数学细则：2025-2026学年福州市高三年级三月质量检测_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260308福建省福州市2025-2026学年高三三月质量检测（全科）_数学

2025-2026 学年福州市高三年级三月质量检测 数学试题评分细则 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1-8 C D A B D B C B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. BC 10. ACD 11. BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5分，共 15分。 12. 高三数学评分细则 —1— （共20 页） 3 13. 1 2 π 14. ( 5 , 2 + 1  （写 ( 5 , 3 + 2 2  不扣分） 四、解答题：本题共 5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15. （13分） 记 S n 为等差数列  a n  的前 n 项和，已知 S 9 = 9 0 ， a 3 = 1 4 . （1）求  a n  的通项公式； （2）设函数 f ( x ) = 2 x + 2 − 2 − x − 2 + 1 ，记b = f (a )，求数列b 的前21项和 n n n T 21 . 【考查意图】本小题主要考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式，数列求和等基础知识， 考查运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想等，考查直观想象、数学运算等 核心素养，体现基础性、综合性．满分13分． 【解析】（方法一） S =9a +36d =90, （1）设等差数列a 的公差为d ，则 9 1 ································ 2分 n  a =a +2d =14, 3 1 解得  a d 1 = = 1 − 8 2 , , ····················································································· 4分 所以a =a +d(n−1)=18−2(n−1)=−2n+20（nN*）. ···························· 6分 n 1（1）评分细则： 步骤一：根据条件列方程组，解方程组（2分+2分）（注：公差 高三数学评分细则 —2— （共20 页） d 没假设出来不扣分） 步骤二：求通项公式（2分）（注：nN*没写不扣分） （2）因为 f ( x ) = 2 x + 2 − 2 − x − 2 + 1 ， 所以 b n = f ( a n ) = f ( − 2 n + 2 0 ) = 2 − 2 n + 2 2 − 2 2 n − 2 2 + 1 ， ······································ 8分 所以 T 2 1 = b 1 + b 2 + + b 2 1 =(220 −2−20 +1)+(218 −2−18 +1)+ +(2−18 −218 +1)+(2−20 −220 +1) ·············· 9分 =(220 +218 + +2−18 +2−20)−(2−20 +2−18 + +218 +220)+21 ···················· 11分 =21.··························································································· 13分 （2）评分细则： 步骤一：列出b =2−2n+22 −22n−22 +1（2分） n 步骤二：列出 T 2 1 表达式，并进行重组（1+2分） 步骤三：计算 T 2 1 的最终结果（2分） （方法二）（1）设等差数列  a n  的公差为 d ， 9(a +a ) 因为a 是等差数列，所以S = 1 9 =9a =90，所以a =10， n 9 2 5 5 因为 a 3 = 1 4 ，所以a −a =2d =−4，所以d =−2， ·································· 2分 5 3 因为a =a +2d，所以a −4=14，所以a =18， ···································· 4分 3 1 1 1 所以 a n = a 1 + d ( n − 1 ) = 1 8 − 2 ( n − 1 ) = − 2 n + 2 0 （ n  N * ）. ··························· 6分 （1）评分细则： 步骤一：据条件计算d =−2，及a =18（2分+2分）（注：公差 1 d 没假设出来不扣分） 步骤二：求通项公式（2分）（注：nN*没写不扣分） （2）因为 f(x)=2x+2 −2−x−2 +1， 所以b = f(a )= f(−2n+20)=2−2n+22 −22n−22 +1， ······································ 8分 n n所以 T =b +b + +b 21 1 2 21 =(220 −2−20 +1)+(218 −2−18 +1)+ +(2−18 −218 +1)+(2−20 −220 +1) ············· 9分 =(220 +218 +216 + +2−20)−(2−20 +2−18 +2−16 + +220)+21 ····················· 11分 220 −2−22 2−20 −222 = − +21 ······························································ 12分 1−2−2 1−22 222 −2−20 2−20 −222 = + +21 22 −1 22 −1 高三数学评分细则 —3— （共20 页） = 2 1 . ······················································· 13分 （2）评分细则： 步骤一：列出 b n = 2 − 2 n + 2 2 − 2 2 n − 2 2 + 1 （2分） 步骤二：列出 T 2 1 表达式，并进行重组（1+2分） 步骤三：计算 T 2 1 的最终结果（2分） （方法三）（1）同方法一，略. ····································································· 6分 （2）因为 f(x)=2x+2 −2−x−2 +1，所以 f ( − x − 4 ) = 2 − x − 2 − 2 x + 2 + 1 ， 所以 f ( x ) + f ( − x − 4 ) = 2 ，所以曲线 y = f ( x ) 关于点 ( − 2 , 1 ) 中心对称， ·········· 8分 因为a 是等差数列，所以a +a =2a =−4， n 1 21 11 因为曲线 y = f ( x ) 关于点 ( − 2 , 1 ) 中心对称， 所以 b 1 + b 2 1 = f ( a 1 ) + f ( a 2 1 ) = 2 ， ························································ 10分 同理可得： b 2 + b 2 0 = b 3 + b 1 9 = = b 1 0 + b 1 2 = b 1 1 + b 1 1 = 2 ， ························· 11分 所以T =b +b + +b =210+1=21. ················································ 13分 21 1 2 21 （2）评分细则： 步骤一：求出曲线 y = f ( x ) 关于点(−2,1)中心对称（2分） 步骤二：得到b +b =2，同理可得b +b =b +b = =b +b =b +b =2（2+1分） 1 21 2 20 3 19 10 12 11 11 步骤三：计算T 的最终结果（2分） 2116. （15分） 已知函数 高三数学评分细则 —4— （共20 页） f ( x ) = ( 4 x + 2 ) ln x + a . （1）当 a = 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 ,1 ) 处的切线方程； （2）若函数 g ( x ) = ( x + 2 ) 2 − f ( x ) 有且仅有一个零点，求 a 的值. 【考查意图】本小题主要考查函数的图象与性质、函数单调性与极值等基础知识，考查逻辑 推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化 思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综 合性．满分15分． 【解析】 （方法一）（1）当a=1时， f ( x ) = ( 4 x + 2 ) ln x + 1 ， ········································· 1分 f ( x ) = 4 ln x + 4 x + x 2 ， ········································································ 3分 得 f(1)=6， ····················································································· 4分 所以曲线 y = f ( x ) 在点(1,1)处的切线方程为 y − 1 = 6 ( x − 1 ) ， 即6x−y−5=0. ················································································· 7分 （注：写出方程y−1=6(x−1)但化简错误扣1分，方程用斜截式表示没化简成一般式不 扣分） （1）评分细则： 步骤一：列出 f ( x ) = ( 4 x + 2 ) ln x + 1 ，并求导（1+2分） 步骤二：计算斜率为6，并写出直线方程（1+3分） （2）g(x)=(x+2)2 −(4x+2)lnx−a， x  ( 0 , +  ) ， ·································· 8分 （注：定义域没写不扣分） g ( x ) = 2 ( x + 2 ) − 4 ln x − 4 x + x 2 = 2 ( x − 1 x − 2 ln x ) ， ······································ 9分 1 令q(x)=x− −2lnx， x x  ( 0 , +  ) 1 2 (x−1)2 ，得q(x)=1+ − = 0， ······· 10分 x2 x x2 故q(x)在(0,+)内单调递增，又q(1)=0， 则当x(0,1)，q(x)0，得g(x)0，g(x)单调递减， 当x(1,+)，q(x)0，得g(x)0，g(x)单调递增， ···························· 12分从而 高三数学评分细则 —5— （共20 页） g ( x ) 在x=1处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为 g (1 ) = 9 − a . ········································································· 13分 （注：没有讨论 g ( x ) 单调性直接求出最小值扣1分） 又当 x  0 且 x → 0 时， g ( x ) → +  ，当 x → +  时， g ( x ) → +  ， ··············· 14分 由函数 g ( x ) 有且仅有一个零点，可得 g (1 ) = 9 − a = 0 ， 则a的值为 9 . ·················································································· 15分 （注：没有讨论 x → 0 和x→+时 g ( x ) 取值范围，直接通过 g (1 ) = 0 求出 a 值扣1分； 若没有考虑到定义域限制用全体实数集分析本小题，最后结论正确扣2分） （2）评分细则： 4x+2 步骤一：列出g(x)的表达式，并求导g(x)=2(x+2)−4lnx− =2q(x)（1+1分） x 步骤二：通过 q ( x ) 的图象特征研究 g ( x ) 的单调性，最值（3分+1分） 步骤三：研究 g ( x ) 的图象特征，结合条件得到 a 的值为 9 （1分+1分） （方法二）（1）同方法一，略. ····································································· 7分 （2） g ( x ) = ( x + 2 ) 2 − ( 4 x + 2 ) ln x − a ， x  ( 0 , +  ) ，（注：定义域没写不扣分） 令g(x)=0得 a = ( x + 2 ) 2 − ( 4 x + 2 ) ln x ， ················································· 8分 令 h ( x ) = ( x + 2 ) 2 − ( 4 x + 2 ) ln x ， x  ( 0 , +  ) ，（注：定义域没写不扣分） 则 h ( x ) = 2 ( x + 2 ) − 4 ln x − 4 x + x 2 = 2 ( x − 1 x − 2 ln x ) ， ··································· 9分 1 令q(x)=x− −2lnx，x(0,+)，得 x q ( x ) = 1 + 1 x 2 − 2 x = ( x − x 1 2 ) 2 0 ， ······· 10分 故q(x)在 ( 0 , +  ) 内单调递增，又 q (1 ) = 0 ， 则当 x  ( 0 ,1 ) ， q ( x )  0 ，得 h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递减， 当x(1,+)， q ( x )  0 ，得 h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递增，····························· 12分 从而h(x)在 x = 1 处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为h(1)=9. ·············································································· 13分 （注：没有讨论h(x)单调性直接求出其最小值扣1分） 又当x0且x→0时，h(x)→+，当x→+时，h(x)→+， ················ 14分由函数 高三数学评分细则 —6— （共20 页） g ( x ) 有且仅有一个零点，可得 a = g (1 ) = 9 ， 则a的值为 9 . ·················································································· 15分 （注：没有讨论 x → 0 和 x → +  时 g ( x ) 取值范围，直接通过 g (1 ) = 0 求出a值扣1分；若 没有考虑到定义域限制用全体实数集分析本小题，最后结论正确扣2分） （2）评分细则： 步骤一：列出 g ( x ) 的表达式得 a = h ( x ) ，并对 h ( x ) 求导（1+1分） 步骤二：通过 q ( x ) 的图象特征研究 h ( x ) 的单调性，最值（3分+1分） 步骤三：研究 h ( x ) 的图象特征，结合条件得到 a 的值为 9 （1分+1分） （方法三）（1）同方法一，略. ····································································· 7分 （2） g ( x ) = ( x + 2 ) 2 − ( 4 x + 2 ) ln x − a ，x(0,+)，（注：定义域没写不扣分） 令g(x)=0得 a = ( x + 2 ) 2 − ( 4 x + 2 ) ln x ， ·················································· 8分 令h(x)=(x+2)2 −(4x+2)lnx， x  ( 0 , +  ) ， 4x+2 （2 x2 −2xlnx−1） 则h(x)=2(x+2)−4lnx− = ， ································· 9分 x x 令q(x)=x2 −2xlnx−1， x  ( 0 , +  ) ，得 q ( x ) = 2 x − 2 ln x − 2 = 2 ( x − ln x − 1 ) ， 令t(x)=x−lnx−1， x  ( 0 , +  ) ，得 t ( x ) = 1 − 1 x = x − x 1 ， 则当 x  ( 0 ,1 ) ， t ( x )  0 ，得 t ( x ) 递减， 当x(1,+)， t ( x )  0 ，得 t ( x ) 单调递增， 故 t ( x ) 在 x = 1 处取得极小值，同时也是最小值 ········································ 10分 故t(x)t(1)=0，从而 q ( x )  0 ，即 q ( x ) 在(0,+)内单调递增， 又q(1)=0，则当 x  ( 0 ,1 ) ，q(x)0，得 h ( x )  0 ，h(x)单调递减， 当x(1,+)，q(x)0，得h(x)0， h ( x ) 单调递增， ····························· 12分 从而h(x)在 x = 1 处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为h(1)=9. ·············································································· 13分 （注：t(x)=x−lnx−10没有证明扣1分；没有讨论h(x)单调性直接求出最小值扣1分；） 又当x0且x→0时，h(x)→+，当x→+时，h(x)→+， 由函数g(x)有且仅有一个零点，可得a=g(1)=9，则a的值为 高三数学评分细则 —7— （共20 页） 9 . ·················································································· 15分 （注：没有讨论 x → 0 和 x → +  时g(x)取值范围，直接通过g(1)=0求出a值扣1分； 若没有考虑到定义域限制用全体实数集分析本小题，最后结论正确扣2分） （2）评分细则： 步骤一：列出 g ( x ) 的表达式得 a = h ( x ) ，并对 h ( x ) 求导（1+1分） 步骤二：通过 q ( x ) 的图象特征研究 h ( x ) 的单调性，最值（3分+1分） 步骤三：研究 h ( x ) 的图象特征，结合条件得到 a 的值为 9 （1分+1分） 17. （15分） 已知双曲线 C ： x a 2 2 − y b 2 2 = 1 （ a  0 ， b  0 ）的右顶点为 A .请从条件①、②、③中选择 两个条件作为已知，使得 C 存在且唯一. 条件①： C 的离心率为 2 ； 条件②： C 的渐近线方程为 y =  3 x ； 条件③： C 的右焦点与点A的距离为 1 . （1）求 C 的方程； （2）若过点 P ( 2 , 3 ) 的直线 l 交 C 的右支于点 ．． M ，且 △ A M P 的面积为 3 ，求l的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别 解答，按第一组解答计分. 【考查意图】本小题主要考查圆锥曲线的方程、图象与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等 基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、 数形结合思想等，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性．满分15分． 【解析】（方法一） （1）选择条件①和③： 因为 C 的离心率为2，点 A 到 C 的右焦点的距离为 1 ，所以  c ac − = a 2 , = 1 . ············ 2分 a=1， 解得 ······················································································· 3分 c=2. 又因为 c 2 = a 2 + b 2 ，所以 b 2 = c 2 − a 2 = 3 ， ·············································· 4分 y2 所以C的方程为x2 − =1. ·································································· 5分 3 评分细则： 步骤一：分别写出离心率公式与点A到C的右焦点距离式子（1+1分）步骤二：求出𝒂、𝒄的值（1分） 步骤三：求出b或b2（1分） 步骤四：求出方程（1分） 注：𝐚、𝐜中只要有算错，后续步骤不得分 选择条件②和③： 因为 高三数学评分细则 —8— （共20 页） C 的渐近线方程为 y =  3 x ，点 A 到 C 的右焦点的距离为 1 ， b = 3,  a  所以由c−a=1, ············································································ 3分  c2 =a2 +b2.   可得  a b = = 1 , 3 . ····················································································· 4分 所以 C 的方程为 x 2 − y 3 2 = 1 . ·································································· 5分 评分细则： 步骤一：分别写出渐近线斜率公式；点A到C的右焦点距离式子；𝒂、𝒃、𝒄的关系式（（ 1+1+1 分） 步骤二：求出𝒂、𝒃的值（1分） 步骤三：求出方程（1分） 注：步骤二中，若𝐚、𝐛、𝐜三者都算，只要有算错，都扣1分；若恰好为𝐜错𝐚、𝐛正确，则不 影响求C的方程，最后一步的1分照常给；若𝐚、𝐛中有错，则后续都不得分 （2）由（1）知，点A坐标为(1,0). 又由P(2,3)可得直线 P A 的方程为 3 x − y − 3 = 0 ，且|PA|= 10. ···················· 7分 设点 M 到直线PA的距离为 d ，因为 △ A M P 面积为3，所以 S = 1 2 | P A | d = 1 2  1 0  d = 3 3 10 ，所以d = . ·········································· 8分 5 设过点M 且与直线 P A 平行的直线为 n ： 3 x − y + m = 0 . 则n与直线 P A 的距离为 3 1 5 0 ，故 m 1 + + 3 9 = 3 1 5 0 ， 解得m=3或m=−9， 所以直线n方程为3x−y−9=0或3x−y+3=0， ···································· 11分 直线3x−y+3=0与直线PA关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. ········································· 12分 y2 x2 − =1, 由 3 得  3x− y−9=0, 高三数学评分细则 —9— （共20 页）  x y = = 2 − , 3 或  x y = = 7 1 , 2 . 故点 M 坐标为(2,−3)或(7,12)， ·························································· 14分 所以直线 l 的方程为 x = 2 或 9 x − 5 y − 3 = 0 . ············································· 15分 评分细则： 步骤一：写出直线PA的方程；求出|PA|（1+1分） 步骤二：求出M到直线PA的距离𝐝（1分） 步骤三：设出直线方程；列出距离公式并求出𝐦；求出直线方程（1+1+1分） 步骤四：舍去不合题意的方程（1分） 步骤五：求出M的两种坐标（1+1分） 步骤六：写出直线方程（1分） （注： ①步骤三中第二小步，若m求错，但距离公式写对，则也给1分；若只求对一个𝐦，但此𝐦对 应的直线方程求解正确，也可得1分； ②步骤五中，若只求对一种M坐标，但此坐标对应的直线方程也正确，也可得1分； ③步骤六中，直线方程没化简成一般式不扣分 （方法二）（1）同方法一，略. ····································································· 5分 （2）由（1）知，点 A 坐标为 ( 1 , 0 ) ，且点P(2,3)在 C 上. ································· 6分 当直线l斜率不存在时， M ( 2 , − 3 ) ，△AMP面积为3，直线 l 的方程为 x = 2 ，符合题意. ······································································································· 8分 当直线l斜率存在时，设其方程为y−3=k(x−2).  y2 x2 − =1， 由 3 得  y−3=k(x−2), ( 3 − k 2 ) x 2 + ( 4 k 2 − 6 k ) x − 4 k 2 + 1 2 k − 1 2 = 0 ， ················· 9分 设M(x,y )（ 1 1 x 1  1 ）， 4k2 −6k 则x +2= ， 1 k2 −3 x 1 = 4 k k 2 2 − − 6 3 k − 2 = 2 k 2 k − 2 6 − k 3 + 6 ， ······························ 10分 −6k+12 故|PM |= 1+k2 |x −2|= 1+k2 ， 1 k2 −3 又因为A到直线l的距离 d = | − k 1 + + k 3 2 | ， ················································· 12分 1 (3k−6)(k−3) 故△AMP面积为S = |PM |d = . ····································· 13分 2 k2 −3 (3k−6)(k−3) 9 3 所以 =3，解得k = ，k = 或k =1， k2 −3 5 2经检验， 高三数学评分细则 —10— （共20 页） k = 3 2 或 k = 1 时不合题意，舍去， 9 3 故直线l的方程为y= x− . ······························································· 14分 5 5 综上，直线 l 的方程为 x = 2 或 9 x − 5 y − 3 = 0 . ·········································· 15分 评分细则： 步骤一：说明点P在C上（1分） 步骤二：讨论斜率不存在时，写出直线方程，并说明符合题意（1+1分） 步骤三：斜率存在时，消元得二次方程，求得x （1+1分） 1 步骤四：写出|PM|的式子，写出A到直线𝒍的距离式子（1+1分） 步骤五：列出三角形面积式子（1分） 步骤六：求出𝐤值并求出直线𝐥的方程（1分） 步骤七：写出直线方程（1分） 注： ①步骤三中，若联立方程计算错误，但直线𝐥的方程假设正确，得1分； ②步骤四中，若写出弦长公式但没代入x 进行化简，仍得1分； 1 ③步骤六中，若求出k值但没检验，不得分； ④步骤七中，直线方程没化简成一般式不扣分； ⑤若设直线方程为𝐱−𝟐=𝐦（𝐲−𝟑），按以上步骤对应给分 18. （17分） 如图1，圆内接四边形 A B C D 中， △ B C D 为等腰直角三角形，且  B C D = 9 0  ， A B = 6 ， A D = 2 . 图1 图2 （1）求 A C 的长； （2）如图2，将△ABD沿BD翻折，形成四面体ABCD，当AC= 6时， （i）求直线AD与平面BCD所成角的正弦值； （ii）找出一组依次排列的四个相互平行的平面,,, ，使得 A,D ， 1 2 3 4 1 2 C,B ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离. 3 4【考查意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形、线面成角、面面距离、空间向 量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查数形 结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础 性、综合性、创新性．满分17分 【解析】（方法一） （1）在圆内接四边形 高三数学评分细则 —11— （共20 页） A B C D 中， △ B C D 为等腰直角三角形，  B C D = 9 0  ， 所以  B A D = 9 0 ，在 R t △ A B D 中，因为 A B = 6 ， A D = 2 ，所以  A B D = 3 0 ， B D = A B 2 + A D 2 = 6 + 2 = 2 2 ，所以 B C = C D = 2 . ······························· 2分 在△ABC中， c o s  A B C = c o s (  A B D +  C B D ) = c o s ( 3 0 + 4 5 ) = 6 − 4 2 ， ····· 3分 由余弦定理得 A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 A B  B C c o s  A B C = 6 + 4 − 2  6  2  6 − 4 2 = 4 + 2 3 = ( 3 + 1 ) 2 ， 所以 A C = 3 + 1 . ················································································ 5分 （注1：答案写AC= 4+2 3不扣分） （1）评分细则： 步骤一：求出 △ A B C 中 B C = 2 （2分）； 步骤二：求出 c o s  A B C = 6 − 4 2 （1分）； 步骤三：在 △ A B C 中，由余弦定理求出 A C = 3 + 1 （2分）. （2）以 B D 的中点 O 为原点，以 O B ， O C 方向为 x , y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 O − x y z ，则 B ( 2 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 , 0 ) ( ) ，D − 2,0,0 . （i）设 A ( x , y , z ) ，由（1）可知， A B = 6 ， A D = 2 ， 又因为AC= 6， ( )2 x− 2 + y2 +z2 =6,    ( )2 所以x2 + y− 2 +z2 =6, ································································ 8分  ( x+ 2 )2 + y2 +z2 =2,  解得 x = − 2 2 ， y = − 2 2 ，z=1，即 A  − 2 2 , − 2 2 ,1  ，  2 2  则AD=− , ,−1. ······································································· 9分   2 2   取平面BCD的一个法向量n=(0,0,1)，设直线AD与平面BCD所成角为，所以 高三数学评分细则 —12— （共20 页） s in c o s A D , A A D D 1 2 2 2  =  n > =   n n = = ， 所以直线 A D 与平面 B C D 所成角的正弦值为 2 2 . ···································· 11分 （2）（i）评分细则： 步骤一：建系求坐标（左手系，答案正确扣1分，有错误，整小题不得分），设点 A 坐标列方 程组（1分+2分）； 步骤二：解方程组得点A坐标，并得到 A D （1分）； 步骤三：计算正弦值并下结论（1分+1分）. （注2：本题若以OC， O D 方向为 x , y 轴正方向（ z 轴向上）建系，设 A ( x , y , z ) ，列方程 组为  ( x x x 2 2 − + + ( ( 2 y y ) + − 2 + 2 2 y ) ) 2 2 2 + + + z z z 2 2 2 = = = 6 6 2 , , , 得点 A 坐标为  − 2 2 , 2 2 ,1  ，从而得 A D =  2 2 , 2 2 , − 1  ， 可求 s in c o s A D , A A D D 1 2 2 2  =  n > =   n n = = . 本题若以 C D ， C B 方向为 x , y 轴正方向（ z 轴向上）建系，设 A ( x , y , z ) ，可列方程组 为  x x ( 2 2 x + + − ( y 2 y 2 2 ) − + + ) 2 2 z y 2 2 = + + 6 z , z 2 2 = = 6 2 , , 得点 A 坐标为 ( 2 ,1 ,1 ) ，从而得AD=(0,−1,−1)，可求 s in c o s A D , A A D D 1 2 2 2  =  n > =   n n = = .上述两个求解过程参照评分细则给分） （ii）如图所示，取AB的三等分点 P , Q ， A C 的中点 M ， 过三点D,P,M 作平面 ，过三点 2 O , Q , C 作平面， 3 因为DP∥OQ，DP平面 3 ，OQ平面 3 ， 所以DP∥平面 3 ，同理PM∥平面 3 ， 又因为DP PM =P，所以平面 //平面， 2 3 再过点A,C分别作平面, 与平面 平行， 1 4 2 那么四个平面,,, 依次相互平行， 1 2 3 4 由线段AB被平行平面,,, 截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相 1 2 3 4 等，故,,, 为所求平面. ·························································· 13分 1 2 3 4由（i）可知 高三数学评分细则 —13— （共20 页） A  − 2 2 , − 2 2 ,1  ， B ( 2 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 , 0 ) ， 所以 O C = ( 0 , 2 , 0 ) ， O Q = O B + B Q = O B + 1 3 B A = ( 2 , 0 , 0 ) + 1 3  − 3 2 2 , − 2 2 ,1  =  2 2 , − 6 2 , 1 3  . ···· 15分 设平面 O C Q 的法向量 m = ( a , b , c ) ，则  m m   O O C Q = = 0 0 , ,  2b=0,  即 2 2 1 可取  a− b+ c=0,  2 6 3 m = ( 2 , 0 , − 3 ) ， ········································ 16分 所以点B到平面 O C Q OBm 2 2 2 2 11 的距离d = = = = ， m ( )2 11 11 − 2 +32 2 11 故相邻两个平面间的距离为 . ························································ 17分 11 （2）（ii）评分细则： 步骤一：取点构造平面 D P M 与平面 O Q C （2分）； 步骤二：计算平面OQC内的两个向量，并由此计算该平面的一个法向量 m （2分+1分）； 步骤三：利用点到平面对的距离公式计算点 B 到平面 O C Q 的距离（1分）. （注3：本题若以 O C ， O D 方向为 x , y 轴正方向（z轴向上），建立空间直角坐标系，可求 O C = ( 2 , 0 , 0 ) ，（ O Q = O B + 1 3 B A =  − 6 2 , − 2 2 , 1 3  ， O B = ( 0 , − 2 , 0 ) ( ) ，m= 0, 2,3 ， 从而 d = O B m  m = ( 2 2  ) 2 + 2 3 2 = 2 1 1 = 2 1 1 1 1 . 本题若以 C D ，CB方向为 x , y 轴正方向（ z 轴向上），建立空间直角坐标系，可求 1  1 2 1 OC=(−1,−1,0)，（OQ=OB+ BA=− , ,  ，OB=(−1,1,0)，m=(1,−1,3)，从而 3  3 3 3 d = O B m  m = 1 2 + ( 2 − 1 ) 2 + 3 2 = 2 1 1 = 2 1 1 1 1 .上述两个求解过程参照评分细则给分） （方法二）（1）在圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，BCD=90， 所以BD是圆的直径，BAD=90. 在Rt△ABD中，AB= 6，AD= 2 ，所以 BD= AB2 +AD2 = 6+2 =2 2，ABD=30，ADB=60， ················ 2分高三数学评分细则 —14— （共20 页） s in  A B C = s in (  A B D +  C B D ) = s in ( 3 0  + 4 5  ) = 6 + 4 2 . ·························· 3分 由正弦定理得 s in A  C A B C = s in A  B B C A ，又  B C A =  A D B = 6 0  ，故 A C = A B s s in in   B A C B A C = 6  6 + 4 2  2 3 = 3 + 1 . ······································ 5分 （1）评分细则： 步骤一：求出△ABD中  A D B = 6 0  （2分）； 6+ 2 步骤二：计算sinABC = （1分）； 4 步骤三：在 △ A B C 中，由正弦定理求出AC = 3+1（2分）. （2）（i）设 B D 的中点为 O ， B C 的中点为 N ，连接 A N ， N O ， A O . 由于 A B = A C ，所以 B C ⊥ A N .又 B C ⊥ C D ，且 NO∥CD，所以 B C ⊥ N O .由 B C ⊥ A N ， B C ⊥ C D ， 且AN 平面 A N O ， N O  平面 A N O ， A N N O = N ， 所以 B C ⊥ 平面 A N O . 过点 A 作 A H ⊥ N O 交直线 N O 于点 H ，连接 D H .因为 B C ⊥ 平面 A N O ，所以 B C ⊥ A H ，因为 A H ⊥ N O ，且 N O  平面 B C D ， B C  平面 B C D ， B C N O = N ，所以AH ⊥平面 B C D ，则DH 为直线 A D 在平面 B C D 上的射影，ADH 为直线 A D 与平面 B C D 所成角. ······························································ 7分 由于 A N = A C 2 − N C 2 = 6 − 1 = 5 1 ，NO= CD=1， 2 A O = 1 2 B D = 2 ，所以 AN2 +NO2 −AO2 5+1−2 2 5 在△ANO中，cosANO= = = . ···················· 9分 2ANNO 2 5 5 所以 A H = A N s in  A N H = 5  1 −  2 5 5  2 = 5  1 5 = 1 ，得 s in  A D H = A A H D = 2 2 ， 所以直线 A D 与平面BCD所成角的正弦值为 2 2 . ··································· 11分 （2）（i）评分细则： 步骤一：验证BC ⊥平面ANO，得到 A H ⊥ 平面BCD从而  A D H 为直线 A D 与平面BCD所 成角（1分+1分）； 步骤二：在△ANO内计算出各边长度，由余弦定理得到 c o s  A N O = 2 5 5 （2分）； AH 2 步骤三：求得AH = ANsinANH =1，从而sinADH = = ，得到结果（2分） AD 2（ii）以 高三数学评分细则 —15— （共20 页） O 为原点，以 O B ， O C 方向为x,y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz， ( ) 则B 2,0,0 ， C ( 0 , 2 , 0 ) ， D ( − 2 , 0 , 0 ) . 设平面的法向量 1 m = ( a , b , c ) ， 由（i）可知 A  − 2 2 , − 2 2 ,1  ， 所以 A D =  − 2 2 , 2 2 , − 1  ， C D = ( − 2 , − 2 , 0 ) ， B C = ( − 2 , 2 , 0 ) . 由,,, 两两平行且每相邻两个平面间的距离都相等， 1 2 3 4 可得 | A D | m  m | | = | C D | m  m | | = | B C | m  m | | ， 从而 − 2 2 a + 2 2 b − c = − 2 a − 2 b = − 2 a + 2 b ， ······························· 13分 由 − 2a− 2b = − 2a+ 2b 可得 a = 0 或 b = 0 . 若a=0，由 − 2 2 a + 2 2 b − c = − 2 a − 2 b 得 2 2 b − c = − 2 b ， 从而 c = − 2 2 b 或 c = 3 2 2 b . 若b=0，由 − 2 2 a + 2 2 b − c = − 2 a − 2 b 得 − 2 2 a − c = − 2 a ， 从而 c = 2 2 a 或 c = − 3 2 2 a .  2   3 2  综上，可得m=0,b,− b，或m=0,b, b，     2 2      2   3 2  或m=a,0, a，或m=a,0,− a. ············································ 15分     2 2      2   3 2  当m=0,b,− b或m=0,b, b时，由于     2 2     B D = ( − 2 2 , 0 , 0 ) ，此时BDm=0， 从而点 B 在点 D 与 m 所确定的平面上，与条件矛盾，舍去；  2   2 3 2  当m=a,0, a，由于AC = , ,−1，此时  2   2 2      A C  m = 0 ， 从而点A在点C与m所确定的平面上，与条件矛盾，舍去；  3 2  |ADm| | 2a| 2 11 当m=a,0,− a，可求点A到平面 的距离d = = = ，   2   2 |m| a2 + 9 a2 11 2此时 高三数学评分细则 —16— （共20 页） 1 , 2 , 3 , 4     分别为过 A , D , C , B ，且以 m 为法向量的平面， 所以相邻两个平面间的距离为 2 1 1 1 1 . ····················································· 17分 （2）（ii）评分细则： 步骤一：设平面 1 的法向量m=(a,b,c)，通过距离相等建立方程组（2分）； 步骤二：解方程组得到 m 的坐标（2分）； 步骤三：排除不符合条件的三类坐标，利用符合条件的 m 求解点 A 到平面 2  的距离（2分） （方法三）（1）同方法一，略. ····································································· 5分 （2）（i）设BD的中点为 O ， O D 的中点为E， C D 的中点为M， 连接 C O ，AE， A M ，ME. 由（1）知 C O ⊥ B D ， M E ∥ O C ，则ME⊥BD，又因为 AE⊥BD， M E A E = E ，所以BD⊥平面AME，所以平 面BCD⊥平面AME. 过点 A 作 A H ⊥ M E 交直线 M E 于点 H ，连接 D H ，又因为平面 B C D 平面 A M E = M E ， 平面 B C D ⊥ 平面 A M E ， A H  平面 A M E ，所以 A H ⊥ 平面BCD，则DH 为直线 A D 在 平面 B C D 上的射影，  A D H 为直线 A D 与平面BCD所成角. ······················· 7分 由（1）知 C D = 2 ， A E = 2 6 ， O C = 2 ，则 M D = 1 ， M E = 1 2 C O = 2 2 . 又因为AC= 6， A D = 2 ，所以AC2 = AD2 +CD2， 所以  A D C = 9 0  ，则 A M = A D 2 + M D 2 = 3 . 在△AME中， c o s  A E M = A E 2 + 2 M A E E  2 M − E A M 2 = 2 3 2  + 2 1 26 −  3 2 2 = − 3 3 . ············· 9分 所以 c o s  A E H = − c o s  A E M = 3 3 ，得 s in  A E H = 3 6 ， 6 6 AH 2 所以AH = AEsinAEH =  =1，得sinADH = = ， 2 3 AD 2 所以直线AD与平面 B C D 所成角的正弦值为 2 2 . ··································· 11分 （2）（i）评分细则： 步骤一：验证平面BCD⊥平面AME，得到AH ⊥平面 B C D 从而ADH 为直线AD与平面 B C D 所成角（1分+1分）； 3 步骤二：在△AME内计算出各边长度，由余弦定理得到cosAEM =− （2分）； 3 AH 2 步骤三：求得AH = AEsinAEH =1，从而sinADH = = ，得到结果（2分） AD 2（ii）同方法一，略. ················································································ 17分 19. （17分） 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设 施．物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客 户预期，显著提升满意度．某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市．从 干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 高三数学评分细则 —17— （共20 页） 3 4 ； 4 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 ； 5 2 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 ． 3 （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①（第1次，随机选择一种方案； ② 从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在 三种方案中随机选择一种． 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 a n , b n , c n ． （i）求 a 2  4 2 ，b ，并证明：数列a + b − 为等比数列； 2  n 5 n 3 （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率． 【考查意图】本小题主要考查全概率公式，数列的递推关系，数列通项公式等基础知识，考 查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想、必 然与或然思想等，考查逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性、 应用性、创新性．满分17分． 【解析】（1）设选择方案A，B，C分别为事件A,B,C，物流提前送达为事件Z ， 则 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 3 ， ································································ 1分 3 4 2 P ( Z A ) = ，P ( Z B ) = ，P ( Z C ) = ， ············································· 2分 4 5 3 根据全概率公式高三数学评分细则 —18— （共20 页） P ( Z ) = P ( A ) P ( Z A ) + P ( B ) P ( Z B ) + P ( C ) P ( Z C ) = 3 4  1 3 + 4 5  1 3 + 2 3  1 3 = 1 1 3 8 3 0 . ······································································································· 4分 评分细则： 步骤一：分别写出选择方案A，B，C的概率（1分） 步骤二：分别写出在选择方案A，B，C发生的条件下物流提前送达的概率（1分） 步骤三：根据全概率公式求出物流提前送达的概率，代入数值得到结果（1分+1分） 注：若直接用 3 4  1 3 + 4 5  1 3 + 2 3  1 3 求解，结果正确的，扣1分；结果不正确的，扣2分. （2）（i）由①知道 a 1 = b 1 = c 1 = 1 3 . 由②根据全概率公式 a 2 =  3 4  1 + 1 4  1 3   a 1 +  1 5  1 3   b 1 +  1 3  1 3   c 1 = 9 1 2 7 0 ， ··························· 5分 b 2 =  1 4  1 3   a 1 +  4 5  1 + 1 5  1 3   b 1 +  1 3  1 3   c 1 = 1 5 9 4 1 0 ． ···························· 6分 设第 n 次车辆选择方案A，B，C为事件A ,B ,C ，第n次物流提前送达为事件 n n n Z n ， 则a =P(A ),b =P(B ),c =P(C )，因为 n n n n n n a n + b n + c n = 1 ，所以c =1−a −b ， n n n 所以 P ( Z n ) = 3 4 a n + 4 5 b n + 2 3 c n = 3 4 a n + 4 5 b n + 2 3 ( 1 − a n − b n ) = 1 1 2 a n + 1 2 5 b n + 2 3 ． ········ 7分 由②根据全概率公式 P ( A n + 1 ) = P ( A n ) P ( A n + 1 A n ) + P ( B n ) P ( A n + 1 B n ) + P ( C n ) P ( A n + 1 C n ) ， 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 注意到P ( A B ) =  = ，P ( A C ) =  = ，而P ( A A ) =  + 1= ， n+1 n 5 3 15 n+1 n 3 3 9 n+1 n 4 3 4 6 所以 a n + 1 = 5 6 a n + 1 1 5 b n + 1 9 c n = 5 6 a n + 1 1 5 b n + 1 9 ( 1 − a n − b n ) = 1 1 3 8 a n − 2 4 5 b n + 1 9 ， ········· 9分 同理 1 13 1 1 13 1 1 34 1 b = a + b + c = a + b + (1−a −b )=− a + b + ． ·· 10分 n+1 12 n 15 n 9 n 12 n 15 n 9 n n 36 n 45 n 9 注意到 4 2 13 2 1 4 1 34 1 2 a + b − =  a − b +  +  − a + b +  − n+1 5 n+1 3 18 n 45 n 9 5 36 n 45 n 9 3高三数学评分细则 —19— （共20 页） = 1 7 0 a n + 1 2 4 5 b n − 7 1 5 = 1 7 0  a n + 4 5 b n − 2 3  ， ···························· 11分 且 a 1 + 4 5 b 1 − 2 3 = − 1 1 5  0 ，所以 a n + 4 5 b n − 2 3  0 ， 4 2 a + b − n+1 5 n+1 3 7 故 = 为定值， 4 2 10 a + b − n 5 n 3  4 2 1 即a + b − 是以− 为首项，  n 5 n 3 15 1 7 0 为公比的等比数列. ························ 12分 评分细则： 步骤一：求 a 2 ， b 2 ，（1分+1分） 步骤二：用 a n , b n 表示第 n 次物流提前送达的概率 P ( Z n ) （1分） 步骤三：用 a n , b n 表示 a n + 1 、 b n + 1 （2分+1分） 步骤四：求出数列  a n + 4 5 b n − 2 3  的公比，结合首项证明它为为等比数列（1分+1分） 注：1.与（1）一样没有写出全概率公式，不重复扣分.  4 2 2.未写出数列a + b − 首项，扣1分.  n 5 n 3 （ii） 由（i）可求 a n + 4 5 b n − 2 3 = − 1 1 5   1 7 0  n − 1 ， ·········································· 13分 同理 a n + 1 − 2 b n + 1 + 1 2 =  1 1 3 8 a n − 2 4 5 b n + 1 9  − 2  − 1 3 6 a n + 3 4 4 5 b n + 1 9  + 1 2 7 14 7 7 1 = a − b + =  a −2b +  ， 9 n 9 n 18 9 n n 2 1 1 7 n−1 所以a −2b + =   ，····························································· 14分 n n 2 6 9 联立解得高三数学评分细则 —20— （共20 页） a n = 1 3 + 1 2 1   7 9  n − 1 − 1 2 1   1 7 0  n − 1 ， b n = 1 5 2 − 5 8 4   7 9  n − 1 − 1 4 2   1 7 0  n − 1 ， 所以 P ( Z n ) = 1 1 2 a n + 1 2 5 b n + 2 3 = 3 4 − 2 1 5 2   7 9  n − 1 − 1 1 4 0   7 1 0  n − 1 ． ················· 15分 随着 n 的增大， P ( Z n ) 增大，注意到 P ( Z 1 ) = 1 1 3 8 3 0 ，所以当 n  2 133 时，P(Z )P(Z )= ， n 1 180 因此从第 2 次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率． ···· 17分 评分细则： 步骤一：求出数列  a n + 4 5 b n − 2 3  的通项公式，（1分） 步骤二：证明数列  a n − 2 b n + 1 2  为等比数列并求出其通项公式，（1分） 步骤三：求出第 n 次物流提前送达的概率 P ( Z n ) ，（1分） 步骤四：分析 P ( Z n ) 的单调性，解释其实际意义.（1分+1分） 注：步骤二构造出数列  a n − 2 b n + 1 2  即可给分.