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2022-2023 学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 5的算术平方根是（ ）
A. B. 25 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可，如果一个正数 x的平方等于a，即 ，那么x叫做a的算
术平方根．
【详解】解：数5的算术平方根为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平
方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
2. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理
的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义和中心图形的定义进行判断求解即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键在于熟练的掌握相关定义去判断图形．
3. 使得分式 值为零的 的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．
【详解】解： 分式 值为零，
且 ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子为零而分母不为零是解题的关键．
4. 利用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．
【详解】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线
的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．
5. 在等腰 中， ， ，则底边上的高为（ ）
A. 12 B. C. D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，根据等腰三角形的性质求得 ，再由勾股定理得 ．
【详解】解：如图，过点A作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司是等腰三角形， ，
，
在 中，由勾股定理得，
，
即底边上的高为 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了等腰三角形和勾股定理，解题的关键是熟知等腰三角形的性质和勾股定理．
6. 如图，数轴上 ， ， ， 四点中，与 对应的点距离最近的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】估算出无理数 的大小，进而可以求解．
【详解】解： ，
，
，
，
点 距离此点最近．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值．
7. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解： 、 ，故不符合题意；
、
，故不符合题意；
、 ，故符合题意；
、
，故不符合题意；
故选： ．
【点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟悉分式的加减乘除运算法则．
8. 如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两
根棒在 点相连并可绕 点转动． 点固定， ，点 ， 可在槽中滑动．如图2，若
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学科网（北京）股份有限公司，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等边对等角即可得出 ．再结合三角形外角性质即可求
出 ，从而可求出 的大小．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 要使式子 有意义，则 可取的一个数是 __．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴ 可取2．
故答案为：2（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
10. 下面是大山同学计算 的过程：
（1）运算步骤 为通分，其依据是 __；
（2）运算结果的分子 应是代数式 __．
【答案】 ①. 分式的基本性质 ②.
【解析】
【分析】根据分式的基本性质填写和计算．
【详解】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）通过运算得，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟悉分式的基本性质．
11. 如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______．
【答案】 ， 或 ，
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：①当 时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有： ；
②当 时底角时，则有：顶角 ；
为
故答案 ： ， 或 ， ．
【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．
12. 若 ，则 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到 ，再计算代数式即可.
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
．
故答案为：2．
【点睛】此题考查代数式的代入求值，正确掌握绝对值的非负性及算术平方根的非负性是解题的关键.
13. 依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．
①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；
④小明打开电视，正在播放广告；
必然事件 __；不可能事件 __；随机事件 __．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. ① ②. ③ ③. ②④##④②
【解析】
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的
事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；
④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；
则必然事件 是①；可能是近是③；随机事件是②④，
故答案为：①；③；②④．
【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然
事件和不可能事件．
14. 下面是代号分别为 ， ， ， 的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．
（1）用力转动转盘 __（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的
可能性相等；
（2）用力转动转盘 __（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是 ．
【答案】 ①. A ②. C
【解析】
【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色
区域的面积；（2）指针落在阴影区域的可能性 转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．
【详解】解：（1）用力转动转盘 ，当转盘停止后，指针落在阴影区域 的可能性与落在白色区域的可能
性相等．
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学科网（北京）股份有限公司（2） ．
故用力转动转盘 ，当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是 ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了几何概率，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是熟练掌握
几何概率公式．
15. 如图，在 中， ， ，点 为 延长线上一点，点 为 边上一点，若
，则 的度数为 __．
【答案】 ##65度
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
是 的外角，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。
16. 如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ， 于 ，若 ，
，则 的长为 __．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先由角平分线的性质得到 ，再证明 ，得到 长，再根据勾股定
理解出 ，设 ，则 ，由勾股定理得求出 长．
【详解】解： ， ， 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
解得 ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各种性质定理是解题
的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决
问题的关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先把括号内的式子通分，在运用分式乘除法法则进行解题即可．
【详解】解：原式
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
19. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】两边乘 转化为整式方程即可，注意必须检验．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式
方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】直接把 代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了求代数式的值，准确将 代入原式并正确约分计算是解题的关键．
21. 已知： ．
求作：点 ，使得点 在 上，且 ．
作法：
①分别以 ， 为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧分别交于 ， ；
②作直线 ，与 交于 点．
点 为所求作 点的．
根据上述作图过程
（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ．
， ，
， 在线段 的垂直平分线上．即 是线段 的垂直平分线．
点 在直线 上，
（填写推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2） ，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意进行作图即可；
（2）先根据作图方法可知 ， ，则点 在直线 上，再根据线段垂直平分线的性
质即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图，点 即为所求；
【小问2详解】
证明：连接 ， ， ， ．
， ，
， 在线段 的垂直平分线上．即 是线段 的垂直平分线．
点 在直线 上，
（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．
故答案为： ，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点距离相等是解题的关键．
22. 已知：如图，点 是线段 上一点， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由平行线的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是解本题的关键．
23. 如图，将线段 放在单位长为1的小正方形网格内，点 ， 均落在格点上．
（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）
①请在线段 上画出点 ，使得 的和最小；
②请在线段 上画出点 ，使得 的和最小；
（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．
① 的和最小的依据是 ；
② （直接写出答案）．
【答案】（1）见解析 （2）①两点之间，线段最短；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；
的
①作点B关于CD 对称点B'，连接AB'，交CD于点P，使得 的和最小，点P就是所求的点；
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学科网（北京）股份有限公司②作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点Q，使得 的和最小，点Q就是所求的点；
（2）①根据两点之间线段最短解答即可；
②根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）①根据轴对称的性质可知： 的和最小的依据是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短；
②根据轴对称的性质可知： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质-最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理
等知识是解题的关键．
24. 学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每
个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、
每个排球的价格．
【答案】每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．
【解析】
【分析】设每个篮球的价格为 元，则每个排球的价格为 元，根据学校用2000元购买篮球的个数
与用1800元购买排球的个数相等，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每个篮球的价格为 元，则每个排球的价格为 元，
由题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程．
25. 若关于 的分式方程 的解为正数，求正整数 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得 ，再由原方程的解为正数，求出 的取
值范围，即可求解．
【详解】解：原方程可化为： ，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴ 的取值范围为 且 ，
正整数 的值为1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为 0的
情况．
26. 已知：如图， ， ， 三点在同一直线上， 和 为等腰直角三角形，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ， ；
（2）已知 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 和 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 可 证 ， 再 证 明
，即可得 ，由此即可求证；
（2） ，可知 ，设 ，则 ， ， ，在
中，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 和 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，如图所示，设 与 交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，设 ，则 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，解得 ， （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理
求直角三角形的边长是解题的关键．
27. 将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
（1） ；
（2）计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据规律可以直接得到答案；
（2）先将分母进行因式分解，再将分式表示成两个分式的差，即可得到答案．
【小问1详解】
解： ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查因式分解和分式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式的运算法则．
28. 如图，在 中， ， ，点 关于 边的对称点为 ，连接 ，过点
作 且 ，连接 、
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学科网（北京）股份有限公司（1）依题意补全图形；
（2）判断 和 的数量关系并证明；
（3）平面内有一点 ，使得 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2） ．证明见解析
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）结论： ，证明四边形 是平行四边形，推出 ，可得结论；
（ 3 ） 分 两 种 情 形 ： 如 图 2 中 ， 当 是 钝 角 ． 证 明 ， 推 出
， 即 可 解 决 问 题 ， 如 图 3 中 ， 当 是 锐 角 时 ， 同 法 可 得
解决问题．
【小问1详解】
解：图形如图1所示：
【小问2详解】
解：结论： ．
理由： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司四边形 是平行四边形，
，
，
；
【小问3详解】
如图2中，当 是钝角．
， ，
，
， ，
，
，
， ， ， 关于 对称，
， ，
，
，
，
，
，
．
如图3中，当 是锐角时，同法可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判
定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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学科网（北京）股份有限公司第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
