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2022-2023学年北京市东城区景山中学八年级（上）期末数学试
卷
一、选择题。
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
2．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝3
3．若点A（﹣3，y ），B（1，y ）都在直线y＝x+5上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＝y
1 2 1 2
C．y ＜y D．无法比较大小
1 2
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，
则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每
周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时
长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为
（ ）
A．a（1+x）2＝70%a B．a（1﹣x）2＝70%a
C．a（1+x）2＝（1﹣70%）a D．a（1﹣x）2＝（1﹣70%）a
6．在5次英语听说机考模拟练习中，甲、乙两名学生的成绩（单位：分）如表．若要比较
两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是
第1页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司（ ）
甲 32 37 40 34 37
乙 36 35 37 35 37
A．方差，甲 B．方差，乙 C．众数，甲 D．众数，乙
7．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣1
8．如图，在长方形 ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径
A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表
示大致是（ ）
二、填空题。
9．一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
10．已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式
．
11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2022﹣a﹣b的值
是 ．
12．若点A（4，n）与点B（m，2）关于原点对称，则m+n＝ ．
13．甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别
是s甲 2＝0.2，s乙 2＝0.15，s丙 2＝0.25，s丁 2＝0.4．你认为成绩更稳定的是 ．
14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，
且∠AOD的度数为90°，则∠A的度数是 ，∠D的度数是 ．
第2页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司15．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣9x＝﹣14的两根，则这个等腰
三角形的周长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕
着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面
积的最小值是 ．
三、解答题。
17．解方程：
（1）x+2＝x（x+2）；
（2）2x2﹣7x+6＝0．
18．如图，在平面直角坐标系 xOy中，将格点△AOB绕某点逆时针旋转角 （0＜ ＜
180°）得到格点△ECD，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点． α α
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标；
（2）直接写出旋转角 的度数．
α
第3页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重
合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点
F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B
（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若x轴上有一点C，且S△ABC ＝2，求点C的坐标．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
22．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价为每个 30元的
冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品
的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40﹣60元范围内．为了实
现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？
1
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y= x，且经
2
过点A（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝
mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．
24．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取
60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述
和分析．下面给出了部分信息．
第4页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x
＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5
79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 75.8 m 84.5
B 72.2 70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩
排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
25．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法
的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．
例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是
B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝
（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣
8）＝9，
第5页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），则C关于D的“雅常值“是
；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，
且N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
26．在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝kx+b与坐标轴分别交于A（2，0），B（0，
1
4）两点．将直线l 在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的
1
图形，这个图形与直线l ：y＝m（x﹣4）（m≠0）分别交于点C，D．
2
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边
界）为W．
①当m＝1时，区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
27．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时
针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方
形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨
正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
第6页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正
轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
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卷
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．【解答】解：x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
故选：C．
3．【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣3，y ），B（1，y ）都在直线y＝x+5上，且1＞﹣3，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：C．
4．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
1
∴∠B＝∠ADB= ×（180°﹣100°）＝40°．
2
故选：B．
5．【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
可列方程为a（1﹣x）2＝（1﹣70%）a．
故选：D．
1
6．【解答】解：判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，x
甲
=
5
（32+37+40+34+37）
＝36（分），
第8页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司1
x
乙
=
5
（36+35+37+35+37）＝36（分）；
1
S2
甲
=
5
[（32﹣36）2+（37﹣36）2+（40﹣36）2+（34﹣36）2+（37﹣36）2]＝7.6（分
2），
1
S2
乙
=
5
[（36﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2]＝0.8（分
2），
7.6＞0.8，
所以乙的成绩更稳定，
故选：B．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×1•m＝1﹣4m＞0，
1
解得：m＜ ，
4
取m＝﹣1，
故选：D．
8．【解答】解：①当点P在AB上运动时，即0≤x≤6，
此时AP＝x，
1
y＝S△AMP =
2
⋅AM⋅AD，
1
∴y= ⋅x⋅4=2x；
2
②当点P在BC上运动时，即6＜x≤10，
此时BP＝x﹣6，CP＝10﹣x，
y＝S△AMP ＝S长方形ABCD ﹣S△ABP ﹣S△MCP ﹣S△ADM ，
1 1 1
∴y＝4×6− ⋅6⋅(x−6)− ⋅(10−x)⋅4− ×2×4=−x+18；
2 2 2
③当点P在CM上运动时，即10＜x≤14，
此时MP＝14﹣x，
1
y＝S△AMP =
2
⋅MP⋅AD，
1
∴y= ⋅(14−x)⋅4=28−2x；
2
第9页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司根据函数解析式，可知A选项正确．
故选：A．
二、填空题。
9．【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
10．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴函数表达式为y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．
11．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
12．【解答】解：∵点A（4，n）与点B（m，2）关于原点对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣2，
则m+n＝﹣4﹣2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．【解答】解：∵s甲 2＝0.2，s乙 2＝0.15，s丙 2＝0.25，s丁 2＝0.4，
∴方差最小的为乙，
∴成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，∠B＝∠D，
1
∴∠A＝∠ACO= ×（180°﹣40°）＝70°，
2
∵∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
∵∠ACO＝∠B+∠BOC，
∴∠B＝∠D＝∠ACO﹣∠BOC＝70°﹣10°＝60°，
故答案为：70°，60°．
15．【解答】解：解方程x2﹣9x＝﹣14，得x ＝2，x ＝7，
1 2
第10页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司当2为腰，7为底时，不能构成等腰三角形；
当7为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为7+7+2＝16．
故周长为16．
故答案为：16．
16．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=√AC2+BC2=5，
1 1
∵ CH•AB= AC•BC，
2 2
12
∴CH= ，
5
∵点D是AC的中点，
∴CD＝2，
∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，
∴CE＝2，即点E在以C为圆心，2为半径的圆上，
∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，
1 12
∴S△AEB 最小值为：
2
×5×（
5
−2）＝1，
故答案为：1．
三、解答题。
17．【解答】解：（1）x+2＝x（x+2），
（x+2）﹣x（x+2）＝0，
（x+2）（1﹣x）＝0，
∴x+2＝0或1﹣x＝0，
∴x ＝﹣2，x ＝1；
1 2
（2）2x2﹣7x+6＝0，
（x﹣2）（2x﹣3）＝0，
第11页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∴x﹣2＝0或2x﹣3＝0，
3
∴x ＝2，x = ．
1 2 2
18．【解答】解：（1）如图：
①作格点K（1，1），T（2，1），
②作直线OK，直线ET交于M，
点M即为所求的旋转中心，
由图可得，M的坐标为（2，2）；
（2）由图可知，∠AME＝90°，
∴旋转角为90°．
19．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
∠ACD=∠BCE，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠BDE＝25°，
第12页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠BEF＝65°．
20．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
{2k+b=0
将点A（2，0），B（0，1）代入，可得 ，
b=1
{ 1
k=−
解得 2，
b=1
1
∴直线AB的解析式为y=− x+1；
2
（2）∵x轴上有一点C，
设点C（x，0），
∴AC＝|2﹣x|，
∵S△ABC ＝2，
1
∴ ×|2﹣x|×1＝2，
2
∴x＝﹣2或x＝6，
∴C（﹣2，0）或C（6，0）．
21．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实
数根，
∴（2m+1）2﹣4m2≥0，
1
解得：m≥− ．
4
1
∴m的取值范围是m≥− ；
4
−2m−1±√4m+1
（2）利用求根公式表示出方程的解为x= ，
2
∵方程的解为整数，
∴4m+1为完全平方数，
则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，
解得：x ＝0，x ＝﹣1（不唯一）．
1 2
22．【解答】解：（1）设售价上涨x元，销售量为（600﹣10x）个，
（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
第13页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司x2﹣50x+400＝0，
x＝40或x＝10，
∵规定售价在40﹣60元范围内，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，
40+10＝50（元），
答：每个饰品应定为50元．
1
23．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y= x，
2
1
∴k= ，
2
∵函数图象经过点A（2，2），
1
∴2= ×2+b．
2
∴b＝1．
1
∴一次函数的表达式为y= x+1；
2
（2）把A（2，2）代入y＝mx﹣1，得2＝2m﹣1，
3
解得m= ，
2
∵当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx
﹣1（m≠0）的值，
1 3
∴ ≤m≤ ．
2 2
24．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，
第14页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79
79.5，
78.5+79
∴A课程的中位数为 =78.75，即m＝78.75；
2
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
10+18+8
（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300× =180人．
60
25．【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）
＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
＝1，
∴“雅常值”为1，
故答案为：1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）
＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，
∴﹣2a+2＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，
且当x为实数时，N的最小值为﹣2，
∴﹣1+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2．
26．【解答】解：（1）∵直线l ：y＝kx+b与坐标轴分别交于A（2，0），B（0，4）两点，
1
{2k+b=0
∴ ，
b=4
第15页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司解得k＝﹣2，b＝4；
（2）①当m＝1时，直线l ：y＝x﹣4，如图，
2
区域W内有（2，﹣1）一个整点，
故答案为：1；
②点（0，﹣5）代入y＝m（x﹣4）得，﹣5＝﹣4m，
5
∴m= ，此时区域W内有3个整点，
4
5
由图象可知，当1＜m≤ 时，区域W内恰有3个整点．
4
27．【解答】解：（1）①补全图形如下：
②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2＝DE2，证明如下：
连接AE，如图：
第16页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，
∴∠ABE＝90°﹣∠ABD＝∠CBD，BE＝BD，
在△ABE和△CBD中，
{
AB=BC
∠ABE=∠CBD，
BE=BD
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠C＝45°，AE＝CD，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAC＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，
∵AE＝CD，
∴CD2+AD2＝DE2；
（3）CE＝2BF，CE⊥BF，证明如下：
设BF交CE于H，延长BF至G，使FG＝BF，连接AG，如图：
第17页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵FG＝BF，∠AFG＝∠DFB，
∴△AFG≌△DFB（SAS），
∴∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，
∵BD＝BE，
∴AG＝BE，
∵∠FDB＝∠DBC+∠DCB＝∠DBC+45°，
∴∠GAF＝∠DBC+45°，
∴∠GAB＝∠GAF+∠BAC＝∠DBC+45°+45°＝∠DBC+90°，
∵∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，
∴∠GAB＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△GAB≌△EBC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，
∵BG＝2BF，
∴CE＝2BF，
∵∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠BCE+∠GBC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴CE⊥BF．
28．【解答】解：（1）①∵点P（x ，y ）、点Q（x ，y ）是正轨正方形的点，
1 1 2 2
∴|x ﹣x |＝|y ﹣y |．
1 2 1 2
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|3﹣3|，
∴点A的“正轨点”的坐标是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案为（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵点A的“正轨正方形”的面积是4，
∴边长为2，
∴点A的“正轨点”的坐标是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1），
故答案为（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1）；
（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，
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学科网（北京）股份有限公司∴设点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（x，2x+2），
根据题意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
1
解得x＝﹣3或x=− ，
3
1 4
∴点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（﹣3，﹣4）或（− ， ）；
3 3
（3）∵直线y＝2x+m上存在点C（m，0）的“正轨点”，
∴点C的“正轨点”的坐标为（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正轨正方形”面积小于4，
∴﹣2＜m＜2且m≠0或﹣2＜﹣3m＜2且m≠0，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠0．
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