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北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷九年级数学
满分100分，考试时间120分钟．
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( )
.
A 3 B. 2 C. －2 D. －3
的
2. 中国传统扇文化有着深厚 文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状
的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
3. 下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C. 平面内不共线的三点确定一个圆
D. 任意画一个三角形，其内角和是
的
4. 如图，在 中，弦 ， 相交于点 ， ， ，则 大小是（ ）
A. 35° B. 45° C. 60° D. 70°
5. 抛物线 通过变换可以得到抛物线 ，以下变换过程正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀
请 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在等腰 中， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，当
点 的对应点 落在 上时，连接 ，则 的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 75°
8. 下表记录了二次函数 中两个变量 与 的5组对应值，其中 ．
… 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围是（
）
.
A. B. C. D.
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____．
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为8，则点 在 ______（填“内”“上”或“外”）．
11. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为__________．
12. 圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．
13. 点 是抛物线 上一点，则 的值是______，点 关于原点对称的点的坐标是______．
14. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当 时， 随 的增大而增大，请你写出一个满足上
述条件的二次函数的解析式：______．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，1为半径画圆，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，使得 与 轴相切，则 的度数是____．
16. 如图， 是 的直径， 为 上一点，且 ， 为圆上一动点， 为 的中点，连
接 ，若 的半径为2，则 长的最大值是_____．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，
每题6分，第27-28题，每题7分）
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学科网（北京）股份有限公司17. 解方程：x2﹣4x+2＝0．
18. 已知：点 ， ， 在 上，且 ．
求作：直线 ，使其过点 ，并与 相切．
作法：①连接 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 外一点 ；
③作直线 ．
直线 就是所求作直线 ．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∵点 ， ， 在 上，且 ，
∴ ______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∵ 为 半径，
∴直线 为 的切线（_________________）（填推理的依据）．
19. 已知二次函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）将 化成 的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当 时，结合图象，直接写出函数值 的取值范围．
20. 如图， 是 的一条弦，点 是 的中点，连接 并延长交劣弧 于点 ，连接 ， ，
若 ， ，求 的面积．
21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有
白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出
1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸
球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
______，其中红球的个数是______；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是
白球的概率．
22. 如图，在四边形 中， ， 是对角线，将点B绕点C逆时针旋转 得到点E，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
的
（1）求 度数；
（2）若 是等边三角形，且 ， ， ，求 的长．
23. 已知关于 的方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
的
（2）设此方程 两个根分别为 ， ，且 ，若 ，求 的值．
24. 如图，在 中， ， ，点 是 上一点，以 为圆心， 长为半径作
圆，使 与 相切于点 ，与 相交于点 ．过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）若 ，求 的半径；
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点 处起跳经空中飞行后落在
着陆坡 上的点 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里 表示起跳点 到地面
的距离， 表示着陆坡 的高度， 表示着陆坡底端 到点 的水平距离，建立如图所示的平面
直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满
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学科网（北京）股份有限公司足函数关系： ，已知 ， ，落点 的水平距离是40m，竖直高度
是30m．
（1）点 的坐标是_____，点 的坐标是_______；
（2）求满足的函数关系 ；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平
距离．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）点 ， ， 在抛物线上，若 ，判断 ， 与 的大小关系，并说明理由．
27. 如图，在 中， ， ， ，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋
转90°得到线段 ，连接 ．
（1）依题意，补全图形，并证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的度数；
（3）若 为线段 的中点，连接 ，请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
28. 给定图形 和点 ， ，若图形 上存在两个不重合的点 ， ，使得点 关于点 的对称点与
点 关于点 的对称点重合，则称点 与点 关于图形 双对合.在平面直角坐标系 中，已知点
， ， ．
（1）在点 ， ， 中，与点 关于线段 双对合的点是______；
（2）点 是 轴上一动点， 的直径为1．
①若点 与点 关于 双对合，求 的取值范围；
②当点 运动时，若 上存在一点与 上任意一点关于 双对合，直接写出点 的横坐标 的
取值范围．
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