文档文本内容
（在此卷上答题无效）
2025-2026 学年福州市高三年级五月质量检测
数 学
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
高三数学 — 1 — （共 4 页）
A = − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ，集合 B = x ( x + 1 ) ( x − 2 ) 0 ，则 A B =
A． 3 B． 0 , 1 C． − 1 , 0 , 1 , 2 D．−1,0,1,2,3
2．若复数z满足
1
z
+ i
= 7 − i ，则 z =
A．100 B．25 C．10 D．5
3．某 AI 数据中心共有 4 个开源大模型供公众使用．该中心分别对这 4 个模型在某
天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低
于中位数的为
A B
C D
频 率 组/ 距
词 元 调 用 量
频率/组距
词元调用量
频 率 组/ 距
词 元 调 用 量
频率/组距
词元调用量4．已知圆台的上、下底面面积分别为
高三数学 — 2 — （共 4 页）
S ' ， S ，且S =4S，圆台的高为 3，轴截面
面积为9，则该圆台的体积为
7π
A． B．
4
7 π C． 1 4 π D． 2 8 π
π
5．已知点 ,0 是函数
2
f ( x ) s i n x
π
3
=
+
（（ 0）的图象的一个对称中心，则
的最小值为
A．
1
3
B．
2
3
C．
4
3
5
D．
3
6．记 S
n
为等比数列 a
n
的前 n 项和，设甲： S
1
， S
3
，S 为等差数列；乙：
2
a
2
， a
4
，
a
3
为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．右图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等
直角三角形和中心小正方形构成．若 A E = E F ，则
A．
A F = 4
5
A B + 3
5
A D B．
A F = 4
7
A B + 3
7
A D
C．
A F = 4
5
A B + 2
5
A D D．
A F = 4
7
A B + 2
7
A D
8．已知 2 l o g
2
x − x = 0 ，3log y−y=0，
3
5 l o g
5
z − z = 0 ，则 x ， y ， z 的大小关系
不可能为
A． x y z B． x z y C． z x y D． z y x
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知 c o s ( x + y ) =
1
3
，则
A．当x=π时， c o s y =
1
3
π
B．当y=− 时，
2
s i n x =
1
3
C．当 x = y 时， s i n x =
1
3
D．当 c o s ( x − y ) =
2
3
时， t a n x t a n y =
1
3
10．已知函数 f (x)= x3 +bx2 +cx(b,cR)，则下列说法正确的是
A．若 f (x)是奇函数，则b=0
B．若 f (x)是增函数，则b2 −3c0
C． f (x)所有零点的平方和等于b2 −3c
D．当b2 −3c0时，存在两条互相垂直的直线都与曲线y = f (x)相切11．在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点
高三数学 — 3 — （共 4 页）
F ( 2 , 0 ) 的距离相等的点
的轨迹是C．则
A．点 ( 1 , 0 ) 在 C 上
B．存在斜率为1的直线与 C 恰有3个公共点
C．当且仅当a −2，圆 ( x − a ) 2 + y 2 = 8 与 C 恰有4个公共点
D．存在定点 P ，过 P 且互相垂直的任意两条直线都与C 相交，所有交点中必
有两个与P等距
三、填空题：本题共 3 小题，每小题5分，共 15分。
12．已知数列 a
n
满足 a
1
= 2 ， a
n + 1
= 1 −
1
a
n
，则 a
n
的前7项和为 ．
13．等边三角形的一个顶点位于抛物线 y 2 = 4 x 的焦点，另外两个顶点都在该抛物线
上，这个三角形的边长可以为 （写出一个符合题意的答案即可）．
14．共有3枚质地均匀的硬币，每枚硬币抛出后正面朝上与反面朝上的概率均为
1
2
．
第一次将三枚硬币同时抛出，之后每次从当前反面朝上的硬币中任意选取 2 枚
同时抛出，直到反面朝上的硬币数少于 2 枚时停止操作．当停止操作时，所有硬
币均为正面朝上的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 2 + c 2 − b 2 = 4 0 ，△ABC
的面积为10 3．
（1）求B；
（2）若 b s i n A = 4 3 ，求BC 边上的中线长．
16．（15分）
近年，国家不断加大反诈宣传力度．“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，
其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸中特定组合即可获得
大额奖金为诱饵，吸引路人参与．已知袋中装有 2个红球，3个黄球，4个蓝球，
这9个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出 5个球，若
其中三种颜色球的个数比为 0 : 1 : 4 （（ 所述比例不固定对应具体颜色，下同），则获
得100元奖金；若其中三种颜色球的个数比为 0 : 2 : 3 ，则获得 5元奖金；若其中
三种颜色球的个数比为1:1:3，则没有奖金也不需付钱；仅当其中三种颜色球的
个数比为1:2:2时，需要支付10元．
（1）求摸球者摸球一次获得 100元奖金的概率；
（2）试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局．17．（15分）
在四棱锥
高三数学 — 4 — （共 4 页）
P − A B C D 中，PA⊥平面 A B C D ，AB CD，
PA= AB=2，BC=CD=DA=1．
（1）证明：平面PBD ⊥平面 P A D ；
（2）若 M 为棱 P B 上一点（不含端点），直线 D C 与
平面 M A D 所成角的正弦值为
2
7
1
，求
P
P
M
B
．
18．（17分）
已知椭圆
1
（：
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) （的右顶点为 A （，上顶点为 B （， A B = 2 5 （，
△ O A B 的面积为4（（ O 为坐标原点）．以 O 为中心、焦点在 x 轴上的椭圆
2
在
1
的内部，且与
1
的离心率相等．分别过 A , B 作
2
的切线l ,l ，设
1 2
l1 , l
2
的斜率分别
为 k
1
，k ．
2
（1）求
1
的方程；
（2）求 k
1
k
2
的值；
（3）若 的长轴长为 4，是否存在定点
2
P ，当过 P 的动直线 l 与
1
交于两点 M , N ，
与l 交于点
1
Q 时，都有 M P Q N = M Q P N ？若存在，写出 P 的坐标并证明；
若不存在，说明理由．
19．（17分）
已知函数 f ( x ) = a ( x − 1 ) − l n x ．
（1）讨论 f ( x ) 的单调性；`
（2）关于 x 的方程 f (x)=k有两个实根u ,v ，对每一个满足条件的k，u v 1．
k k k k
（ⅰ）求 a 的取值范围；
（ⅱ）当 k N * 时，记S =u +v ，证明：
k k k
k
n
= 1
S
k
n 2 + (1
a
+ 2 a ) n
．
