文档内容
海淀区八年级练习数学
考生须知：
1. 本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2. 在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3. 答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4. 考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下
列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，故符合要求；
D中不是轴对称图形，故不符合要求；
故选：C．
2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度
很小， 甲醇的质量约为 ，将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于 1的数，将 写成 的形式即可，其中
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学科网（北京）股份有限公司，n为整数，n的值与小数点移动位数相同．
【详解】解： ，
故选：B．
的
3. 下列运算正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运
算法则是解题的关键．
运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意；
B. ，故B选计算错误，不符合题意；
C. ，故C选计算错误，不符合题意；
D. ，故D选计算错误，不符合题意．
故选：A．
4. 如图，点E，C，F，B在一条直线上， ，添加下列条件 判定
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解
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学科网（北京）股份有限公司题的关键．
根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ，此时无法证明 ，故A符合要求；
当 时， ，故B不符合要求；
当 时，则 ， ，故C不符合要求；
当 时， ，故D不符合要求；
故选：A．
5. 若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的边数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了多边形的内角和外角的关系，正多边形的外角和是 ，这个正多边形的每个外角
相等，因而用 除以外角的度数即可，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个外角是 ，
∴多边形的边数为： ，
故选： ．
6. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若 ，则折叠凳的宽 可能为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是
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学科网（北京）股份有限公司解题的关键．
直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：如图：∵ ，
∴ ,即 ，
∴只有D选项符合题意．
故选D．
7. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一
个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式变形错误，不符合题意；
B、 ，原式变形错误，不符合题意；
C、 ，原式变形正确，符合题意；
D、 ，原式变形错误，不符合题意；
故选C．
8. 如图，在 中， ，P是 内一点，点D，E，F分别是点P关于直线
的对称点，给出下面三个结论：
① ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形
计算即可．
【详解】连接 、 、 ，如图，
∵点D，E，F分别是点P关于直线 的对称点，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司同理 ， ，
∴ ，故③错误；
故选：A．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键
直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵数式 有意义，
∴ ，即 ．
故答案为 ．
10. 分解因式： ______
【答案】 ．
【解析】
【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】 ．
11. 在平面直角坐标系 中，已知点 关于 轴的对称点 的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特点，根据关于 轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相
反数即可求解，掌握关于 轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点为点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
12. 计算： _____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算， 熟练掌握运算法则是解本题的关键；
原式运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
，
故答案为：
13. 已知等腰三角形的一个角是 ，则它的顶角的度数是___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为 ，分度数为 的角为顶角和底角两
种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为 的角是顶角时，则顶角的度数为 ；
当度数为 的角为底角时，则顶角的度数为 ；
综上所述，顶角的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
14. 如图，在 中， 是 边的垂直平分线． 若 ， ，则 的周长为
________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握
垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知 ，进而可求出 的周长．
【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
为
故答案 ： ．
15. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若 ，则
_____________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出
，根据两直线平行，内错角相等求出 ，再根据直角三角形两锐角互余求
出 即可．
【详解】解：如图，由题意，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
故答案为：
16. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如： 去掉相同的数字6之后，得到的分数 恰好与原来的分数相等，则 是一个“乐数”．
（1）判断： ___________（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________．
【答案】 ①. 不是 ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用．
（1）根据“乐数”的定义可以判断 不是“乐数”；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设分子的十位数字为 ，分母的个位数字为 ，由题意得 ，推出 ，由 ，
为正整数，得到 或5或10，据此求解即可．
【详解】解：（1） 去掉相同的数字3之后，得到的分数为 ，而 ， ，
故 不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为 ，分母的个位数字为 ，
由题意得 ，
整理得 ，即 ，
为
∵ ， 正整数，
∴ 或5或10，
∴ 或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是 或 ．
故答案为：不是， ．
三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，
第25、26题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】12
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有：
， ，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. （1）已知 ，求代数式 的值．
（2）计算： ．
【答案】（1）13（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键．
（1）先去括号，在合并同类项，然后把 代入化简后的式子计算即可；
（2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=
= ；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴原式= ．
（2）原式=
=
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学科网（北京）股份有限公司= ．
19. 小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条 ， 的中点连在一起（即 ，
），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花
瓶内底的宽，请证明你的结论．
【答案】C；D；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
【详解】解：C，D；理由如下：
连接 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 的距离为该花瓶内底的宽．
20. 如图，在 中， ．在线段 上求作一点D，使得 ．小明发现作
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学科网（北京）股份有限公司的平分线交 于点D，点D即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ，
∴ _________ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ _________．
在 中， ，
∴ （____________________________________________）（填推理依据）．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2） ； ；在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角
边等于斜边的一半．
【解析】
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到 ，由角平分线定义得 ．则
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学科网（北京）股份有限公司．由等角对等边得到 ．则根据直角三角形的性质得到 ，即可得到结论．
此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，根据性质进行正确推
理是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，点 即为所求．
小问2详解】
【
证明：∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ （在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．
∴ ．
故答案为： ； ；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
21. 如图所示的 网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1， 为
格点三角形．
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学科网（北京）股份有限公司（1） __________ ；
（2）在图2和图3中分别画出一个以点 ， 为顶点，与 全等，且位置互不相同的格点三角形．
【答案】（1）90 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，
（1）由勾股定理分别求出 ， ， ，再利用勾股定逆定理，得出 是直角
三角形，即可得到 的度数；
（2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理， ， ， ，
，
是直角三角形，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图， 和 即为所求作．
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学科网（北京）股份有限公司22. 列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配
送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆
无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】 件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，然后根据等量关系“要
配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解
即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，
依题意可得： ，解得： ．
经检验， 是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹 件．
23. 如图，四边形 中， ， 于点F，交 于点E，连接 ，
平分 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，运用 证得
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．
（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；
（2）先证明 可得 ，即 ，最后根据线段的和差即可解答．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ．
∵ 于点F， 平分 ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ 于点F，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
24. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量
为 ． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
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学科网（北京）股份有限公司现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一
次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过
滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 第一次过滤 第一次过滤后 第二次过滤 第二次过滤后
编号 用净水材料的单位量 水中杂质含量 用净水材料的单位量 水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水
材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
【答案】（1）
（2）① ， ②方案C
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，
（1）根据水中的杂质含量为 计算即可；
（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用 个单位，即第一次净水后，杂质含量为：
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学科网（北京）股份有限公司，第二次净水后，杂质含量为： ，即有
，问题随之得解．
【小问1详解】
，
故答案为： ；
【小问2详解】
① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为： ，
第二次过滤后水中杂质含量为： ，
故答案为： ， ；
② 解： = ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
同理，可得 ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴方案C的最终过滤效果最好．
【小问3详解】
设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用 个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为： ，
∴第二次净水后，杂质含量为： ，
∵
，
∵ ，
∴ ，
当 ，即 时， 有最大值为 ，
∴此时分数 有最小值，
即第一次使用 单位的净水材料，第二次使用 个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故答案为： ．
25. 如图，在 中， ， ，作直线 ，使得 ．过点B
作 于D，在 的延长线上取点E，使 ． 连接 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求 （用含 的式子表示）；
（3）用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添
加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）根据题中要求补全图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到 ，进而根据图形进行角度的运算即可；
（3）在 延长线上取点F，使 ，连接 ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质
证得 ，进而得到 ，证明 得到 ，
进而可得结论．
【小问1详解】
解：依题意，补全图形如图所示：
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ 于D，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问3详解】
解： ．
证明：如图，在 延长线上取点F，使 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，直线 过原点且经过第三、第一象限， 与 轴所夹锐角为 ．对于点
和 轴上的两点 ， ，给出如下定义：记点 关于直线 的对称点为 ，若点 的纵坐标为正数，且
为等边三角形，则称点 为 ， 的 点．
（1）如图1，若点 ， ，点 为 ， 的 点，连接 ， ．
① ；
②求点 的纵坐标；
（2）已知点 ， ．
①当 时，点 为 ， 的 点，且点 的横坐标为 ，则 ；
②当 时，点 为 ， 的 点，且点 的横坐标为 ，则 ___________________．
【答案】（1）①30；②
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）①设点 为第一象限内 上一点，得出 与 轴的夹角为 ,即 ，则
即可得出 ；
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司②过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，证明 ．根据 是等
边三角形，点 ， ，点 ， ，得出 ，即可求解；
（2）①延长 交 于点 ，连接 交 轴于 ，过点 作 轴于 ，根据定义得出 是
等边三角形，证明 轴，得出 ，分别求得 ，解方程，即可得出 ；
②当 时，点 在点 的右侧，如图所示，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设
关于 的对称点为 ，则 ，根据含 度角的直角三角形的性质得出 ；
当 时，点 在点 的左侧，根据 ，解方程，即可求解．
【小问1详解】
①解：如图所示， 设点 为第一象限内 上一点，
∵ 为等边三角形， ， ，则
,
∵点 为 ， 的 点，
∴ 与 轴的夹角为 ,即
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为：30；
②解：过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，
．
点 为线段 的 点，
， ， ．
．
在 和 中，
．
．
是等边三角形，点 ， ，点 ， ，
．
，
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司．
．
点纵坐标为 ．
【小问2详解】
解：①如图所示，延长 交 于点 ，连接 交 轴于 ，过点 作 轴于 ，
∵点 为 ， 的 点，
∴ ，
则 是等边三角形，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∴
∵ 关于 对称，
∴ ，则 ，
∴ 轴，
∵点 的横坐标为
∴ ，
∵ ，则 ，
∵ ， ， 则
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
∴
解得：
故答案为： ．
②当 时，点 ，
当 时，点 在点 的右侧，如图所示，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设
关于 的对称点为 ，则 ，
∵ , ， ，则 ( )
∴ ，
∴
∵
∴
当 时，点 在点 的左侧，
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司同理可得 ， ，则 ，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角
和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是
解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
