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海淀区八年级练习数学
一、选择题(本大题共24分，每小题3分)
在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相
应的位置．
1. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，则点A关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于 轴对称的两个点的坐标的特征判断即可．
【详解】解：关于 轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
关于 轴对称的点的坐标为
故选B．
【点睛】本题考查了关于 轴对称的两个点的坐标的特征，熟练掌握是解题的关键．
2. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，
其中一定不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进
行判断即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司3. 地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命，在冰岛海岸
的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体．它的直径仅为
米．将数字 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用科学记数法表示较小的数， ， ．
【详解】解：
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，熟练掌握是解题的关键．
4. 在下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，再判断即可．
【详解】解：A． ，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，能求出每个式子的值是解
此题的关键．
5. 下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变，
进行判断即可．
【详解】解：A. ，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，不可以分子除以
m、分母除以n，故此选项不合题意；
B. ，此选项正确，符合题意；
C. ，故此选项不合题意；
D. ，故此选项不合题意；
故选：B．．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质
6. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若 ，则图中∠1的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，可得 ，再利用三角形的外角性质即可求出结论．
【详解】解：如图所示： 与 相交于点G， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
7. 如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
8. 对于分式 ( ， 为常数)，若当 时，该分式总有意义；当 时，该分式的值为负数．则
， 与 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据当 时，该分式总有意义，即 ，可以判定 的大小，当 时，该分式的值
为负数，可以判定 ， 为异号，由此即可求解．
【详解】解：∵当 时，该分式总有意义，
∴ 为非负数，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，则 为非正数，即 （非负数减负数不可能为零），
∵当 时，该分式的值为负数，
∴ ，
∴ ， 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．
二、填空题(本大题共18分，每小题3分)
9. 分解因式：ax2-9a=____________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：ax2-9a=a( -9)=a(x+3)(x-3).
故答案为：
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
10. 若等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则这个三角形的周长是_________cm．
【答案】14
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，
还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜6，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是6cm时，因为6+6＞2，符合三角形三边关系，此时周长是14cm；
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
11. 当 ____________时，分式 的值为0．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不能为0 ，即可求解．
【详解】解：当分子 且 ，
即 时，分式 的值为0，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的值为0 的条件，解题的关键要注意分母不能为0．
12. 如图，点P在正五边形的边 上运动(不与点B，C重合)，若 ，则x的取值范围是
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点P在点B处时，可知 ；当点P在点C处时，求得 ，再根据题意即可求解．
【详解】解：当点P在点B处时，
则 ，即 ；
当点P在点C处时，
正五边形的内角度数为 ，且 ，
，
即 ，
点P在正五边形的边 上运动(不与点B，C重合)，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了正五边形的性质 ，等腰三角形的性质，解题的关键是要注意进行分类讨论．
13. 如图，在 中， ， ，点D．E分别在边 上，若沿直线 折叠，点
A恰好与点B重合，且 ，则 ________°， ________．
【答案】 ①. 90 ②. 9
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质求出 ， ，进而可得 ，再利用含30度角
的直角三角形的性质求出 的长，即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ．
由折叠的性质得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：90，9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，以及折叠的性质，求出
是解答本题的关键．
14. 甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对 及 对应的边或角添加等量
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学科网（北京）股份有限公司条件(点 ， ， 分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定 与 全等，
则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
行动
轮次 添加条件
者
1 甲 cm
2 乙 cm
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加 cm，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件 ；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为 ．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵如果甲添加 cm，
又 cm， cm，
∴ （SSS），
∴乙获胜，故结论①正确；
②∵如果甲添加 ，
又 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，
③如果第二条条件修改为 ，甲在第三条填入 ，那么乙可能获胜，故结论③正确．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题(本大题共58分，第15－18题，每题4分，19－22题，每题5分，23题4分，24
题5分，25题6分，26题7分)
.
15 计算 ．
【答案】
【解析】
【分析】先算平方，负指数幂和0指数幂，再进行加减计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了平方运算和负指数幂和0指数幂的运算，正确的计算是解题的关键.
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据整式 的混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是
解题的关键．
17. 化简 ．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
18. 如图，两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D
两地，C，D两地到路段 的距离相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析．
【解析】
【分析】要判断C，D两地到路段AB的距离是否相等，可以由条件证明△AEC≌△BFD，再根据全等三角
形的性质就可以的得出结论．
【详解】解：C，D两地到路段AB的距离相等．
证明：由题意知AC=BD，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠AEC=90°．
∵AC∥BD，
∴∠A=∠B．
在△AEC和△BFD中．
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学科网（北京）股份有限公司，
∴△AEC≌△BFD，
∴CE=DF．
的
∴C，D两地到路段AB 距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形
全等的条件是关键．
19. 已知 ．求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】将 运用配方法变形为 ，再运用平方差公式，完全平方公式将
展开，合并同类项，变形为 ，由此即可求解．
【详解】解：运用配方法变形 ，
∴ ，即 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加减法中应用，掌握整式的加减法法则是解题的
关键．
20. 如图，已知线段 与直线 平行．
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学科网（北京）股份有限公司（1）作 的角平分线 交直线 于点 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在(1)的条件下，若 的中点为 ，连接 并延长交直线 于点 ，请用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系：______________．
【答案】（1）作图见详解
（2） ，理由见详解
【解析】
【分析】（1）以点 为圆心，小于 长为半径在 ， 上画弧，交 于点 ，交 与点 ，
连接 ，分别以点 ， 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 ，交直线 于点
，即为所求图形；
（2）根据平行线的性质，等腰三角形的性质可知， ，证明 可知
，由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
即为 的角平分线．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： ，理由如下，
如图所示，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，掌握角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键．
21. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出
了如下的宣传：
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学科网（北京）股份有限公司根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
【答案】80
【解析】
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为 吨，根据等
量关系列出方程即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为 吨，
根据题意得： ，
方程两边同乘 ，
得 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．
22. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代
数式，并解决问题．
（1）若计算 的结果为 ，则 _________；
（2）若多项式 分解因式的结果为 ，则 _________，b=_________；
（3）若计算 的结果为 ，求m的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）1，2； （3）
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质即可求解；
（2）把 展开，根据与 相等列出二元一次方程组求解即可；
（3）将 展开，根据与 相等列出二元一次方程组求解即可．
【小问1详解】
解： ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，
，
，
解得： ，
为
故答案 ：1，2；
【小问3详解】
解： ，
，
，
解得： ；
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了等式的性质，代数式，解题的关键是根据等式列出二元一次方程求解．
23. 在平面直角坐标系 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，点 ， ， 的坐标分别为
， ， ， ．
（1） ___________°；
（2）若点 为整点，且满足 ，直接写出点 的坐标(写出两个即可)．
【答案】（1）
（2）点 的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）如图所示（见详解），构造直角三角形 ，直角三角形 ，证明
，且 ， ，由此即可求解；
（2）连接 ，过点 作 的垂直平分线 ，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司过点 ， 作 ，垂足为点 ，过点 ， 作 ，垂足为点 ，
∵点 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ，过点 作 ，且 平分 ，即 是 的垂直平分线，
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学科网（北京）股份有限公司根据作图可知， ， ， 为公共边，
∴ ，
∴ 即为所求点 ，坐标为 ，
同理可证： ，
∴ 即为所求点 ，坐标为 ．
∴点 为整点，且满足 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查平面直角系中点的变换，图形的变换，三角形全等的判断和证明，掌握点的变换规
律，三角形全等的证明是解题的关键．
24. 已知 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）在(1)的条件下，且 为整数，求 的值．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） ， ， ，
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式将 变形，代入 ，可求出 的值，再根据完全平方
公式将 变形，由此即可求解；
（2）根据（1）可知 ， ， ，则
可化简为 ，根据 为整数，由此即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值是 ．
【小问2详解】
解：由（1）可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 的值为 ， ， ， ，且 ，即 ，
∴当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ；
当 时， 满足条件，则 ．
综上所述，当 为整数， 的值为 ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在分式运算中的运算，掌握分式的性质，分式的混合运
算是解题的关键．
25. 已知在 中， ，且 = ．作 ，使得 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，若 与 互余，则 =__________(用含 的代数式表示)；
（2）如图2，若 与 互补，过点 作 于点 ，求证： ；
（3）若由 与 的面积相等，则 与 满足什么关系？请直接写出你的结论数．
【答案】（1） ；
（2）见解析； （3） 与 相等或互补
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得 ，根据 与 互余得
，由 即可求出 的度数；
（2）作 根据 AAS 证明 ≌ ,则 ，由等腰三角形三线合一可得
，因此 ，问题得证；
（3）由 与 的面积相等得高相等.情况①：作 于 , 于 ,根据 可得
≌ ，则可得 = ；情况②: 是钝角三角形，作 于 ，作
垂直于 的延长线于 ，根据 可得 ≌ ，则可得 ，由于 与
互补，因此 与 互补．
【小问1详解】
解： 中， ，且 = ,
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学科网（北京）股份有限公司．
【小问2详解】
如图，过 点作 于E点，
中， ， ，
，
中 ，
，
，
, = ，
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学科网（北京）股份有限公司．
在 和 中， , , ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
①如图，作 于 ， 于 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
又∵ ,
∴ ≌ (HL)
∴
即 =
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学科网（北京）股份有限公司②如图，作 于 ，作 垂直于 的延长线于 ．
则 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ．
∴ ≌ ．
∴ ．
，
∴ ，
综上， 与 相等或互补．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，
综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在线段 ， 上，如果存在点 使得 且
(点 ， ， 逆时针排列)，则称点 是线段 的“关联点”如图1．点 是线段
的“关联点”．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图2，已知点 ， ，点 与点 重合．
①当点 是线段 中点时，在 ， 中，其中是线段 的“关联点”的是___________；
②已知点 是线段 的“关联点”，则点 的坐标是_______________．
（2）如图3，已知 ， ．
①当点 与点 重合，点 在线段 上运动时(点 不与点 重合)，若点 是线段 的“关联点”，
求证： ；
②当点 ， 分别在线段 ， 上运动时，直接写出线段 的“关联点” 形成的区域的周长．
【答案】（1）① ；②
（2）①证明过程见详解；②
【解析】
【分析】（1）①点 与点 重合，则点 ，点 是线段 中点，则 ，根据“关联点”的
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学科网（北京）股份有限公司定义，即可求解；
②点 ，“关联点”点 ，根据“关联点”的定义，即可求解；
（2）①证明 ，推出 ，可得结论；
②分别证明M在平行于OA的直线上和平行于x轴的直线上运动，当P、Q分别于A、B重合时，四边形
是平行四边形，进而可证四边形 是菱形，然后找出线段 的“关联点” 形成的区域
求解即可．
【小问1详解】
解：①点 ， ，点 与点 重合，点 是线段 中点，
∴ ， ，
∴ ，
根据“关联点”的定义可知， 且 (点 ， ， 逆时针排列)，
如图所示，连接 ，作线段 的垂直平分线 ，且点 ，点 ，
∴ ，点 ， ， 在一条直线上，不满足 ，故点 不是线段 的“关
联点”；
∵ ， ， ，
∴ ，且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴点 是线段 的“关联点”，
故答案为： ；
②∵点 ，“关联点”点 ，
∴ ，且 ，
使得 ，连接 ， ， ，如图所示，
∴点 ，“关联点”点 ，则点 的坐标为 ，即点 与点 重合，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：①如图中，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，
过 上点Q作 交 于P，则 是等边三角形，
同①可证 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
如图，当点 ， 分别在线段 ， 上运动时，线段 的“关联点” 形成的区域是边长为4的菱
形．
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学科网（北京）股份有限公司∴当点P，Q分别在线段 ， 上运动时，线段 的“关联点”M形成的区域的周长为16．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点与图像变换的综合，掌握“关联点”的定义，等腰三角形的
性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
