文档内容
2022~2023 学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编
——轴对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2022秋•西城区期末）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，
若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大
致是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
2．（2022秋•平谷区期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． 绿色食品 B． 循环回收 C．
节能 D． 节水
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，由此即可判断．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：下四个标志中，是轴对称图形的是绿色食品标志，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3．（2022秋•怀柔区期末）下列图标是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
4．（2022秋•密云区期末）《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆
无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局
一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，
不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说
这个图形关于这条直线（成轴）对称解答即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
5．（2022秋•东城区期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形
中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；
C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合．
6．（2022秋•门头沟区期末）下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图
形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、两个全等三角形组合是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案、轴对称图形的概念，关键是正确找出对
称轴的位置．
7．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，﹣6）关于y轴的对称点
N的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣6） B．（﹣1，6）
C．（1，6） D．（﹣6，1）（﹣6，1）
【分析】根据平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，
纵坐标不变进行求解即可．
【解答】解：点M （1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（﹣1，﹣6）．
故选：A．
【点评】本题考查关于x，y轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规
律是解题关键．
8．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标
轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）
【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
【解答】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，
第4页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴点C在第三象限，
∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题
的关键．
9．（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如
果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问
题．
10．（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是 2cm和5cm，则第三条边
的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的
腰长为5cm，底边长为2cm时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关
键．
11．（2022秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为 ．点P
在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一α点E，
使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC
的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3 B．∠DEF＝2
C．∠DEF＝2 ﹣xα D．∠DEF＝1α80°﹣3
【分析】由等α腰三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可α求∠PAB，∠DEP，
由平角定义即可求出∠DEF．
【解答】解：∵EC＝EP，
∴∠ECP＝∠EPC＝x，
∴∠CEP＝180°﹣2x，
∵∠APC＝∠B+∠PAB，
∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，
∴∠PAB＝x﹣ ，
∵ED＝EA， α
∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣ ，
∴∠DEP＝∠EAD+∠EDαA＝2x﹣2 ，
∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，α
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2 ）＝2 ．
故选：B． α α
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关
键．
12．（2022秋•密云区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为腰画等
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学科网（北京）股份有限公司腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形
的个数最多是（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A，B，C三个顶点为等腰三角形的顶点可以
画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最
多可以作出7个不同的等腰三角形．
【解答】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD是等腰三角
形，
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形，交AB于点
F'，△BCF'是等腰三角形；
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学科网（北京）股份有限公司④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形，此情形点H与点
I重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有4个等腰三角形．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
13．（2022秋•平谷区期末）如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE
和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①△ABE≌△DBC
②BF平分∠AFC
③AF＝DF+BF
④∠AFD＝60°
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质易证△ABE≌△DBC，可判断①选项；根据全等三角形
的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠AFD＝
∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判断④选项；作BG⊥CD于点G，
BH⊥AE于点H，由S△ABE ＝S△DBC 可得BG＝BH，进一步可得BF平分∠AFC，可判断
②选项；在AE上截取AI＝DF，连接BI，易证△ABI≌△DBF（SAS），再证明△BFI
是等边三角形，得FI＝BF，进一步可判断③选项．
【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，
∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正确；
作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE ＝S△DBC ，AE＝DC，
∴ CD•BG＝ AE•BH，
∴BG＝BH，
∵BG⊥CD，BH⊥AE，
∴点B在∠AFC的平分线上，
∴BF平分∠AFC，故②正确；
在AE上截取AI＝DF，连接BI，
在△ABI和△DBF中，
，
∴△ABI≌△DBF（SAS），
∴∠AIB＝∠DFB，
∵△ABE≌△DBC，
∴∠CDB＝∠EBA，
∴∠DFA＝∠ABD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠IFB＝∠BFC＝60°，
∴∠AIB＝∠DFB＝120°，
∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠FBI＝60°，
∴△BFI是等边三角形，
∴FI＝BF，
∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正确，
故选：D．
【点评】本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与
性质、角平分线的判定与性质、等积法，添加合适的辅助线是解题的关键，本题综合性
较强，难度较大．
14．（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好
落在边AB的中点D'处．设S ，S 分别为△ADC和△ABC的面积，则S 和S 的数量关
1 2 1 2
系是（ ）
A．S ＝ S B．S ＝ S C．S ＝2S D．S ＝3S
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC ＝S△AD′C ，利用等底同高
的三角形的面积相等即可得出结论．
【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，
∴S△ADC ＝S△AD′C ．
∵点D′为AB的中点，
∴AD′＝D′B．
∵等底同高的两个三角形的面积相等，
∴S△AD′C ＝S△BCD′ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
第11页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的
性质并熟练应用是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
15．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点
的坐标为 （﹣ 4 ， 3 ） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得
出答案．
【解答】解：A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解
题关键．
16．（2022秋•密云区期末）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 9 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所
以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；
当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．
则第三边应是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目
一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常
重要，也是解题的关键．
17．（2022秋•平谷区期末）命题“等边对等角”是命题（填“真”或“假”），它的逆
命题是 真 ．
【分析】先写出其逆命题，再判定即可．
【解答】解：“等边对等角”的逆命题是”等角对等边“，在同一个三角形内成立，故
是真命题．
【点评】要根据逆命题的定义，写出逆命题，结合三角形的性质来判断命题的真假．
18．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，且
∠DAC＝100°，则∠C＝ 50 ° ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性质可得∠DAC
＝∠B+∠C＝100°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交
AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是 54 ° ．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用
BD平分∠ABC交AC于点D求得∠ADB的度数，利用三角形的内角和求得∠ADB的度
数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ ×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∵点E为AB的中点，
∴∠AED＝90°，
第13页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，
故答案为：54°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性
质，难度不大．
20．（2022秋•门头沟区期末）等腰三角形的一个内角的度数是40°，则其余两个内角的度
数是 70 ° ， 70 ° 或 40 ° ， 100 ° ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为40°时；当等腰三角形的一个底角为40°
时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为40°时，
∴等腰三角形的两个底角＝ ×（180°﹣40°）＝70°；
当等腰三角形的一个底角为40°时，则另一个底角也是40°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×40°＝100°；
综上所述：等腰三角形的其余两个内角的度数为70°，70°或40°，100°，
故答案为：70°，70°或40°，100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的
关键．
21．（2022秋•密云区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取
BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则
△BPC的面积为 4 cm2．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是
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学科网（北京）股份有限公司等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出
，即可求出答案．
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，
∴AP＝PD，
∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，
∴S△ABP ＝S△DBP ，S△ACP ＝S△DCP ．
∵S△ABC ＝S△ABP +S△DBP +S△ACP +S△DCP ，S△BPC ＝S△DBP +S△DCP ，
∴ ．
故答案为：4．
【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关
键．
22．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P
在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为 （ 0 ， 2 ） ．
【分析】根据对称性，作出点A关于y轴的对称点A'，连接BA'与y轴交于点P，根据两
点之间线段最短即可得结论．
【解答】解：
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，作出点A关于点y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，
此时PA+PB＝P′A+PB＝A′B，
根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．
23．（2022秋•平谷区期末）等腰三角形的一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数
为 20 ° 或 80 ° ．
【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情
况讨论．
【解答】解：分两种情况：
当80°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣80°×2＝20°；
当80°的角是顶角时，则顶角为80°．
故答案为：20°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角
或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关
键．
24．（2022秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①AF＝BF
②∠AFD+∠FBC＝90°
③DF⊥AB
④∠BAF＝∠CAF
所有正确结论的序号是： ①②③ ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，利用线段的垂直平分线的
性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA＝FB，DF⊥AB，故①，③正确，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠AFD+∠FBC＝90°，故②正确，
由作图不能得到④，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知
识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点
D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接
MF，BF，CE．
（1）图中与MF相等的线段是 CE ；
（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝ 9 5 °．
【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；
（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，
∴AC＝MC，
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学科网（北京）股份有限公司∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，
∴AD∥CM，∠MCB＝90°，
∴∠MCA＝∠CAD＝40°，
∵CF＝AE，
∴△CMF≌△ACE（SAS），
∴MF＝CE，
故答案为：CE；
（2）∵MF＝CE，
∴BF+CE＝BF+MF，
∴当MF和BF共线时，和最小，如图，此时MB与AC交于点F′，
∵MC＝BC，∠BCM＝90°，
∴∠CMB＝45°，
∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键．
三．解答题（共19小题）
26．（2022秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，
过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DE＝2， ，求BD的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD＝∠EDB，再利用等
第18页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司腰三角形的判定得结论；
（2）利用角平分线的性质先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的
长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵BD分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠EDB．
∴DE＝EB．
（2）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC．
又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴CD＝DF＝ ．
在Rt△CDE中，
CE＝ ＝1．
∵DE＝EB＝2，
∴BC＝CE+EB＝3．
在Rt△CDB中，
BD＝ ＝ ＝2 ．
【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的
判定、勾股定理是解决本题的关键．
27．（2022秋•平谷区期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，
延长BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
小明发现，延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，构造△BDH，通过证明△BDH与
△ACD全等，△BEH为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．
请写出推导过程．
第19页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，可证明△BDH≌△CDA（SAS），则
BH＝AC，∠CAD＝∠H，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠H＝∠BEH，即
可得出AC＝BE．
【解答】证明：延长AD到点H，使DH＝AD，连结BH，
在△BDH和△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴BH＝AC，∠CAD＝∠H，
又∵AF＝EF，
∴∠CAD＝∠AEF，
又∠BEH＝∠AEF，
∴∠CAD＝∠BEH，
∴∠H＝∠BEH，
∴BH＝BE，
∴AC＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
28．（2022秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AB的垂
直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求AE的长．
第20页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那
么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，设AE＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定
理可得x2﹣32＝（4﹣x）2，再解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
又∵42+32＝52，
即AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接BE．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2﹣32＝（4﹣x）2．
解之得x＝ ，即AE的长是 ．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
29．（2022秋•东城区期末）课堂上，老师提出问题：
如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空
场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离
也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完
整．
第21页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分
线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC
于点P，则点P为所求．
步骤3 证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且 点 P 在∠ MON 的平分线上 （填写条件），
∴PF＝PG（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填写理由）．
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ）（填写理由）．
∴点P为所求作的点．
【分析】利用角平分线的性质，可得出PF＝PG，利用线段垂直平分线的性质，可得出
PA＝PB，进而可得出点P为所求作的点．
【解答】证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且 点P在∠MON的平分线上，
∴PF＝PG（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
故答案为：点P在∠MON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂
直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质
及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
30．（2022秋•怀柔区期末）已知：如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，D为边AC上一点，
第22页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司△ABD是等边三角形，且AC＝DE．求证：△ABC≌△DBE．
【分析】根据等边三角形的性质可以得到AB＝DB，再根据∠ABC＝∠DBE＝90°，可知
△ABC和△DBE均为直角三角形，然后根据HL即可证明结论成立．
【解答】证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC和△DBE均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
【点评】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
31．（2022秋•密云区期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂
直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：DE＝DC；
（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得
到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根据角平分线的性质得到DE＝DC；
（2）判定△EBC是等边三角形，即可求出周长．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
第23页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°
∴BD平分∠ABC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝DC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴ ，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴ ，
∴BC＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△EBC的周长为9．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定
和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
32．（2022秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与
∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．
（1）求证：△BEC是等腰三角形；
（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
第24页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC＝∠C，进而得出EB＝
EC，即可得出结论；
（2）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F＝
∠C，再证明△AFD≅△ACD，根据全等三角形的性质得出AF＝AC，再根据线段的和差
即可得出AB+BD＝AC．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝40°，
∴∠EBC＝∠C，
∴EB＝EC，
∴△BEC是等腰三角形．
（2）解：AB+BD＝AC，
证明：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
∴∠F＝∠BDF，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，
∴2∠F＝80°，
∴∠F＝40°，
∵∠C＝40°，
∴∠F＝∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AFD≅△ACD（ASA），
第25页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴AF＝AC，
∴AB+BF＝AC，
即：AB+BD＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
33．（2022秋•平谷区期末）用直尺和圆规作一个45°的角．
作法：
①作直线l，在直线l上任取一点O；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于MN两点；
③分别以M，N为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧在直线l的上方交于点
P，作直线OP；
④作∠PON的角平分线OA；
所以∠AON即为所求作的45°角．
（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PM，PN，
∵PM＝PN，
∴点P在线段MN的垂直平分线上（ 到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
∵OM＝ON，
∴点O在线段MN的垂直平分线上．
∴直线OP是线段MN的垂直平分线．
∴OP⊥MN．
∴∠PON＝90°．
∵OA平分∠PON，
∴ ．
第26页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据作法作图即可；
（2）由垂直平分线的判定可得答案．
【解答】解：（1）如图：
∠AON即为所求；
（2）
证明：连接PM，PN，
∵PM＝PN，
∴点P在线段MN的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上）（填推理的依据）．
∵OM＝ON，
∴点O在线段MN的垂直平分线上．
∴直线OP是线段MN的垂直平分线．
∴OP⊥MN．
∴∠PON＝90°．
∵OA平分∠PON，
∴ ．、
故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作角平分线的方法．
34．（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．
（1）求证：AC⊥AB；
第27页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司（2）分别以点 A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点 D（点 D在AC的左
侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CBA＝∠ACB＝45°，然后利用三角形内角
和定理求出∠CAB＝90°，即可解答；
（2）过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC＝AD＝CD＝8，
从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC＝60°，从而利
用平角定义可得∠DAE＝30°，最后在Rt△DEA中，利用含30度角的直角三角形的性质
可得DE＝4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
由题意得：AC＝AD＝CD＝8，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，
∴DE＝ AD＝4，
∴△ABD的面积＝ AB•DE＝ ×8×4＝16，
第28页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴△ABD的面积为16．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条
件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
35．（2022秋•顺义区期末）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂
线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使其经过点P．
作法：如图，
①任取一点Q，使点Q与点P在直线l两侧；
②以P为圆心，PQ长为半径作弧交直线l于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l下方交于点C；
④作直线PC．
所以直线PC为所求作的垂线．
根据晓东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，AC，BC，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上（ 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上 ）（填推理的依据）．
∵ CA ＝ CB ，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
∴直线PC为线段AB的垂直平分线．
即PC⊥l．
第29页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点P、点C都在线段AB的垂直平
分线上，则 PC垂直平分AB，所以PC⊥l．
【解答】（1）解：如图，PC为所作；
（2）证明：
连接PA，PB，AC，BC．如图，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平
分线上）．
∵CA＝CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
∴PC垂直平分AB，
∴PC⊥l．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；CA＝CB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂
直平分线的性质．
36．（2022秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B
（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为
第30页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司点D，E．
（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1），即可求点A到BC的距
离；
（2）根据题意即可补全图形，进而求△ABE的面积即可；
（3）根据题意可得点P与点E重合，此时∠BPC＝90°，进而可以写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．
∴点A到BC的距离为5；
（2）如图即为补全的图形，
∵△ABE的面积＝△ABC的面积﹣△BEC的面积＝ 8×5﹣ 8×4＝4；
（3）由（2）可知：位于x轴上方的点P与点E重合，
因为DE＝DC＝DB＝4，
所以△BDE和△CDE是等腰直角三角形，
所以此时∠BEC＝∠BPC＝90°，
所以点P的坐标为（﹣1，5）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形面积，坐标与图形性质，解决本题的关键是
第31页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司掌握基本作图方法．
37．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ （0°＜ ＜90°），AD
为BC边上的中线，过点B作BE⊥AC于E，交AD于点F，作∠αABE的角α平分线AD于
M，交AC于N．
（1）①补全图形1；
②求∠CBE的度数（用含 的式子表示）；
（2）如图2，若∠ ＝45°，α猜想AF与BM的数量关系，并证明你的结论．
α
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，∠DAC＝ ∠BAC＝ ，证出∠ADB＝90°，由
直角三角形的性质可得出答案； α
（2）连接MC，证出∠MBC＝45°，证明△AEF≌△BEC（ASA），由全等三角形的性质
得出AF＝BC，证出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出BC＝
BM，则可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如下：
②∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC＝ ∠BAC＝ ，
∴∠ADB＝90°， α
∵BE⊥AC，
第32页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠CBE＝∠DAC＝ ；
α
（2） BM．
证明：连接MC，
∵∠BAC＝45°，∠AEB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝45°，
∴AE＝EB，
∵BN平分∠ABE，
∴∠NBE＝ ∠ABE＝22.5°，
∵∠DAC＝ ∠BAC＝22.5°，
∴∠EBC＝∠DAC＝∠NBE＝22.5°，
∴∠MBC＝45°，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF＝BC，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝MC，
∵∠MBC＝45°，
第33页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴△BMC是等腰直角三角形，
∴BC＝ BM，
∴AF＝ BM．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段中垂线的性质，
角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的
关键．
38．（2022秋•东城区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线
上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．
（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；
（2）求∠BEC的度数．
【分析】（1）根据尺规作图法即可作∠MCA的平分线；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝20°，∠MCE＝∠DCE＝70°，然后利
用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，CE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°，
∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，
∴∠MCE＝∠DCE＝70°，
∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．
第34页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
39．（2022秋•怀柔区期末）请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题．
已知：如图△ABC．
求作：△ABC边AB上的高CD．
小怀设计的尺规作图过程如下：
作法：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧；
②以点B为圆心，BC长为半径作弧，两孤交于点E；
③连接CE，交AB于点D．
所以线段CD就是所求作的高线．
（1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）；
（2）分别连接AE，BE，再将该作图证明过程补充完整：
由①可得：AC＝ AE ．
∴点A在线段CE的垂直平分线上． 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
（填推理的依据）
由②可得：BC＝ BE
∴点B在线段CE的垂直平分线上
∴AB垂直平分线段CE．
∴CD⊥AB
即CD是△ABC边AB上的高线．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；
第35页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司（2）由①可得：AC＝AE．
∴点A在线段CE的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线
上），
由②可得：BC＝BE，
∴点B在线段CE的垂直平分线上，
∴AB垂直平分线段CE．
∴CD⊥AB
即CD是△ABC边AB上的高线．
故答案为：AC，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，BE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
40．（2022秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分
BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若AD＝1，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出DB＝DC，根据等腰三角形的性质得出
∠DBC＝∠C，然后证明△ABD≌△ECD（AAS）即可；
（2）结合（1）利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠A＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵DE垂直平分BC，
第36页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS）；
（2）解：∵AD＝1，
∴BD＝2AD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴AC＝AD+CD＝1+2＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定
理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能熟记垂直平分线的性质
是解此题的关键．
41．（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP
＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接
BE．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAP＝ ，求∠BCE的大小（用含 的代数式表示）；
（3）用等式表示αEA，EB，EC之间的数量关α系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形；
第37页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝ ，AB＝AD，进
α
而得出∠CAD＝60°﹣2 ，AD＝AC，得出∠ACD＝ 60°+ ，即可得出结论；
（3）如图2，在EA上α取一点F，使EF＝EB，先判断出△αBEF是等边三角形，得出BF
＝BE，∠EBF＝60°，再判断出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出结
论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵点B关于射线AP的对称点为点D，
∴∠BAP＝∠DAP＝ ，AB＝AD，
∴∠CAD＝∠BAC﹣α∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2 ，AD＝AC，
α
∴∠ACD＝ （180°﹣∠CAD）＝ [180°﹣（60°﹣2 ）]＝60°+ ，
∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝ ； α α
α
（3）EA＝EB+EC，
证明：如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，
第38页（共48页）
学科网（北京）股份有限公司由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，
∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，
∴∠ACD+∠CAE＝120°，
∴∠AEC＝60°，
由折叠知，∠AEB＝∠AEC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，∠EBF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，
由（2）知，∠BAP＝∠BCE，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴EA＝EF+AF＝EB+CE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰
三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关
键．
42．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，
连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：
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学科网（北京）股份有限公司∠ABC＝ 3 6 °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：
小明的证明：
在△ABE与△DAC中，
，
可得△ABE≌△DAC．（ASA）
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明BE＝DE；
②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量
关系并加以证明．
【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，证明△ABC≌△ABE（ASA），即可的结论成立；
②小明证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它
们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；
（2）①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；
②根据题意即可补全图形；过点B作BG⊥EF于点G，如图4，证明△ABE≌△CAF
（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝36°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°﹣36°）＝72°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠DAC＝36°，
∴∠ABE＝∠ABC＝36°，
∵∠BAC＝∠BAE＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AB，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴AC＝AE．
∴增加∠ABC＝36°时，AE＝AC成立．
故答案为：36；
②小明的证明不正确，
他证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的
夹边”的关系，
所以不能使用“ASA”来证明．
（2）①证明：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠3＝∠C，
∵∠DBE＝∠1+∠3，∠4＝∠2+∠C，∠1＝∠2，
∴∠DBE＝∠4．
∴BE＝DE；
②解：补全的图形如图3，
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学科网（北京）股份有限公司猜想∠BFE＝∠AFC，
证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图4，
∵DF＝AE，
∴AE+AD＝DF+AD，
∴DE＝AF，
∵BE＝DE，
∴BE＝AF．
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠E＝∠AFC，
∵BA＝BD，BG⊥EF，
∴DG＝AG，
∵DF＝AE，
∴DG+DF＝AG+AE，
∴FG＝EG，
∵BG⊥EF于点G，
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学科网（北京）股份有限公司∴BE＝BF，
∴∠BFE＝∠E，
∴∠BFE＝∠AFC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得
到△ABE≌△CAF．
43．（2022秋•东城区期末）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB
对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．
（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是： AE ＝ AD
，BE与AE的数量关系是： BE ＝ 3 AE ；
（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．
在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）在Rt△ADE中，∠D＝30°，可得AE＝ AD；在Rt△BCE中，∠B＝
30°，可得CE＝ BE，在 Rt△AEC中，∠CAB＝60°，可得CE＝ AE，则BE＝
3AE；
（2）①根据轴对称的性质画出图形即可；
②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，BE＝GB+EG＝AD+AE；如图3，在BA的
延长线上截取AH＝AC，连接CH，AD＝BE+AE．
【解答】解：（1）由对称性可知∠ADE＝∠ACE，∠CAB＝∠CAB，CD⊥AB，
∵∠CAB＝60°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠DAE＝60°，
在Rt△ADE中，∠D＝30°，
∴AE＝ AD；
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，
在Rt△BCE中，CE＝ BE，
在Rt△AEC中，CE＝ AE，
∴ BE＝ AE，
∴BE＝3AE；
故答案为：AE＝ AD，BE＝3AE；
（2）①如图：
②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，
由对称性可知AC＝AD，CE⊥AG，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CGA＝2∠B，
∴∠B＝∠BCG，
∴CG＝GB，
∴BG＝AD，
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学科网（北京）股份有限公司∴BE＝GB+EG＝AD+AE；
如图3，在BA的延长线上截取AH＝AC，连接CH，
∴∠AHC＝∠ACH，AH＝AD，
∴∠BAC＝2∠CHA，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝∠CHA，
∵CE⊥BH，
∴HE＝BE，
∴AH﹣AE＝BE，
∴AD＝BE+AE．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质，
等腰三角形的性质是解题的关键．
44．（2022秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD
＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对
称点P，连接CP
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出AB与CP的位置关系；
（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP
即可；
（2）根据角平分线的性质可知∠BAD＝∠CAD，再由轴对称的性质可知∠P＝∠CAD，
据此可得出结论；
（3）作辅助线，构建等腰三角形，易证△ACH≌△AFH，则AC＝AF，HC＝HF，根据
平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG＝AH，再由线段的和可得结论．
【解答】解：（1）如图．
（2）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵点A与点P关于直线CH对称，
∴∠P＝∠CAD，
∴∠P＝∠BAD，
∴AB∥CP；
（3）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH＝AB+AC．
证明：延长AB和CH交于点F，取BF的中点G，连接GH．
在△ACH与△AFH中，
，
∴△ACH≌△AFH（ASA），
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学科网（北京）股份有限公司∴AC＝AF，HC＝HF，
∴GH∥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴AG＝AH，
∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中
位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，构建等腰三角形是解题的关键．
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