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2022-2023 学年北京市西城区鲁迅中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 下列各式中最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案．
【详解】 ，不是最简二次根式
∴选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，不是最简二次根式
∴选项C错误；
，不是最简二次根式
∴选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质，从而完成求解．
2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. ， ， C. 4，6，9 D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、因为 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；C、因为 ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、因为 ，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，
则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
3. 下列各曲线中，不能表示 是x的函数的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果
不是，则不是函数．由此逐项判断即可．
【详解】解：A、B、D选项中，对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y
是x的函数；
C选项中，对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义．解题的关键是注意：函数中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其
对应．
4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A，B，D，根据二次根式乘法运算法则判断C．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、原式 ，故此选项符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法和乘法的运算法则是
解题关键．
5. 如图，在 ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
△
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
题的关键．
6. 平行四边形所具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 邻边互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角 D. 两组对边分别相等【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可
得出答案．
【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.
故选D.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
7. 如图，矩形 的对角线 ， 交于点O，若 ，那么 度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用矩形的性质证明 ，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边对等角，三角形得的外角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
8. 如图，在 中， 平分 ， ， ，则 的周长是（ ）A. 14 B. 20 C. 24 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的定义得出 ，进而得出 ，
进而求得 ，所以利用平行四边形的周长公式求出答案即可．
【详解】解：在 中，
∴ ， ，
则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的周长是： ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，得出 是解
题关键．
9. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角
和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ （180°−150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；
熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10. 点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为
x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图像如图所示，则该四边形可能
是（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图像的对称趋势问题可解．
【详解】解：记各个选项中四边形逆时针均记为ABCD，
A选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，不关于转折点对称；从C→D，从D→A，y先减小，再增
大；且两部分走势相同，不符合题意；
B选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，且每部分关于最低点对称；从
C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，符合题意；
C选项中，从A→B，B→C，y先减小，再增大，关于转折点B对称，但每部分不关于最低点对称；从C→D，从D→A，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；
D选项中，每个转折点前后图像一致，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题动点问题的函数图像，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，考查学生对动点运动过程
中所产生函数图像的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图像变化．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。
11. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使 在实数范围内有意义，必须 ，
∴ ．
故答案为：
12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___．
【答案】y=x（答案不唯一）
【解析】
【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0．
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
13. 如图，在菱形 中， ，则 的度数是_____．【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合平行线的性质可求得答案
【详解】解：∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．
14. 如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（4，0），点C为AB的中点，则线段OC的长为
______．
【答案】 ##2.5
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB的长后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵点C为AB的中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，牢记勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半是解题关键．
15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的
中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可以证明四边形EFCH是平行四边形，再根据矩形的判定定理：有一个角
等于 的平行四边形为矩形，添加条件即可．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ ， ，且 ， ，
∴HG=EF，且HG∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
当 时，则四边形EFCH是矩形．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定定理，平行四边形的判定定理，解题的关键是掌握三角
形中位线定理，矩形的判定定理．16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶
点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】分两种情况：①当 为平行四边形的边时，②当 为平行四边形的对角线时，讨论可得点C
的坐标．
【详解】解：①当 为平行四边形的边时， ，
∵ ， ， ，
∴点C坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
17. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ，
，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这
个风车的外围周长是___．
【答案】76
【解析】
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【详解】如图，根据题意，AD=AC=6， ， ，
，
，即 ，
，
，
这个风车的外围周长是 ，
故答案为76．
【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点
D、E在直线 上，且点O、B分别是DE、AD的中点，点M、N分别是BC、OA上的动点，且
MN⊥OA，若OA=6，则DM+MN+NE的最小值为___________【答案】
【解析】
【分析】作 且 ，连接 与 的交点为 ，
此时 的值最小，此时四边形 是平行四边形，
根据两点之间线段最短求得 ．
【详解】作 且 ，连接 与 的交点为 ，
此时 的值最小，，
的横坐标为 ，
把 代入 求得 ，
，
，
分别是 的中点，
，
，
，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的特征，解析的性质，轴对称最短路线问题，理解两点之间线段
最短是解题的关键．
三、解答题：本大题共10小题，共64分。
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可．
【小问1详解】解：
．
【小问2详解】
＝11．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关
键．
20. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到
AE=CF．
【详解】证：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF. （其他证法也可）
21. 老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米，
米， 米， 米，且 ．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
【答案】 平方米【解析】
【分析】连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这
块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
米， 米，
米，
米， 米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积 （平方米）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
体会数形结合的思想的应用．
22. 如图，在矩形ABCD中，将 沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．
（1）求证： ；（2）若 ，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得 ， ，利用“AAS”证明三角形全等，
即可求解；
（2）根据（1）的全等三角形的性质得到 ，进而推出 ，然后根据勾股定理求．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ．
∵将 沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F，
∴ ， ，
∴ ， ．
在 和 中
，
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）得 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 中， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求得
是解答关键．
23. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在 中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝______．
又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边
形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是
平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．
【小问1详解】
解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，
【小问2详解】
CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考
点，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图，四边形ABCD中， ，过点D作 交AB于点E，
交BC于点F．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若 ，求四边形EBFD的面积．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再证 ，即可证四边形 为菱形；
（2）利用勾股定理求高，再求出面积．
【小问1详解】
证明：连接 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
，
，
平行四边形 是菱形．
【小问2详解】
解： 平行四边形 是菱形，
，
， ，
，
四边形 的面积为： ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定及角平分线的判定，解题的关键是掌握菱形的
判定与性质．25. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 中， ，分别交 、 于D、E，且 ，
， ，试求 的值．
小明发现，过点E作 ，交 的延长线于点F，构造 ，经过推理得到 ，再计算
就能够使问题得到解决（如图②）．
（1）请你帮小明回答： 的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知 和矩形 ， 与 交于点G， ，求 的度数．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ， ，可证得四边形 是平行四边形，即可得 ，
，即可得 ，然后利用勾股定理，求得 的值；
（2）首先连接 ， ，由四边形 是平行四边形，四边形 是矩形，易证得四边形
是平行四边形，继而证得 是等边三角形，则可求得答案．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解决问题：连接 ， ，如图．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
是
∴ 等边三角形．
∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注
意掌握辅助线的作法．
26. 在 中， 三边的长分别为 ，求这个三角形的面积．小宝同学在解答
这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 （即
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面
积．
（1）请你将 的面积直接填写在横线上________；
思维拓展：
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 ，
请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积填写在横线上
_____；
探索创新：
（3）若 中有两边的长分别为 ，且 的面积为 ，试运用构图法在图3的
正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的 （全等的三角形视为同一种情况），
并求出它的第三条边长填写在横线上_______．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ，画图见解析
【解析】
【分析】（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为 、 、 的首尾相接的三条线段，再利用
割补法求解可得；
（3）在网格中构建长为 和 的两边，然后根据三角形面积，构建出第三条边求解即可．
【详解】解：（1） 的面积为 ，
故答案为： ；
（2）如图， ， ， ，
由图可得： ；
故答案为： ；
（3）如图所示， ， ，
此时 ；如图所示： ， ，
此时 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟
练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
27. 如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点 关于直 的对称点是点
，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．（1）在图1中补全图形， ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析，
（2） ，证明见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质，正方形的性质即可求解；
（2）先证明 得到 ，再由三角形外角的性质结合（1）的结论即可得到结
论；
（3）如图，过点A作 ，与射线 交于点Q，证明 为等腰直角三角形，得到
， ．再证明 ，再由全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；
∵点D、F关于 对称，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
由（1）可知 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图，过点A作 ，与射线 交于点Q．
∵ ，
∴ ，
由对称性可知 ，
又∵ ，∴ 为等腰直角三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段 为对角线的正方形，且正方形
的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点 ， ，
．
（1）已知点A 的坐标是 ．
①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 ．②已知点B的坐标为 ，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点 ，如果线段 上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取
值范围．
【答案】（1）①E，F；② 或
（2） 1或
【解析】
【分析】（1）①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可；
②画出图形根据“和谐点”的定义解决问题即可；
（2）在x轴上作出点E在点E右侧的“和谐点” ，在x轴上作出点D在点D左侧的“和谐点”
，利用图象法可得结论．
【小问1详解】
解：①如图，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F．
故答案为：E，F；
②如图，过点 作 轴，交 轴于 ，
∵点B的坐标为 ，点B为点A的“和谐点”，
∴ ，
满足条件的点 在点 的上方或者下方，观察图形可知 或 ，
∴ 或 ．
【小问2详解】
如图，作 轴， 轴，可知 ，即四边形 是正方形，取
，则四边形 、四边形 均是正方形，
观察图形可知，∵点M在线段 上，
当点 在点 时，点M的“和谐点”有 ， ，
当点 在点 时，点M的“和谐点”有 ， ，
∴点M的“和谐点”在线段 上， ， ，
∴点 在线段 上，
又∵点M是点C的“和谐点”，则 为正方形的对角线，∴点 不在线段 上（端点除外），
∴ 1或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利
用图象法解决问题，属于中考常考题型．
四、附加题：本大题共2小题，共10分。
29. 为了美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱
形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，
如菱形 、 、 ，要求每个菱形的两条对角线长分别为 和 ．
⋯
（1）若使这块草坪的总面积是 ，则需要_____个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（ ，且n为整数），则这块草坪的总面积是_____ ．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分
也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积 对角线长度 另一条对角线长度 ，
得出一元一次方程，解出即可得出需要的菱形个数；
（2）由（1）可知若有n个这样的菱形（ ，且n为整数），则这块草坪的总面积为n个这样的菱形减
去 个重叠部分的小菱形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：由题意重叠部分也是菱形，
∵每个菱形的两条对角线长分别为 和
∴重叠部分的小菱形的对角线分别为 ， ，∴占地面积为 ，
即 ，
解得： ，
∴则需要 4个这样的菱形，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：当有一个这样的菱形，则草坪的面积为 ，
当有2个这样的菱形，则草坪的面积为 ，
…依此类推
若有n个这样的菱形（ ，且n为整数），则这块草坪的总面积是
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，题目设计比较新颖，考查了学生运用数学解决实际问
题的能力．
30. 在平面直角坐标系 中，对于两个点 ， 和图形 ，如果在图形 上存在点 ， ， 可
以重合）使得 ，那么称点 与点 是图形 的一对平衡点．
（1）如图1，已知点 ， ．
①设点 与线段 上一点的距离为 ，则 的最小值是 ，最大值是 ；②在 ， ， 这三个点中，与点 是线段 的一对平衡点的是 ；
（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于 轴，对角线的交点为点 ，点 的坐标为 ．若点
在第一象限，且点 与点 是正方形的一对平衡点，求 的取值范围；
（3）已知点 ， ，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 ．若线段 上的
任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）①3， ；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①观察图象 的最小值是 长，最大值是 长，由勾股定理即可得出结果；
②过 作 于 ，可得出 ，根据平衡点的定义，即可得出点 与点 是线段 的
一对平衡点；
（2）如图2，可得 ， ，由平衡点的定义可求出 的范围；
（3）如图2，正方形 边长为2， ， 上任意两点关于 是一对平衡点，且 ， 的交点
是 ，根据平衡点的定义，可得 ， ，即可求出 的
范围．
【小问1详解】
解：①由题意知： ， ，则 的最小值是3，最大值是 ；②如图1，过 作 于 ，
，
根据平衡点的定义，点 与点 是线段 的一对平衡点；
故答案为：3， ， ；
【小问2详解】
如图2中， ， ，
且 ， 均在正方形上，符合平衡点的定义，
；
【小问3详解】
如图2，正方形 边长为2，
， 上任意两点关于 是一对平衡点，且 ， 的交点是 ，
则 ， ，，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了点 与点 是图形 的一对平衡点、正方形性质、点与点的距
离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
