后
求得 的度数，利用三角形内角和，即可求得答案．
解：①当 时．
由轴对称图形的性质可知
， ．
，
．
．
．
．
．
．②当 时．
由轴对称图形的性质可知
， ．
，
．
．
．
．
．
综上所述， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查平行线的性质、轴对称图形的性质、多边形内角和等．牢记平行线的性质、轴
对称图形的性质、多边形内角和公式，并根据题意分类讨论是解题的关键．
24．10
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质“两直线平行，内错角相等”、等腰三角形的性
质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证 是关键．
由 的平分线 与 的平分线 相交于点 得到 ，再由
得到 ，得到 ，从而得到
，然后由 得到 ，从而得到 ．
解：∵ 的平分线 与 的平分线 相交于点 ，
∵ ，
∴
故答案为：10．
25．1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；2；等量代换．【分析】根据平行线的性质和等量代换即可解答．
解：∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
又∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∴ （等量代换）．
故答案为：1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；2；等量代换．
【点拨】题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
26． ；理由见分析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，通过 判定 ,再利用平行线性质即可解题．
解： 与 相等，理由如下：
，
，
．
27．（1） ；（2） ，理由见分析；（3） ，
理由见分析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角
互补是解题的关键．
（1）过点P作 ，则 ，根据两直线平行，内错角相等得到
，则 ；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作 ，则 ，根据平行线的性质得到
，再证明 ，即可得到
．
（1）解：如图所示，过点P作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图所示，过点P作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
如图所示，过点P作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
28．（1）90°；（2）70°；（3）35°【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过点 作 ，根据 ， ，进而根据平行线的性质即可求 的度数；
（3）在（2）的条件下，根据 的平分线和 的平分线交于点 ，可得 的度数．
解：解；（1）如图 ，过点 作 ，
两直线平行，内错角相等 ，
已知 ，
平行于同一条直线的两直线平行 ，
两直线平行，同旁内角互补 ．
已知 ，
，
，
即 ；
（2）如图 ，过点 作 ，
两直线平行，内错角相等 ，
（已知），
平行于同一条直线的两直线平行 ，
两直线平行，内错角相等 ．
；
（3）如图 ，过点 作 ，是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
两直线平行，内错角相等
已知 ，
平行于同一条直线的两直线平行 ，
两直线平行，内错角相等 ．
．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与
性质．
29．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由 结合对顶角相等得出 ，即可得出 ；
（2）过点 作 ，则 ， ，从而得到 ，由 得
出 ，由平行线的性质可得 ，最后得出 ；
（3）过点 作 交 于点 ，则 ，设 ，则
，由 ，得出 ，从而得到 ，最后再
根据角平分线的定义进行计算即可．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 ，，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 交 于点 ，
，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
30．（1）见分析；（2）① ；②见分析；（3） ，理由见分析
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义求解即可；
（2）①根据垂直的定义推出 ，再根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可；②根据平
行线的性质及角平分线的定义求解即可；
（3））根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，利
用垂直的定义可得 ，继而可得 ，代入化简即可．
解：（1） ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
（2）① ，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ，
；
② ，
，平分 ，
，
，
，
，
；
（3） ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
