文档内容
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个
1．已知反比例函数y＝ 的图象经过点（2，3），则k＝（ ）
A．2 B．3 C．﹣6 D．6
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界
围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四
个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出
1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝
2，AC＝4，AD＝3，则AB为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝06．如图， O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则 的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
π π π π
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值 y大于2的自变量x的
取值可以是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为 线段
B．斜边为3的直角三角形
C．面积为4的菱形
D．半径为 ，圆心角为90°的扇形
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．
10．若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝ 的图象上，则a，b的大小关系是：a
b（填“＞”、“＝”或“＜”）．
11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与 O相切，则AC与
O的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．⊙
⊙12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．
13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成
活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．
14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直
到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，
CD＝12m，则旗杆高度DE＝ m．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D
绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为
，CE的长为 ．
16．已知双曲线y＝﹣ 与直线y＝kx+b交于点A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
（1）若x +x ＝0，则y +y ＝ ；
1 2 1 2（2）若x +x ＞0时，y +y ＞0，则k 0，b 0（填“＞”，“＝”或
1 2 1 2
“＜”）．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25
题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解方程：x2﹣4x+3＝0．
18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有
六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，
请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设 所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．
店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
混入“HB”铅笔数 0 1 2
盒数 6 m n
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
①
若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为 ，求m和n的值．
②
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，
2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已
知点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；
（2）判断点C是否在此函数图象上；
（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．
若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．
22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的 O与直线AB相
切于点E，且E是AB中点，连接OA． ⊙
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝ ，求 O的半径．
⊙23.在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y ）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，
1
y ）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．
2
（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．
求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
①判断m＜0时，y
1
与y
2
的大小关系；
②（2）若只有当m≥1时，满足y
1
•y
2
≤0，求此时二次函数的解析式．
24.已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重
合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系
是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式
表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，
PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内
联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 是△AOB关于点B的
①内联点；
若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
②（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关
于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知反比例函数y＝ 的图象经过点（2，3），则k＝（ ）
A．2 B．3 C．﹣6 D．6
【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6．
故选：D．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界
围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四
个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出
1个球，恰好是红球的概率为（ ）A． B． C． D．1
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是 ，
故选：A．
4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝
2，AC＝4，AD＝3，则AB为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成
比例，据此可得结论．
【解答】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ，
解得AB＝6，
故选：B．
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0
【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0．
【解答】解：A、x﹣1＝0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；
B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵△＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵△＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．
6．如图， O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则 的长为（ ）
⊙A． B． C． D．
π π π π
【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝360°× ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
弧BC的长为 ＝ ．
π
故选：B．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值 y大于2的自变量x的
取值可以是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出
抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为 线段
B．斜边为3的直角三角形
C．面积为4的菱形
D．半径为 ，圆心角为90°的扇形
【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．
【解答】解：半径为1的圆的直径为2，
A、∵ ＞2，
∴长度为 线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
B、∵3＞2，
∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
C、∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，
∴面积为4的菱形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
D、∵半径为 ，圆心角为90°的扇形的弦为2，
∴半径为 ，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 y ＝ x 2 ．
【分析】根据二次函数有最小值，即可得出a＞0，据此写出一个二次函数即可．
【解答】解：∵二次函数有最小值，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝x2，
故答案为y＝x2．
10．若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝ 的图象上，则a，b的大小关系是：a
＞ b（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝4＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝ 的图象上，且2＞1，
∴a＞b，
故答案为：＞．
11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与 O相切，则AC与
O的位置关系为 相切 （填“相交”、“相切”或“相离”）．⊙
⊙
【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到
AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE＝OF，接着根据切线的性质可判断OE为
O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与 O相切．
⊙【解答】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC⊙，如图，
∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF，
∵腰AB与 O相切，
∴OE为 O⊙的半径，
∴OF为⊙O的半径，
而OF⊥⊙AC，
∴AC与 O相切．
故答案为⊙相切．12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然
后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，
∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，
∴1﹣3+m＝0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成
活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
估计树苗移植成活的概率是 0. 9 （结果保留小数点后一位）．
【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．
【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故答案为：0.9．
14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直
到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，
CD＝12m，则旗杆高度DE＝ 9 m．
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式
求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝9（m），
故答案为：9．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D
绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为
45° ，CE的长为 ．
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，
∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，
∴BE＝1，
∴CE＝ ＝ ＝ ，
故答案为：45°， ．
16．已知双曲线y＝﹣ 与直线y＝kx+b交于点A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2（1）若x +x ＝0，则y +y ＝ 0 ；
1 2 1 2
（2）若x +x ＞0时，y +y ＞0，则k ＜ 0，b ＞ 0（填“＞”，“＝”或“＜”）．
1 2 1 2
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
（2）根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵双曲线 y＝﹣ 与直线y＝kx+b交于点A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ）．
2
∴y ＝﹣ ，y ＝﹣ ，
1 2
∵x +x ＝0，
1 2
∴x ＝﹣x ，
2 1
∴y ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣y ，
2 1
∴y +y ＝0，
1 2
故答案为0；
（2）∵双曲线y＝﹣ 在二、四象限，
∴设A（x ，y ）在第二象限，B（x ，y ）在第四象限．则x ＜0，y ＞0，x ＞0，y ＜
1 1 2 2 1 1 2 2
0，
∵x +x ＞0，y +y ＞0，
1 2 1 2
∴|x |＞|x |，|y |＞|y |，如图，
2 1 1 2
∴直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故答案为＜，＞．
三．解答题
17．解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x ＝1，x ＝3．
1 2
18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）BC＝3，CD＝ ．
【分析】（1）由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出
结论；
（2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性质求出CD即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝ ＝ ＝3，
由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CD＝ ．
19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有
六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，
请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设 所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【考点】数学常识；列代数式；勾股定理的应用；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设 所在圆的圆心为O，半径为
rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分
弦．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．
店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
混入“HB”铅笔数 0 1 2
盒数 6 m n
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
①
若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为 ，求m和n的值．
②
【考点】统计表；随机事件；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）m+n＝14；（2） 随机； m＝5，n＝9．
【分析】（1）根据表格确定m，①n满足的②数量关系即可；
（2） 根据事件的性质进行解答即可；
利用①概率公式列式计算即可．
②【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，
∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，
故答案为：m+n＝14；
（2） “盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案①为：随机；
∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为 ，
②
∴ ＝ ，
∴m＝5，n＝9．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已
知点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；
（2）判断点C是否在此函数图象上；
（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．
若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝ ，图象见解答；
（2）点C在反比例函数图象上；
（3）0＜m≤ 或m≥8．
【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；
（2）先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；
（3）先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得
出结论．
【解答】解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝ 中，得 ，
∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝ ，
图象如图1所示，
（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，
且A（1，2），
∴C（1×2，2×2），
即C（2，4），
由（1）知，反比例函数解析式为y＝ ，
当x＝2时，y＝ ＝4，
∴点C在反比例函数图象上；
（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，
且B（4，2），
∴D（4×2，2×2），
即D（8，4），
由（2）知，C（2，4），
∴直线CD的解析式为y＝4，
∵点M的横坐标为m，则M（m，4），N（m， ），∴MN＝|4﹣ |，
∵A（1，2），B（4，2），
∴AB＝3，
∵MN≥AB，
∴|4﹣ |≥3，
∴m≥8或m≤ ，
即0＜m≤ 或m≥8．
22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的 O与直线AB相
切于点E，且E是AB中点，连接OA． ⊙
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝ ，求 O的半径．
⊙
【考点】角平分线的性质；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分
AB，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）设 O的半径为r，先证明AO平分∠BAC，再证明∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，
所以AC＝⊙ OC＝ r，利用勾股定理得到（ r）2+（2r）2＝（ ）2，然后解方程
即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵以CD为直径的 O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB， ⊙∵E是AB中点，
∴OE垂直平分AB，
∴OA＝OB；
（2）解：设 O的半径为r，
∵OE⊥AB，⊙OC⊥AC，OE＝OC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，
在Rt△OAC中，AC＝ OC＝ r，
在Rt△ACD中，（ r）2+（2r）2＝（ ）2，解得r＝1，
即 O的半径为1．
⊙
23.在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y ）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，
1
y ）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．
2
（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．
求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
①判断m＜0时，y
1
与y
2
的大小关系；
②（2）若只有当m≥1时，满足y
1
•y
2
≤0，求此时二次函数的解析式．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特
征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1） y＝x2﹣4x+4，（2，0）； y ＞y ；
1 2
（2）y＝x2﹣5x①+4．
②
【分析】（1） 待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
画出二次函数①和一次函数y＝﹣x+4的图像，根据图像即可得到结论；
②（2）由题意可知，只有二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），才
能满足m≥1时，y •y ≤0，然后根据待定系数法求得即可．
1 2
【解答】解：（1） ∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，4），（4，4），
①
∴ ，解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+4，
∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴图象的顶点坐标为（2，0）；
画出函数的图像如图：
②由图像可知，m＜0时，y ＞y ；
1 2
（2）由题意可知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），
把（1，0）和点（4，0）代入得 ，
解得 ，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．
24.已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重
合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系
是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式
表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得
出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答
案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS
证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF
＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝
CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，
PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内
联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 是△AOB关于点B的
①内联点；
若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
②（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关
于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1） O，C．
1≤n≤8． ①
②
（2）﹣ ≤m≤0或 ≤m≤ ．
【分析】（1） 分别以B为圆心，BO，BCBA为半径作圆，观察图像根据线段OA与
圆的交点的位置①，可得结论．
如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，
②此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段
OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．利用相似三角形的
性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交
F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．
【解答】解：（1） 如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图
像可知，点O，点C①是是△AOB关于点B的内联点．
故答案为：O，C．如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，
②此时点O是△AOB关于点B的内联点，
当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于
点B的内联点，
观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．
∵E（4，2），
∴OH＝4，EH＝2，
∴OE＝ ＝2 ，
当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，∵∠EOF＝∠NOH＝90°，
∴∠FON＝∠EOH，
∵∠FNO＝∠OHE＝90°，
∴△FNO∽△EHO，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴FN＝ ，ON＝ ，
∴F（﹣ ， ），
观察图像可知当﹣ ≤m≤0时，满足条件．
作点F关于点O的对称点F′（ ，﹣ ），
当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，
∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，
∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），
∴∠EOH＝∠OEF″，
∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，
在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝ ，
∴OP＝ ，PH＝PF″＝ ，
可得F″（ ，﹣ ），
观察图像可知，当 ≤m≤ ．
综上所述，满足条件的m的值为﹣ ≤m≤0或 ≤m≤ ．
