文档内容
北京市西城区 2022−2023 学年度第一学期期末试卷
八年级数学
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察
（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相
重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握此定义是解题关键．
2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（ ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行
“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nm m．将 用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： .
故选B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则法则逐一判断即可得．
【详解】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项正确；
D、 ，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则．
4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
.
A 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，据此逐一判断即可找到
正确选项．
【详解】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意；
B、5，5，10因为 ，不满足三角形三边关系，不符合题意；
C、5，6，12因为 ，不满足三角形三边关系，不符合题意；
D、3，4，7因为 不满足三角形三边关系，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握“任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是
解题的关键．
5. 如图， ， ， ．有下列结论：
①把 沿直线 翻折180°，可得到 ；
②把 沿线段 的垂直平分线翻折180°，可得到 ；
③把 沿射线DC方向平移与 相等的长度，可得到 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，进而根据对称或平移确定结论是否正确．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 、 和 中．
，
∴ （SAS）
把 沿直线 翻折180°，可得到 ，故①正确；
把 沿线段 的垂直平分线翻折180°，可得到 ，故②正确；把 沿射线DC方向平移与 相等的长度，不能得到 ．故③错误，
综上所述：正确的结论是①②．
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换，培养良好的空间想象能力是解题关键．
6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案．
【详解】解： ，故A选项变形错误，不合题意；
的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B选项变形错误，不合题意；
，故C选项变形错误，不合题意；
，故D选项变形正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
7. 图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，
x的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形内角和得出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形内角和定理及一元一次方程的解法，熟练掌握多边形内角和定理是解题关键．
8. 如图，在 中， ， 的度数为α．点P在边 上（点P不与点B，点C重合），
作 于点D，连接 ，取 上一点E，使得 ，连接 ， 并延长 交 于点
F之后，有 ．若记 的度数为x，则下列关于 的表达式正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质求出 ，由三角形外角的性质可求 ，由平角的定义即可
求出 ．
【详解】∵∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算：（1） =_______；（2） _______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1） 是由 在 ， 时转化而来的，也就是说当同底数幂相除
时，若被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．
（2） ，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【详解】（1）（2）
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算法则， 掌握运算法则是解题关键．
10. 若分式 有意义，则字母x满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
11. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提公因式 ，然后利用平方差公式分解即可；
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意
分解要彻底．
12. 在平面直角坐标系 中， 关于x轴对称的点的坐标为______．
【答案】【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，即横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．
【详解】解： 在平面直角坐标系 中， ，
关于x轴对称的点的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于x轴对称的点的坐标特点是解决
本题的关键
13. 如图，在四边形 中， ， 平分 ， ．
（1）画出 的高 ；
（2） 的面积等于______．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解析】
【分析】（1）根据三角形高线的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质得出 ，再由三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，高 即为所求；
【小问2详解】
∵ 平分 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查三角形高线的作法，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运
用各个知识点是解题关键．
14. 小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线
路的一部分）运行时相应所用的时间 比 约少 ，那么可列出关于v的方程为______．
区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间
区间段
北京城市副中心站
47.8 t
−香河站 1
香河站−唐山西站 87 v t
2
【答案】
【解析】
【分析】根据速度、时间、路程之间的关系及 比 约少 ，即可列出关于v的方程．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．
15. 三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片
用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用
含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可．
【详解】根据图1，得图形的面积为 ；
根据图2，得图形的面积为 ；
∵图形的面积相等，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键．
16. 如图，在 中， ， 于点D， 于点C，．点E，点F分别在线段 上， ，连接 ．
（1）图中与 相等的线段是_______；
（2）当 取最小值时 ________°
【答案】 ①. ## ②. 95
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理得出 ，再由全等三角形的
判定和性质即可得出结果；
（2）根据两点之间线段最短得出当 和 共线时，和最小，如下图，此时 与 交于点 ，利
用等边对等角及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
∵ 于点D， 于点C，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴当 和 共线时，和最小，如下图，此时 与 交于点 ，
∵
∴ ，
∴
故答案为：95．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等边对等角，熟练掌握全等三角形
的判定和性质是解题关键．
三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19−21题，每题8分，第22题9分，
第23题10分，第24题9分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ；（3）
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）依据单项式的乘法法则进行计算；
（2）依据多项式的乘法法则进行计算；
（3）依据多项式的除法法则进行计算．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
【小问3详解】
【点睛】本题考查了整式 的乘除；熟练应用乘除法法则是解题的关键．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】先将分式进行化简，然后代入求解即可．【详解】解：
．
当 时，
原式
．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程，解整式方程，检验，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．20. 如图，A，D两点在 所在直线同侧， ，垂足分别为A，D． 的交点
为E， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂直的定义得出 ，再由全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】证明：∵ ，垂足分别为A，D，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， ．点B与点C关于直线l
对称，直线l与 的交点分别为点D，E．（1）求点A到 的距离；
（2）连接 ，补全图形并求 的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上， ，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）5 （2） ，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作 于点F，得到 ，进而根据点到直线的距离和点A，B，C的坐标
求解即可；
（2）根据题意补全图形，首先求出 是等腰直角三角形，然后由题意可知，直线l是线段 的垂
直平分线， 于点D， ，得到 为等腰直角三角形，进而求出
，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）由（2）可得， ，可得到点P和点E重合，然后根据点D的坐标和 的长度求解即可．
【小问1详解】
作 于点F，则 ．
由 ，可得 ．
∴点A到 的距离为5．
【小问2详解】
补全图形如下：
由 ，
可得 ．
∴ ．
∴ ．
∴在 中，
．
由题意可知，直线l是线段 的垂直平分线， 于点D， ．
∴ ．
∴ ．
∴ 为等腰直角三角形， ．∴ ．
∴
∴ ．
【小问3详解】
由（2）可得， ，
∴点P和点E重合，
∵ ，
∴点E的坐标为 ，
∴点P的坐标为 ．
【点睛】此题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键
是掌握以上知识点．
22. （1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线 及直线 外一点P．求作：经过点P的直线
，使得 ．
分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示
意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；②在①中用到的判定 的依据是_______．
（2）已知：如图，在 中， ， ．
求作：凸四边形 ，使得 ，且 为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
【答案】(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析
【解析】
【分析】(1)①过点P任意作一条直线 ，交直线 于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角
的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；
(2)分别以点A、B、D为圆心， 长为半径画圆，再作线段 的垂直平分线，根据交点即可求得．
【详解】解：(1)①作法：
a、过点P任意作一条直线 ，交直线 于点G，
b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线 于点M，交直线 于点N，
c、以点P为圆心， 长为半径画弧交直线 于点K，
d、以点K为圆心， 长为半径画弧交上一弧于点Q，
e、过点P、Q作直线 ，
直线 即为所求作的直线
作图如下：②由①作法可知： ，
(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
(2)分别以点A、B、D为圆心， 长为半径画圆，再作线段 的垂直平分线，
由作法可知： ，
、 、 都是等腰三角形，
作图见图．
则凸四边形 、 、 为所求作的凸四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．
23. 在 中， ，在 上截取 ，连接 ．在 的外部作
，且 交 的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图 1 并猜想 ．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：_______°．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想 ．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明 ；
②延长 到F，使 ，连结 ．补全图形，猜想 与 的数量关系并加以证
明．
【答案】（1）①36；②不正确，理由见解析
（2）①见解析；② ，证明跟图形见解析
【解析】
【分析】（1）①增加 ，证明 ，即可证明结论成立；
②他证明时所使用的 中的三个条件“ ， ， ”不是“两角和它们的夹边”的
关系，不能使用“ ”来证明；
（2）①根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可解决问题；
②根据题意可补全图形；作 于点G，证明 ，可得到 ，然后利用
线段 的和与差以及等腰三角形的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解：①增加 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故增加 时， 成立，
故答案为：36；
②小明的证明不正确．他证明时所使用的 中的三个条件“ ， ， ”不是“两
角和它们的夹边”的关系，不能使用“ ”来证明；
【小问2详解】
①证明：如图．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．∴ ．
②补全图形见图．
．
证明：作 于点G，如图．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中， ，
∴ ．
∴ ．①
∵ ， 于点G，
∴ ．
∵ ，∴ ，即 ．
又∵ 于点G，
∴ ．
∴ ．②
由①②得 ，即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，解答本题
的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24. 在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边
形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边 面 内部格点 边上格点
形 积S 数N 数L
Ⅰ
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 11 11
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与 的数量关系可用等式表示为_______；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长 ，其中m，n为正整数．请以格点长方形
为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）通过网格求解面积即可；然后利用网格确定内部格点数及边上格点数即可；
（2）根据（1）中结果可得二者数量关系；
（3）根据长方形的特点得出格点长方形 内部的格点数 ，边上的格点数
，然后代入（2）中结果证明即可．
【小问1详解】
解：多边形Ⅰ的面积为： ，
多边形Ⅲ的面积分成一个三角形与一个梯形计算为： ，
补全表格如下：
面积 内部格点数 边上格点数
多边形
S N L
Ⅰ 6 3 8 7
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ 2 9
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 11 11
【小问2详解】解：根据（1）中结果可得二者数量关系表示为： ．
故答案为： ；
【小问3详解】
证明：格点长方形 内部的格点数 ，边上的格点数 ．
．
∵格点长方形 的面积 ，
∴格点长方形 的面积 ．
【点睛】题目主要考查图形规律探索及网格问题，理解题意，掌握长方形的特点及找出规律是解题关键．
四、选做题（共10分，每题5分）
25. 阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
②
③
④
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是_______；
（2）第n个等式是_______；
（3）请你证明第n个等式成立．
【答案】（1）（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知等式进行类比，即可得出答案；
（2）根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案；
（3）将 变形为 ， 变形为 ，再根据分式的运算法则进行计
算，即可证明．
【小问1详解】
解：根据已知等式可知第⑤个等式是 ，
故答案为： ；
【
小问2详解】
解：对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
证明：
．
所以 ．
即第n个等式成立．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式．26. 在平面直角坐标系 中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点
P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
（1）当 时，
①如果点 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为_______；
②如果点 是点 的k倍关联点，且满足 ， ，那么整数k的最大值为___；
（2）已知在 中， ， ， ， ．若 ，且在
的边上存在点 的2倍关联点Q，求b的取值范围．
【答案】（1）① 或 ②3
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据 的2倍关联点M在x轴上，利用关联的定义求解即可；②根据点 是点
的 倍关联点，且满足 ， ，列出不等式，即可求解；
（2）先说明点Q在以 为圆心，2为半径的圆上，以点C在x轴下方为例分析，即可得到b的取值
范围．
【小问1详解】
解：①∵点 的坐标为 ，
∴ 点 到原点的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 的 倍关联点M在x轴上，∴点M的横坐标为 或 ，
∴点M的坐标是 或 ，
故答案为： 或
②∵点 是点 的 倍关联点，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴整数 的最大值是3，
故答案为：
【小问2详解】
∵ ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∵点Q为点 的2倍关联点， ，
∴ ．即点Q在以 为圆心，2为半径的圆上，
当点C在x轴下方时，如图所示，
由图可知， 或 ，
当点C在x轴上方时，结论相同，
∴b的取值范围是 或 ．
【点睛】此题考查了点的坐标、无理数的估算、一元一次不等式组的解法、圆的基本知识，，读懂题意，
数形结合是解题的关键．
