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北京市西城区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人
一、单选题
得分
1．以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图
形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
2．地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在
施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级.1nm
=0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（ ）
A．1×10−8 B．1×10−9 C．10×10−10 D．0.1×10−8
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2·a=a2 B．(a3 ) 2=a5
C．(ab) 5=a5b5 D．(−3a) 3=−9a3
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，5，5 B．5，5，10 C．5，6，12 D．3，4，7
5．如图，∠1=∠2，AB∥CD，AB=AC=AE=CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有符合题意结论的序号是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
a6 a2 a+3c
A． = B． =3c
a3b b a
a−3 1 a2−9 a+3
C． = D． =
a2−9 a−3 a2−6a+9 a−3
7．图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2
的六角尺示意图中，x的值为（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．112°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点
B，点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得EC=EP，连接
ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC=ED=EA=EP．若记∠APC的度数为x，
则下列关于∠≝¿的表达式正确的是（ ）
A．∠≝=2x−3α B．∠≝=2α
C．∠≝=2α−x D．∠≝=180−3α
阅卷人
二、填空题
得分
9．计算：
（1）3−2= ；
（2）(−6) 0= ．
1
10．若分式 有意义，则字母x满足的条件是 ．
x−5
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11．分解因式：3m3−12m= ．
12．在平面直角坐标系xOy中，A(4，3)关于x轴对称的点的坐标为 ．
13．小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表
中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间t
1
比t
2
约少0.09ℎ，那么可列出关
于v的方程为 ．
区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间
区间段
(km) (km/ ℎ) (ℎ)
北京城市副中心站−香 6
47.8 v t
河站 7 1
香河站−唐山西站 87 v t
2
14．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．
现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的
关系写出一个等式： （用含a，b，c，d，
e，f的式子表示）．
15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点
C，MC=BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF=AE，连接MF，BF，CE．
（1）图中与MF相等的线段是 ；
（2）当BF+CE取最小值时∠AFB= °
阅卷人 三、解答题
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16．如图，在四边形ABDC中，∠ABD=60°，∠D=90°，BC平分∠ABD，
AB=3，BC=4．
（1）画出△ABC的高CE；
（2）△ABC的面积等于 ．
17．计算：
（1）4x⋅(−2x2y)；
（2）(3x−1)(x+2)；
（3）(16a2bc−12a3 )÷4a2
1 2a+1 a+1
18．已知a=− ，求代数式(a+ )÷ 的值．
2 a a2
2 x
19．解方程： +1=
x x−1
20．如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，
D．AC，BD的交点为E，AB=DC．求证：BE=CE．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A(2，6)，B(5，1)，C(3，1)．点B
与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．
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（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC=90°，直接写出点P的坐标．
22．
（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线AB及直线AB外一点P．求作：经过
点P的直线CD，使得CD∥AB．
分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可
以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定CD∥AB的依据是
．
（2）已知：如图，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD．
求作：凸四边形ABCD，使得BC=AB，且△ACD为等腰三角形．
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请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
23．在△ABC中，AB=AC(AB<BC)，在BC上截取BD=AB，连接AD．在△ABC的外
部作∠ABE=∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想AE=AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：
∠ABC= ▲ °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明BE=DE；
②延长AD到F，使DF=AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数
量关系并加以证明．
24．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们
称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边
形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
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L
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
2
Ⅰ
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
L
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+ 的数量关系可用等式表
2
示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB=m，BC=n，其中m，n为正整数．请
以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
25．阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
x+2 x+1 1 1
− = − ①
x+3 x+2 x+2 x+3
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
x+3 x+2 1 1
− = − ②
x+4 x+3 x+3 x+4
x+4 x+3 1 1
− = − ③
x+5 x+4 x+4 x+5
x+5 x+4 1 1
− = − ④
x+6 x+5 x+5 x+6
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，
n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第n个等式是 ；
（3）请你证明第n个等式成立．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距
离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联
点”．
（1）当P (1.5，0)时，
1
①如果点P 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为
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②如果点M(x，y)是点P 的k倍关联点，且满足x=−1.5，3≤ y≤5，那么整数k的
1
最大值为 ；
（2）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，A(b，0)，B(b+1，0)．
若P (−1，0)，且在△ABC的边上存在点P 的2倍关联点Q，求b的取值范围．
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答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使
得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000001=1×10−9.
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a=a3，故此选项不符合题意；
B、(a3
)
2=a6，故此选项不符合题意；
C、(ab) 5=a5b5，故此选项符合题意；
D、(−3a) 3=−27a3，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意；
B、5，5，10因为5+5=10，不满足三角形三边关系，不符合题意；
C、5，6，12因为5+6<12，不满足三角形三边关系，不符合题意；
D、3，4，7因为3+4=7不满足三角形三边关系，不符合题意．
故答案为：A．
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【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠1，
在△ABC、△AEC和△ADC中．
{
AB=AE=CD
∠1=∠2=∠ACD，
AC=AC=AC
∴△ABC≌△AEC≌△ADC（SAS）
把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC，故①符合题意；
把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC，故②符合题意；
把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，不能得到△ABC．故③不符合题意，
综上所述：正确的结论是①②．
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证明△ABC≌△AEC≌△ADC，再利用翻折、平移的性质逐项
判断即可。
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
a6 a3 a2
【解析】【解答】解： = ≠ ，故A不合题意；
a3b b b
a+3c
的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B不合题意；
a
a−3 a−3 1 1
= = ≠ ，故C不合题意；
a2−9 (a−3)(a+3) a+3 a−3
a2−9 (a+3)(a−3) a+3
= = ，故D符合题意；
a2−6a+9 (a−3) 2 a−3
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
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【解析】【解答】解：根据题意得：
135°+x+(x+9)°+126°+120°+(2x−120)°=(6−2)×180°，
解得：x=112.5°，
故答案为：C．
【分析】利用多边形的内角和公式可得
135°+x+(x+9)°+126°+120°+(2x−120)°=(6−2)×180°，再求出x的值即可。
8．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵EC=EP
∴∠ECP=∠EPC=x
∴∠CEP=180°−2x
∵∠APC=∠B+∠PAB
∴∠PAB=∠APC−∠B
∴∠PAB=x−α
∵ED=EA
∴∠EAD=∠EDA=x−α
∴∠DEP=∠EAD+∠EDA=2x−2α
∵∠≝=180°−∠CEP−∠DEP
∴∠≝=180°−(180°−2x)−(2x−2α)=2α．
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出∠ECP=∠EPC=x，
∠DEP=∠EAD+∠EDA=2x−2α，再利用平角的性质可得
∠≝=180°−(180°−2x)−(2x−2α)=2α。
1
9．【答案】（1）
9
（2）1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
1 1
【解析】【解答】解：（1）3−2= =
32 9
（2）(−6) 0=1
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1
故答案为： ，1．
9
【分析】（1）利用负指数幂的性质求解即可；
（2）利用0指数幂的性质求解即可。
10．【答案】x≠5
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x−5≠0，
解得x≠5，
故答案为：x≠5．
【分析】利用分式有意义的条件列出不等式求解即可。
11．【答案】3m(m+2)(m−2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3m3−12m
=3m(m2−4)
=3m(m+2)(m−2)．
故答案为：3m(m+2)(m−2)．
【分析】先提取公因式3m，再利用平方差公式因式分解即可。
12．【答案】（4，-3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，A(4，3)，
∴A(4，3)关于x轴对称的点的坐标为(4，−3)，
故答案为：(4，−3)．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征求解即可。
47.8 87
+0.09=
13．【答案】 6 v
v
7
【知识点】列分式方程
47.8 87
+0.09=
【解析】【解答】解：根据题意得： 6 v ，
v
7
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47.8 87
+0.09=
故答案为： 6 v ．
v
7
【分析】根据“运行时相应所用的时间t
1
比t
2
约少0.09ℎ”直接列出方程
47.8 87
+0.09=
6 v 即可。
v
7
14．【答案】a(d−e)+(a+b)(e−f )+(a+b+c)f =ad+be+cf
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据图1，得图形的面积为ad+be+cf；
根据图2，得图形的面积为a(d−e)+(a+b)(e−f )+(a+b+c)f；
∵图形的面积相等，
∴a(d−e)+(a+b)(e−f )+(a+b+c)f =ad+be+cf．
故答案为：a(d−e)+(a+b)(e−f )+(a+b+c)f =ad+be+cf．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式。
15．【答案】（1）EC
（2）95
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AC=BC，MC=BC，
∴AC=MC，
∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，
∴AD∥CM， ∠MCB=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠MCA=∠CAD=40°，
∵CF=AE，
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∴△CMF≌△CAE(SAS)，
∴MF=CE，
故答案为：CE；
（2）∵MF=CE，
∴BF+CE=BF+MF，
∴当MF和BF共线时，和最小，如下图，此时MB与AC交于点F′，
∵MC=BC，∠BCM=90°
∴∠CMB=45°，
∴∠AF′B=∠CF′M=180°−∠CMB−∠MCA=95°
故答案为：95．
【分析】（1）先利用“SAS”证明△CMF≌△CAE，再利用全等三角形的性质可得
MF=CE；
（2）当MF和BF共线时，和最小，此时MB与AC交于点F′，再求出∠CMB=45°，最
后利用角的运算求出∠AF′B=∠CF′M=180°−∠CMB−∠MCA=95°即可。
16．【答案】（1）解：如图所示，高CE即为所求；
（2）3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）∵BC平分∠ABD，∠ABD=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BC=4，
∴DC=2，
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∵∠D=90°，CE⊥BE，
∴EC=2，
1 1
∴S = ×AB×CE= ×3×2=3，
ΔABC 2 2
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求作出高即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可。
17．【答案】（1）解：4x⋅(−2x2y)
=−8x3y
（2）解：(3x−1)(x+2)
=3x2−x+6x−2
=3x2+5x−2
（3）解：(16a2bc−12a3 )÷4a2
=4bc−3a
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式的计算方法求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算方法求解即可；
（3）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
2a+1 a+1
18．【答案】解：(a+ )÷
a a2
a2+2a+1 a2
= ×
a a+1
(a+1) 2 a2
= ×
a a+1
=a(a+1)．
1
当a=− 时，
2
1 1
原式=− ×(− +1)
2 2
1 1
=− ×
2 2
1
=− ．
4
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【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
19．【答案】解：方程两边同时乘以x(x−1)，去分母，得2(x−1)+x(x−1)=x2，
去括号，得2x−2+x2−x=x2，
移项、合并同类项，解得x=2．
检验：当x=2时，x(x−1)≠0．
所以，原分式方程的解为x=2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
20．【答案】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D，
∴∠A=90°，∠D=90°．
∴∠A=∠D．
在△ABE和△DCE中，
{
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC，
∴△ABE≌△DCE．
∴BE=CE．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用“AAS”证明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得
BE=CE。
21．【答案】（1）解：作AF⊥BC于点F，则∠AFC=90°．
由A(−2，6)，B(−5，1)，C(3，1)，
可得AF= y −y =5．
A C
∴点A到BC的距离为5．
（2）解：补全图形如下：
16 / 27…
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○
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由A(−2，6)，B(−5，1)，C(3，1)，
可得BC=8，CF=x −x =5． C A
∴AF=CF．
∴∠C=∠CAF．
∴在Rt△ACF中，
180°−∠AFC ∠C= =45°．
2
由题意可知，直线l是线段BC的垂直平分线，DE⊥BC于点D，BD=CD．
∴D(−1，1)，BE=CE．
∴∠BEC=180°−2∠C=90°．
∠BEC
∴△BCE为等腰直角三角形，∠DEC= =45°．
2
∴∠DEC=∠C．
BC
∴DE=DC= =4
2
1 1
∴S =S −S = ×BC×AF− ×BC×DE=4．
△ABE △ABC △BEC 2 2
（3）(-1，5)
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得，∠BEC=90°，
∴点P和点E重合，
∵DE=4，D(−1，1)
∴点E的坐标为(−1，5)，
∴点P的坐标为(−1，5)．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解即可；
17 / 27…
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∠BEC
（2）先求出△BCE为等腰直角三角形，∠DEC= =45°，可得
2
BC
DE=DC= =4，再利用割补法求出
2
1 1
S =S −S = ×BC×AF− ×BC×DE=4即可；
△ABE △ABC △BEC 2 2
（3）根据（2）的计算方法求出点P的坐标即可。
22．【答案】（1）解：①作法： a、过点P任意作一条直线EF，交直线AB于点G，
b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线EF于点M，交直线AB于点N， c、以点P
为圆心，GM长为半径画弧交直线EF于点K， d、以点K为圆心，MN长为半径画弧交
上一弧于点Q， e、过点P、Q作直线CD， 直线CD即为所求作的直线 作图如下：
②同位角相等，两直线平行；
（2）解：分别以点A、B、D为圆心，AB长为半径画圆，再作线段AD的垂直平分线，
由作法可知：AB=BC =BC =BC ，
1 2 3
△C AD、△DAC 、△ADC 都是等腰三角形，
1 3 2
作图见图．
则凸四边形ABC D、ABC D、ABC D为所求作的凸四边形．
1 2 3
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）②由①作法可知：∠EGB=∠EPD，
18 / 27…
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∴CD∥AB(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
【分析】（1） ①过点P任意作一条直线EF，交直线AB于点G，以点P为顶点，根据
作一个角等于已知角的作法，即可作得；
②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；
（2）分别以点A、B、D为圆心，AB长为半径画圆，再作线段AD的垂直平分线，根据
交点即可求得。
23．【答案】（1）解：①36
②小明的证明错误．他证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”
不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“ASA”来证明；
（2）解：①证明：如图．
∵AB=AC，
∴∠3=∠C．
∵∠DBE=∠1+∠3，∠4=∠2+∠C，∠1=∠2，
∴∠DBE=∠4．
∴BE=DE．
②补全图形见图．
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___________：名姓
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∠BFE=∠AFC．
证明：作BG⊥EF于点G，如图．
∵AE=DF，
∴AE+AD=DF+AD，即DE=AF．
∵BE=DE，
∴BE=AF．
{BE=AF
在△ABE与△CAF中， ∠1=∠2，
BA=AC
∴△ABE≌△CAF(SAS)．
∴∠E=∠5．①
∵BA=BD，BG⊥EF于点G，
∴DG=AG．
∵DF=AE，
∴DG+DF=AG+AE，即FG=EG．
又∵BG⊥EF于点G，
∴BE=BF．
∴∠6=∠E．②
由①②得∠6=∠5，即∠BFE=∠AFC．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）①增加∠ABC=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=36°，
∵BD=AB，
1
∴∠BAD=∠BDA= (180°−36°)=72°，
2
∴∠DAC=72°−36°=36°，
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∴∠ABE=∠DAC=36°，
∴∠ABE=∠ABC=36°，
∴∠BAC=∠BAE=180°−2×36°=108°，
∵AB=AB，
∴△ABC≌△ABE(ASA)，
∴AC=AE，
故增加∠ABC=36°时，AE=AC成立，
故答案为：36；
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）①利用角的运算求出∠DBE=∠4，即可得到BE=DE；
②利用全等三角形的判定方法可得△ABE≌△CAF(SAS)，可得∠E=∠5，再求出
∠6=∠E，证出∠6=∠5，即可得到∠BFE=∠AFC。
1
24．【答案】（1）多边形Ⅰ的面积为： ×3×4=6，
2
1 1
多边形Ⅲ的面积分成一个三角形与一个梯形计算为： ×2×4+ ×(1+2)×1=5.5，
2 2
补全表格如下：
L
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
2
Ⅰ 6 3 8 7
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ 5.5 2 9 6.5
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
L
（2）S=N+ −1
2
（3）证明：格点长方形ABCD内部的格点数N=(m−1)(n−1)，
边上的格点数L=2(m+1)+2(n−1)=2(m+n)．
L 2(m+n)
N+ −1=(m−1)(n−1)+ −1
2 2
=[mn−(m+n)+1]+(m+n)−1=mn．
∵格点长方形ABCD的面积S=mn，
L
∴格点长方形ABCD的面积S=N+ −1．
2
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___________：校学
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【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
L
【解析】【解答】解：（2）根据（1）中结果可得二者数量关系表示为：S=N+ −1．
2
L
故答案为：S=N+ −1；
2
【分析】（1）根据图形填空表格即可；
L
（2）根据表格中数据可得S=N+ −1；
2
（3）先求出
L 2(m+n)
N+ −1=(m−1)(n−1)+ −1=[mn−(m+n)+1]+(m+n)−1=mn，再结合
2 2
L
S=mn，可得S=N+ −1。
2
x+6 x+5 1 1
25．【答案】（1） − = −
x+7 x+6 x+6 x+7
x+n+1 x+n 1 1 （2） − = −
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
x+n+1 x+n (x+n+2)−1 (x+n+1)−1
（3）证明： − = −
x+n+2 x+n+1 x+n+2 x+n+1
1 1 1 1
=(1− )−(1− )= − ．
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
x+n+1 x+n 1 1
所以 − = − ．
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
即第n个等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
x+6 x+5 1 1
【解析】【解答】解：（1）根据已知等式可知第⑤个等式是 − = − ，
x+7 x+6 x+6 x+7
x+6 x+5 1 1
故答案为： − = − ；
x+7 x+6 x+6 x+7
（2）对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是
x+n+1 x+n 1 1
− = − ，
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
x+n+1 x+n 1 1
故答案为： − = − ；
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
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【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
x+n+1 x+n 1 1
（2）根据前几项中的数据与序号的关系可得规律 − = − ；
x+n+2 x+n+1 x+n+1 x+n+2
（3）利用分式的减法计算方法证明即可。
26．【答案】（1）（4.5，0） 或（-1.5，0）；3
（2）解：∵A(b，0)，B(b+1，0)，
∴AB=1．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2，
∵点Q为点P 的2倍关联点，P (−1，0)，
2 2
∴QP =2OP =2．
2 2
即点Q在以P (−1，0)为圆心，2为半径的圆上，
2
当点C在x轴下方时，如图所示，
由图可知，−3≤b+1≤−2或−1≤b≤1，
当点C在x轴上方时，结论相同，
∴b的取值范围是−4≤b≤−3或−1≤b≤1．
【知识点】圆的综合题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①∵点P 的坐标为(1.5，0)，
1
∴ 点P 到原点的距离为1.5，
1
∴a=1.5，
∴2a=3，
∵点P 的2倍关联点M在x轴上，
1
∴点M的横坐标为1.5+3=4.5或1.5−3=−1.5，
∴点M的坐标是(4.5，0) 或(−1.5，0)，
故答案为：(4.5，0) 或(−1.5，0)
②∵点M(x，y)是点P 的k倍关联点，且x=−1.5，a=1.5，
1
∴M P =1.5k，
❑1
23 / 27…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
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2 2 2
∴k= M P = √(−1.5−1.5) 2+(y−0) 2= √9+ y2 ，
3 ❑1 3 3
∵3≤ y≤5，
∴18≤9+ y2≤34，
2 2√34
∴2√2≤ √9+ y2≤ ，
3 3
2√34
∵ <4，
3
∴整数k的最大值是3，
故答案为：3
【分析】（1）①根据“k倍关联点”的定义求解即可；
2 2 2 ②根据“k倍关联点”的定义求出k= M P = √(−1.5−1.5) 2+(y−0) 2= √9+ y2 ，
3 ❑1 3 3
2 2√34
再结合3≤ y≤5，可得2√2≤ √9+ y2≤ ，最后求出答案即可；
3 3
（2）分类讨论：①当点C在x轴下方时，②当点C在x轴上方时，再分别求解即可。
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试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：122分
客观题（占比） 16.0(13.1%)
分值分布
主观题（占比） 106.0(86.9%)
客观题（占比） 8(30.8%)
题量分布
主观题（占比） 18(69.2%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 7(26.9%) 9.0(7.4%)
解答题 11(42.3%) 97.0(79.5%)
单选题 8(30.8%) 16.0(13.1%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (80.8%)
2 容易 (11.5%)
3 困难 (7.7%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 分式有意义的条件 1.0(0.8%) 10
2 关于坐标轴对称的点的坐标特征 1.0(0.8%) 12
3 三角形全等的判定 10.0(8.2%) 23
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4 轴对称图形 2.0(1.6%) 1
5 三角形的角平分线、中线和高 6.0(4.9%) 16
6 列式表示数量关系 1.0(0.8%) 14
7 三角形内角和定理 4.0(3.3%) 8,15
8 单项式乘单项式 15.0(12.3%) 17
9 几何图形的面积计算-割补法 15.0(12.3%) 21
10 平行线的判定与性质 11.0(9.0%) 22
11 角的运算 2.0(1.6%) 8
12 科学记数法—记绝对值小于1的数 2.0(1.6%) 2
因式分解﹣综合运用提公因式与公
13 1.0(0.8%) 11
式法
14 多边形内角与外角 2.0(1.6%) 7
15 定义新运算 7.0(5.7%) 26
16 解分式方程 5.0(4.1%) 19
17 列分式方程 1.0(0.8%) 13
18 多项式乘多项式 15.0(12.3%) 17
19 圆的综合题 7.0(5.7%) 26
20 探索数与式的规律 18.0(14.8%) 24,25
21 真命题与假命题 2.0(1.6%) 5
22 同底数幂的乘法 2.0(1.6%) 3
23 积的乘方 2.0(1.6%) 3
24 负整数指数幂 2.0(1.6%) 9
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25 分式的化简求值 5.0(4.1%) 18
26 点到直线的距离 15.0(12.3%) 21
27 三角形全等的判定（AAS） 5.0(4.1%) 20
28 分式的基本性质 2.0(1.6%) 6
29 三角形全等的判定（SAS） 2.0(1.6%) 15
30 三角形的面积 21.0(17.2%) 16,21
31 等腰三角形的判定 11.0(9.0%) 22
32 三角形三边关系 2.0(1.6%) 4
33 多项式除以单项式 15.0(12.3%) 17
34 探索图形规律 11.0(9.0%) 24
35 幂的乘方 2.0(1.6%) 3
36 零指数幂 2.0(1.6%) 9
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