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2021 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题(每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对
应位置上按要求涂黑，每小题3分，共2分)
1. -2021的相反数是（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：-2021的相反数是2021，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的概念，解题关键是明确相反数的定义，准确求解．
2. 截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行
约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科
学记数法表示为（ ）
A. 8.3×105 B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用科学记数法的定义及表示形式 ，其中 ， 为整数求解即可．
【详解】解：根据科学记数法的定义及表示形式 ，其中 ， 为整数，
则数据8300000用科学记数法表示为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握其定义和表达形式，根据题意确定
的值．
3. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C． 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，那么乙组队员的身高比较整齐
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性的大小判断即可．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故不符合题意；
B、为了了解一批灯管的使用寿命，不宜采用普查的方式进行，应采用抽查的方式进行，故不符合题意；
C、一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数都是 ，平均数为 ，故选项
错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，
，
乙组队员的身高比较整齐，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、解题的关键是：理解几种事件的定义．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据去括号法则可判断A，根据合并同类项法则可判断B，根据乘法公式可判断C，利用单项式
乘法法则与积的乘方法则可判断D．
【详解】解：A. ，故选项A去括号不正确，不符合题意；
B. ，故选项B合并同类项正确，符合题意；
C. ，故选项C公式展开不正确，不符合题意；
.
D ，故选项D单项式乘法计算不正确，不符合题意．
故选择B．
【点睛】本题考查去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法，掌握去括号法则，
同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法是解题关键．
6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
【答案】B
【解析】
【详解】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理
得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
7. 实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果 ，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】解：∵a+b=0，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完
整)，下列结论错误的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
【答案】D【解析】
【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是 ，正确，不符合题意；
B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意；
C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题
意；
D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意
学会分析图表．
9. 一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可
【详解】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平
方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
10. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上， ，点E是 上任意一点，连接BE，CE，
则 的度数为（ ）A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质可得 ，连接 AC，得 ，进一步得出
，从而可得结论．
【详解】解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴ ，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解
答此题的关键．
11. 点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -6【答案】B
【解析】
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．
【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数 的图象上，
∴b=4a+3，
8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式 的值等于-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．
12. 已知抛物线 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线 的开口向下
B. 当 时，y随x增大而增大
C. 方程 的根为0和2
D. 当 时，x的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将 代入抛物线的解析式得；
，
解得： ，所以抛物线的解析式为： ，
A、 ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 ，在 时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程 的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当 时，x的取值范围是 或 ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出
解析式，然后利用函数的图象及性质解答．
13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长 母线 2．
【详解】解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积 ，
故选：A．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题关键．
14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．
已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离 (米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相
差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12) 32，和乙
到终点，甲距终点列不等式4 t+12 400-32解不等式可判断③；
根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为 =5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为 米/秒，
∴乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12) 32，
∴t 44，
当乙到达终点停止运动后，
4 t+12 400-32，
∴t 89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．
【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一
次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出
发时间，拐点的意义是解题关键．
二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分)
15. 在函数 中，自变量x 的取值范围是_____．
【答案】x≥－1且x≠
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
详解】解：根据题意得：
【
解得：x≥-1且x≠
故答案为：x≥－1且x≠ ．
【点睛】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数为非负数．
16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，
另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 处的高度 为 米，点A，D，B在同一直线上，则通道
AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据 ， ， )
【答案】438
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 ，根据正切的定义求出 ，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意得， ，
在 中， ，
（米），
在 中， ，
则 （米），
则 （米），
故答案是： ．
【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求
解．
17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．【答案】
【解析】
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角
形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC= ，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB= （mm）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．
18. 如图，正方形ABCD的边长为 ，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长，
交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；② ；③ ，④ ，其中正确
结论的序号是_____________．
【答案】①②④
【解析】
【 分 析 】 由 正 方 形 的 性 质 可 得 AB=AD=BC=CD= ， BE=CE= ， ∠ DCE=∠ABE=90° ，
∠ABD=∠CBD=45°，可证 ABE≌△DCE， ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得
CF⊥DE；由勾股定理可求D△E的长，由面积法△可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即
可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由 ADM≌△DCH，可得CH=DM=2=MH，由垂直平分线的性质可
得AD=AH；由平行线分线段成比例可求G△H的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为 的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD= ，BE=CE= ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE=∠BAE，DE=AE，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC= ，CE= ，
∴ ，
∵S = ×CD×CE= ×DE×CH，
DCE
△
∴CH=2，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴ ，
∴CF= ，
∴HF=CF-CH=3，
∴ ，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC= ，CH=2，
∴ ，
∵∠CDH+∠ADM=90°，∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDH=∠DAM，且AD=CD，∠CHD=∠AMD=90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴DM=CH=2，AM=DH=4，∴MH=DM=2，且AM⊥DH，
∴AD=AH，故④正确；
∵DE=5，DH=4，
∴HE=1，ME=HE+MH=3，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴ ，
∴
∴HG= ，故③错误，
所以，正确结论是①②④
故答案为①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题(在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或
演算步骤．共8题，满分96分)
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．
【详解】解：∵
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC△的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，
大于 MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据 证明 得到 ，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图， 为所作 的平分线；（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到 ．
21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：
设每个学生平均每天的睡眠时间为t(单位，小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6<t<8、t≥8
分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
.
睡眠时
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 85
间t(小时)
人数
1 1 2 10 15 9 10 2
(人)
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间 的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间 的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2
人每天睡眠时间都是6小时的概率．
【答案】（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）
【解析】
【分析】(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行
分析；
(2)①由众数好中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间t≥8的人数所占的比例即可；
(3)画树状图,共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，再由概率公
式求解即可．
【详解】解：（1） 不具有全面性，
故答案是：B．
（2）①这组数据的众数为 小时，中位数为 ，
故答案是： ．
解②：估计九年级学生平均每天睡眠时间 的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人．
（3）画树状图如下：∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种．
∴ ．
【点睛】本题考查了用列表法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识，解题的关键是：列表法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
22. 为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、
《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购
进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》
每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购
买《西游记》多少本？
【答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【解析】
【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问
题．
（2）设这次购买《西游记》 本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，
即可解决问题．
【详解】解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》 本，则：
解得
∵ 为正整数，
∴取 ．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，且x≠x，y≠y，若M、N为某矩
1 1 2 2
形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩
形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为 ．
①若点B的坐标为 ，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ， 若使函数 的图象与点P、Q的“相关矩
形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．【答案】（1）①12；② 或 ；（2）
【解析】
【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求
出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，
设直线AC的解析式为 ，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；
（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数 的图象与点P、Q的“相关矩形
”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，∴点A、B的“相关矩形”周长=
故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为 或
设直线AC的解析式为 ，
将 ， 代入解得 ，
∴
将 ， 代入解得 ，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为 或 ．（2）∵点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数 的图象经过（3，-2）时，k=-6，
当函数 的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，
一定要注意将新旧知识贯穿起来．24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且 ，连接
OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）连接OB，由 ，可得 ，由 ，可证 ，可得
，可得 即可；
（2）由 ，可求 ，由 ， 可求 ，由勾
股定理可求 ，利用垂径定理可得 ，进而 ，利用勾股定理构造方程
解方程即可．
【详解】解：（1）AB与 相切．理由如下：
连接OB，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 、 是菱形 的对角线
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
∴ 是 的切线
（2）又∵ 、 是菱形 的对角线， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在Rt BMC中，
△
∴
∵OE⊥BC，BC为弦，∴
∵
∴
设 的半径为R；在Rt△OFB中，OB2=OF2+BF2，
∴
解得
∴ 的半径为5．
【点睛】本题考查圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数，
勾股定理，一元一次方程，掌握圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐
角三角函数，勾股定理，一元一次方程是解题关键．
25. 如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，对称轴l与x轴交于点F，直线m
AC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点
的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，符合题意的点 坐标为 或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点 ，利用勾股定理求 ，利用待定系数法求直
线 的解析式 ，由 ， 交 于点 ，可得 为定值，由
，把 ，记为定值 ，
再求 ；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上， ，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当
点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 与x轴交于 、 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）将 代 得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 将 ， ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ， 交 于点 ，
∴ 为定值，
∵ ，
把 ，记为定值 ，
过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，此时 ，
将 代入 中，得 ；（3）存在，符合题意的点 坐标为 或 或 ；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
因为PF在x轴上，
又∵ ，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，
∴y= ，
∴ ，
∴解得 ，
∵x= 时为E点，
∴ ，
Q( )，
1当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以y = ，
Q
∴ ，
整理得 ，
△= ，
解得 ，
∴Q（ ），Q（ ），
2 3
符合题意的点 坐标为 或 或 ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边
形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性
质是解题关键．
26. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 中，AB=AC=m，BC=n， ，点P为平面内不与点A、C重
合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与
直线EF相交所成的较小角为β，探究 的值和 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究
过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了 时，如图1，求出了 ___________， ___________；
小红研究了 时，如图2，求出了 ___________， ___________；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 ；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律： __________(用含m、n的式子表示)； ___________ (用含α
的式子表示)．
（2）求出 时 的值和 的度数．【答案】（1）【问题发现】 ，60°； ，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】 ，
；（2） ，30°
【解析】
【分析】（1）当 时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有 ，
∠Q＝ ＝∠ACB＝60°；当 时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF
即可解决，依此可得出规律；
（2）当 ，可证 ， ，从而有 ，由∠ECF＝∠ACP，可得
△PCA∽△FCE即可解决问题．
【详解】（1）【问题发现】如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当 时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝60°，
当 时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝ CD，AC＝ CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝45°，
【归纳总结】
由此，可归纳出 ， ＝∠ACB＝ ；
（2）当 ，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝ ，
同理可得： ，∴ ，
∴ ，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝30°．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法
不变，体会“变中不变”的思想．
