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2021-2022学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1．（2分）飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传
播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞
沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持 1 米以上社交距离．将
0.000005用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5×10﹣5 B．0.5×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．（3a）3＝9a3 D．a6÷a2＝a3
5．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2+a） B．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．a2﹣10a+25＝a（a﹣10）+25
6．（2分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．（2分）下列三个说法：
①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；
②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；
③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．
其中正确的个数有（ ）
第1页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司A．3 B．2 C．1 D．0
8．（2分）将一个长为2m，宽为2n（m＞n＞0）的长方形纸片，用剪刀沿图1中虚线剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图 2的方式拼成一个边长为
（m+n）的正方形，则图2中空白部分的小正方形面积是（ ）
A．2mn B．（m+n）2 C．m2﹣n2 D．（m﹣n）2
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：4x2﹣y2＝ ．
11．（2分）若x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为 ．
12．（2分）若a﹣3b＝0，且a≠0，则分式中 的值为 ．
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分
线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 ．
14．（2分）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个
零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程为 ．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，
则BC＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB交BC的延长线于点E，若AD＝
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学科网（北京）股份有限公司DE，点C是BE中点，则∠B＝ °．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28
题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣（ ﹣3）0+ +（ ）﹣1．
18．（5分）计算：a3•a+（﹣3a3）π 2÷a2．
19．（5分）已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x﹣1）2+（x﹣1）（2x+1）的值．
20．（5分）化简： ÷ • ．
21．（5分）解方程： ﹣ ＝ ．
22．（5分）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB
与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE＝∠BAD；
（2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数．
23．（6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作
图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
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学科网（北京）股份有限公司求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线BM，并在射线BM上截取BC＝a；
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；
④连接AB和AC．
则△ABC为所求作的等腰三角形．
（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB＝AC（ ）（填推理的依据）．
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，
∴BD＝CD．
∴AD为BC边上的中线．
24．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求证：∠ACE＝∠B+∠ECD．
25．（6分）如图，△ABC为等边三角形，D是BC中点，∠ADE＝60°，CE是△ABC的外
角∠ACF的平分线．
求证：AD＝DE．
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学科网（北京）股份有限公司26．（6分）观察下列各式：
（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；
（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8；
（3a﹣2）（9a2+6a+4）＝27a3﹣8．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）＝ ；
②（2x+1）（ ）＝8x3+1；
③（ ）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（2）应用规律计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是直线AC上一动点，连接BD并
延长至点E，使ED＝BD．过点E作EF⊥AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的
数量关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD＝
AF+EF．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量
关系是 ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形G 上各点的
1
最短距离为d ，点P到图形G 上各点的最短距离为d ，若d ＝d ，就称点P是图形G
1 2 2 1 2 1
和图形G 的一个“等距点”．
2
已知点A（6，0），B（0，6）．
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学科网（北京）股份有限公司（1）在点D（﹣6，0），E（3，0），F（0，3）中， 是点A和点O的“等距
点”；
（2）在点G（﹣2，﹣1），H（2，2），I（3，6）中， 是线段OA和OB的
“等距点”；
（3）点C（m，0）为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和
OB的“等距点”．
①当m＝8时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如
果不存在请说明理由；
②若点P在△OAB内，请直接写出满足条件的m的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司2021-2022学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1．（2分）飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传
播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞
沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持 1 米以上社交距离．将
0.000005用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5×10﹣5 B．0.5×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000005＝5×10﹣6．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
3．（2分）在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：在代数式 ， ， +x， ， 中，是分式的有： ， ，
共有2个，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．（3a）3＝9a3 D．a6÷a2＝a3
【分析】直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
B．（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
C．（3a）3＝27a3，故此选项不合题意；
D．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
5．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2+a） B．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．a2﹣10a+25＝a（a﹣10）+25
【分析】根据提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可．
【解答】解：A.2a2﹣4a＝2a（a+1），故A不符合题意；
B．﹣a2+4＝（2+a）（2﹣a），故B不符合题意；
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C符合题意；
D．a2﹣10a+25＝（a﹣5）2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含
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学科网（北京）股份有限公司有公因式，必须先提公因式．
6．（2分）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算
即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
7．（2分）下列三个说法：
①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；
②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；
③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．
其中正确的个数有（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分
析即可．
【解答】解：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形不一定全等，原说法错
误，不符合题意；
②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，原说法正确，符合题意；
③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三
角形的几种判定方法，难度不大．本题是一道比较容易出错的题目．
8．（2分）将一个长为2m，宽为2n（m＞n＞0）的长方形纸片，用剪刀沿图1中虚线剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图 2的方式拼成一个边长为
（m+n）的正方形，则图2中空白部分的小正方形面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2mn B．（m+n）2 C．m2﹣n2 D．（m﹣n）2
【分析】根据题意得：图2正方形的面积减去图1大长方形的面积即可求出所求．
【解答】解：根据题意得：
（m+n）2﹣2m•2n
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公
式是解本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式 有意义，则x的取值范围是 x ≠ 3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分
母等于0．
10．（2分）分解因式：4x2﹣y2＝ （ 2 x + y ）（ 2 x ﹣ y ） ．
【分析】没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．
11．（2分）若x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为 ± 4 ．
【分析】根据完全平方式得出kxy＝±2x•2y，求出即可．
【解答】解：∵x2+kxy+4y2是一个完全平方式，
第10页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司∴kxy＝±2x•2y，
∴k＝±4，
故答案为：±4．
【点评】本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有 a2+2ab+b2和a2﹣
2ab+b2两个．
12．（2分）若a﹣3b＝0，且a≠0，则分式中 的值为 2 ．
【分析】根据已知可得a＝3b，然后再代入要求的分式中即可解答．
【解答】解：∵a﹣3b＝0，
∴a＝3b，
∴
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的值，根据已知可得a＝3b，然后再代入要求的分式中进行计
算是解题的关键．
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分
线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 4 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，
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学科网（北京）股份有限公司∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝2×2＝4，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PB+PC＝BC，最小，
此时点P与点F重合．
所以PA+PB的最小值即为BC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线
的性质．
14．（2分）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个
零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程为 ＝ ．
【分析】根据两人每天共做140个零件可得出乙每天做（140﹣x）个零件，利用工作时
间＝工作总量÷工作效率，结合甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，即
可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵两人每天共做140个零件，甲每天做x个零件，
∴乙每天做（140﹣x）个零件．
依题意得： ＝ ．
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是
解题的关键．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，
则BC＝ 9 ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三
角形的性质求出CD，根据等腰三角形的性质求出BD，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝6，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB交BC的延长线于点E，若AD＝
DE，点C是BE中点，则∠B＝ 67. 5 °．
【分析】连接AE，根据已知条件得到△ADE是等腰直角三角形，求得∠DAE＝45°，根
据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
∵DE⊥AB，AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∵点C是BE中点，
∴BC＝CE，
∴AC垂直平分BE，
第13页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司∴AB＝AE，
∴∠BAC＝ BAE＝22.5°，
∴∠B＝67.5°，
故答案为：67.5．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是
解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28
题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣（ ﹣3）0+ +（ ）﹣1．
【分析】先化简各数，然后再进π行计算即可．
【解答】解：（﹣3）2﹣（ ﹣3）0+ +（ ）﹣1．
＝9﹣1+2+2 π
＝8+4
＝12．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各数是解
题的关键．
18．（5分）计算：a3•a+（﹣3a3）2÷a2．
【分析】根据整式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝a4+9a6÷a4．
＝a4+9a4
＝10a4．
【点评】本题考查整式加减运算与乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法
则与乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（5分）已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x﹣1）2+（x﹣1）（2x+1）的值．
第14页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，进而将已知变形代入得
出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+2x2+x﹣2x﹣1
＝3x2﹣3x，
∵x2﹣x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝3，
∴原式＝3（x2﹣1）
＝3×3
＝9．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确掌握相关运算法则是解题
关键．
20．（5分）化简： ÷ • ．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ • • ＝（a﹣1）• ＝a+1．
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出公因
式．
21．（5分）解方程： ﹣ ＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣3﹣（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．（5分）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB
与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE＝∠BAD；
第15页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司（2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出
∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°，求出∠BED
＝∠BAD即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B，
∵∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°，
∴∠BED＝∠BAD，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BED＝35°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质
是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
23．（6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作
图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC边上的中线为b．
第16页（共25页）
学科网（北京）股份有限公司作法：如图2，
①作射线BM，并在射线BM上截取BC＝a；
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；
④连接AB和AC．
则△ABC为所求作的等腰三角形．
（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB＝AC（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离线段 ）（填推理的
依据）．
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，
∴BD＝CD．
∴AD为BC边上的中线．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）由作图可知BC＝a，AD＝b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB＝AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离线段），
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，
∴BD＝CD．
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学科网（北京）股份有限公司∴AD为BC边上的中线．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离线段．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知
识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求证：∠ACE＝∠B+∠ECD．
【分析】延长 CE 交 AB 于 F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据 ASA 证
△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝
∠B+∠ECD，代入求出即可．
【解答】证明：延长CE交AB于F，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△FAE和△CAE中
∵ ，
∴△FAE≌△CAE（ASA），
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACE＝∠B+∠ECD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作
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学科网（北京）股份有限公司辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．
25．（6分）如图，△ABC为等边三角形，D是BC中点，∠ADE＝60°，CE是△ABC的外
角∠ACF的平分线．
求证：AD＝DE．
【分析】在AB上取中点M，连接MD，证明△AMD≌△DCE，根据全等三角形的性质
证明结论．
【解答】证明：如图，在AB上取中点M，连接MD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，∠ACB＝60°，BA＝BC，
∴△BMD是等边三角形，
∴∠BMD＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA＝60°，
∴∠DCE＝120°，
∴∠AMD＝∠DCE，
∵∠ADE＝∠B＝60°，∠ADC＝∠CDE+∠ADE＝∠BAD+∠B，
∴∠CDE＝∠BAD．
∵BA﹣BM＝BC﹣BD，
∴MA＝CD，
在△AMD和△DCE中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴△AMD≌△DCE（ASA），
∴AD＝DE．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形的外角性
质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（6分）观察下列各式：
（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；
（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8；
（3a﹣2）（9a2+6a+4）＝27a3﹣8．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）＝ x 3 ﹣ 2 7 ；
②（2x+1）（ 4 x 2 ﹣ 2 x + 1 ）＝8x3+1；
③（ x ﹣ y ）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（2）应用规律计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）先将a2﹣b2分解为（a+b）（a﹣b），再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，
最后再根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）＝x3﹣27；
②（2x+1）（4x2﹣2x+1）＝8x3+1；
③（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；
（2）（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）
＝[（a+b）（a2﹣ab+b2）][（a﹣b）（a2+ab+b2）]
＝（a3+b3）（a3﹣b3）
＝a6﹣b6．
【点评】本题考查了平方差公式，立方差和立方和公式，能根据求出的算式得出规律是
解此题的关键．
27．（7分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是直线AC上一动点，连接BD并
延长至点E，使ED＝BD．过点E作EF⊥AC于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的
数量关系是 DF ＝ DC ．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD＝
AF+EF．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量
关系是 AF ＝ 2 AD + EF ．
【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，结合BD＝ED、∠EDF＝
∠BDC得证△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；
（2）同（1）理得证△BDC≌△EDF，然后得到CD＝FD、BC＝EF，然后由AC＝BC
得到2AD＝AF+EF；
（3）同（1）理得证△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再结合AC＝BC
得到AF、AD、EF的数量关系．
【解答】解：（1）∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠BCD＝90°，
∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，
∴△EDF≌△BDC（AAS），
∴DF＝DC．
（2）图形补充如图（1），证明如下，
同（1）理得，△BDC≌△EDF，
∴BC＝EF，DC＝DF，
∵AD＝AC+CD，AC＝BC，
∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．
（3）根据题意作出图形如图（2），
由（1）得，△BDC≌△EDF，
∴DF＝DC，EF＝BC，
∵DC＝AD+CD，
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学科网（北京）股份有限公司∴DF＝AD+AC＝AD+EF，
∴AF＝DF+AD＝2AD+EF，
故答案为：AF＝2AD+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是
熟知8字型全等三角形模型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形G 上各点的
1
最短距离为d ，点P到图形G 上各点的最短距离为d ，若d ＝d ，就称点P是图形G
1 2 2 1 2 1
和图形G 的一个“等距点”．
2
已知点A（6，0），B（0，6）．
（1）在点D（﹣6，0），E（3，0），F（0，3）中， 点 E 是点A和点O的“等距
点”；
（2）在点G（﹣2，﹣1），H（2，2），I（3，6）中， 点 G （﹣ 2 ，﹣ 1 ）；点 H
（ 2 ， 2 ） 是线段OA和OB的“等距点”；
（3）点C（m，0）为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和
OB的“等距点”．
①当m＝8时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如
果不存在请说明理由；
②若点P在△OAB内，请直接写出满足条件的m的取值范围．
【分析】（1）根据•等距点”的定义，即可求解；
（2）根据等距点”的定义，即可求解；
（3）①根据点P是线段0A和0B的“等距点”，可设点P的坐标为（x，x）且x＞0，
再由点P是点A和点C的等距点”，可得AP＝CP，从而得到（x﹣8）²+x2＝（x﹣6）
²+x，即可求解；
②根据点P是线段OA和OB的“等距点”，点P在∠AOB的角平分线上，可设点P的
坐标为（a，a）且a＞0，根据OA＝OB，可得OP平分线 AB，再由点P在△OAB内，
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学科网（北京）股份有限公司可得0＜a＜3，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得AP＝CP，得点P在AC的垂
直平分线上，再分析a＝0和3时，m的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，6）、D（﹣6，0），E（3，0），F（0，
3），
∴AD﹣6﹣（﹣6）﹣12，AE＝6﹣3＝3，AF＝ ＝3 ，OD＝6，
OE＝3，OF＝3，
∴AE＝OE，
∴点E（3，0）是点A和点O的“等距点”，
故答案为：点E；
（2）根据题意得：线段在x轴上，线段OB在y轴上，
∴点G（﹣2，﹣1）到线段OA的距离为 ，到线段OB的距离为 ，
点H（2，2）到线段OA的距离为2，到线段OB的距离为2，
点I（3，6）到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3，
∴点H（2，2）到线段OA的距离和到线段OB的距离相等，
点H（2，2）是线段OA和OB的“等距点”，
故答案为：点G（﹣2，﹣1）；点H（2，2）；
（3）存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：
∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在轴上，线段OB在轴上，
设点p（x，x）且x＞0，点P是点A和点C的“等距点“，且点C（8，0），A（6，
0），
∴（x﹣8）2+x＝（x﹣6）2+2，
解得：x＝7，
∴点P的坐标为（7，7）；
②如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵点P是线段OA，OB的“等距点”且线段OA在轴x上，线段OB在y轴上，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
设点P（a，a）且a＞0，A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，OP平分线段AB，
又∵点P在△OAB内，
当点P位于AB上时，此时点P为AB的中点，
此时点P的坐标为（ ， ），即（3，3），
∴0＜a＜3，
∵点P是点A和点C的“等距点”，
∴AP2＝CP2，
∵点C（m，0），A（6，0），
∴（a﹣m）2+a2＝（a﹣6）2+a2，
整理得：2（m﹣6）a＝（m+6）（m﹣6），
当m＝6时，点C（6，0），
此时点C、A重合，
则a＝6（不合题意，舍去），
当m≠6时，a＝ ，
∴0＜ ＜3，
解得：﹣6＜m＜0，
即若点P在△OAB内，满足条件的m的取值范围为﹣6＜m＜0．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三
角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关
键．
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