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2022-2023 学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：∵ ，被开方数含开得尽方的因数，
故A错误；
∵ 被开方数含有分母，
故B错误；
∵ 被开方数含有分母，
故C错误；
∵ 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可．
【详解】解： ，A选项不能构成三角形，不符合题意；
，B选项不能构成三角形，不符合题意；
，C选项不能构成三角形，不符合题意；
，D选项能构成三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键熟练掌握三角形三边关系．
3. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
4. 下列事件中 的随机事件是（ ）
A. 在数轴上任取一个点，它表示的数是实数
B. 任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件，不可能事件以及随机事件的概念对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、在数轴上任取一个点，它表示的数是实数，这是必然事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合，这是随机事件，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，这是必然事件，不符合题意；
D、用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形，这是不可能事件，不符合题意，
故选：B
【点睛】此题考查了必然事件，不可能事件以及随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生
也可能不发生的事件．
5. 如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再约分得到最简结果，把已知等式
代入计算即可求出值．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选A．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．
6. 图 1 是一路灯的实物图，图 2 是该路灯的平面示意图， ， ，则图 2 中的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是 的外角， ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角和是解题的关键．
7. 如图，在Rt 中， ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再
分别以点D、E为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 ，
，则 的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】【分析】利用基本作图得到 平分 ，利用角平分线的性质得到G点到 的距离为 ，然后根
据三角形面积公式计算 的面积；
【详解】解：由作法得 平分 ，
点到 的距离等于 的长，即 点到 的距离为 ，
所以 的面积 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
8. 在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（ ）
A. 如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B. 如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C. 如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D. 如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．
【详解】解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴PA+PC= PB+PC= BC，故该选项正确，符合题意；
D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质．
二、填空题（本题共8个小题，第16题3分，其余每小题2分，共17分）
9. 代数式 有意义，则x的取值范围是__．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代
数式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 比较大小： ______ （填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【详解】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方运算比较大小．
11. 六张卡片 的正面分别写有 ， ， ，0， ， 这六个数，将卡片的正面朝下
（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是______．
【答案】
【解析】
【分析】明确无理数 的个数，再根据等可能事件的概率公式即可知道无理数的可能性大小；【详解】解：在这六个数中，无理数有： ， ，所以从中任意抽取一张，卡片的数字为无理数的可能
性大小是 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的公式及无理数的定义，用到的知识点为：等可能事件概率公式 所求情况数
与总情况数之比，无理数是无限不循环小数．
12. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法进行测量，其中 ，
，测量 的长度即可知道 的长度，理由是根据________可证明 ．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形全等的 定理证明 ，根据全等三角形的性质可得 ．
【详解】解∶在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的 定理是解题的关键．13. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为 ，正方形 ， ， 的顶点
都在格点上，则正方形 的面积为__________．
【答案】45
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，
∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14. 若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据非负数的性质分别求出 ，代入计算即可．
【详解】解： ，
，
解得： ，，
故答案为： ，
【点睛】本题考查的是非负数的性质和代数式求值，掌握算术平方根的非负性、偶次方的非负性是解题的
关键．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则 ＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【答案】45
【解析】
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得
PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即 PBD为等腰直角三角形，
∴△∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图， ， ，点 在射线 上，连接 ，（1）若 ，则 ______．
（2）设 ，若 的形状、大小是唯一确定的，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. 3 ②. 或
【解析】
【分析】（1）由 得到 ，由 ，得到 是等腰直角三角形，运用勾
股定理即可得到答案；
（2）分两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为：3
（2）由题意可知，当 或 时，能作出唯一一个 ，①当 时，由（1）可知，此时 ， 的形状、大小是唯一确定的；
②当 时，以点C为圆心， 为半径画弧，此弧与射线 有唯一公共点，则 的形
状、大小是唯一确定的，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定等知识，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共67分，第17、18题每题5分；第19-21题每题6分；第22题4分；第
23题8分；第24题5分；第25题6分；第26、27题每题8分）解答应写出文字说明、演算
步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简后计算即可得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解．【详解】解：原式= ，
= ，
=
【点睛】本题主要考查了二次根式 的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能够结合题目的特征，
灵活运用二次根式性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19. 如图，在 ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．
△
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用角边角证明 CDE≌ ABC，即可证明DE=BC．
【详解】证明：∵DE∥AB△， △
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴ CDE≌ ABC(ASA)．
∴△DE=BC．△
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
20. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
21. 解方程：
【答案】
【解析】
的
【分析】方程两边都乘（x+1）（x-1），去分母后化为整式方程，求出方程 解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边同乘 ，得：
，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
22. 如图是 正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成
黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据轴对称图形的特征直接画图即可
【详解】如图所示【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
23. 下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
求作：一个直角三角形 ，使线段 为斜边．
作法：①过 任意作一条射线 ；
②在射线 上任取两点 ， ；
③分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径作弧，两弧相交于点 ；
④作射线 交射线 于点 ．
则 就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）证明：连接 ，
∵ ______
∴点 在线段 的垂直平分线上（______________________）．（填推理的依据）
同理可证：点 在线段 的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
（3）在 中， ，如果 ，猜想： 与 满足的数量关系_____________，
并证明．
【答案】（1）见解析；（2） ，线段垂直平分线的判定定理；
（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题中的作法步骤，求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定，求解即可；
（3）连接 ，通过证明 为等边三角形，求证即可．
【小问1详解】
解：如下图所示：
【小问2详解】
证明：连接 ，
∵
∴点 在线段 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．
同理可证：点 在线段 的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知 是线段 的垂直平分线．
∴ ，
故答案为： ，线段垂直平分线的判定定理；【小问3详解】
，证明如下：
连接 ，如下图：
由（2）可得 ， ， ,
可得 为等腰三角形，即 平分 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【点睛】此题考查了尺规作图－作垂线，线段垂直平分线的判定以及等边三角形的判定与性质，解题的关
键是熟练掌握相关基础性质．
24. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统
汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比
燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油
车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．【解析】
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电
动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得 ．
解，得 ．
经检验， 是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25. 阅读下列材料，然后回答问题．
已知 ．当n为大于1的奇数时， ；
当n为大于1的偶数时， ．
（1）求 ；（用含a的代数式表示）
（2）直接写出 ；（用含a的代数式表示）
（3）计算： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料进行计算，即可；
（2）根据阅读材料进行计算，发现规律：每6个结果为一个循环，再由 ，从而得到，即可；
（3）根据阅读材料进行计算，发现规律：每6个结果为一个循环，可得
，再由 ，即
可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，…，
由此发现，六个结果为一循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
…，
由此发现，六个结果为一循环，
∴ ，
∵ ，
∴ ．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，
运用规律．
26. 如图 中， ， ，D是 边上一点，连接 ， 垂足为点C，
且 ， 交线段 于点F．
（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明 ；
（2）当 时，求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，证明 ，即可得出 ；
（2）根据 得出 ，根据 ，得出 ，根据
平行线的判定和性质，证明 ，得出 ，从而证明 ，得出 ，
证明 ，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，
解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明 ．
27. 已知：线段 及过点A的直线l．如果线段 与线段 关于直线l对称，连接 交直线l于点
D，以 为边作等边 ，使得点E在 的下方，作射线 交直线l于点F，连结 ．
（1）根据题意补全图形；
（2）如图，如果 ，
① ；（用含有α代数式表示）
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图即可；
（2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可；
②结论： ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，证明
，推出 ，推出 ，可以得出结论．【小问1详解】
图形如图所示：
【小问2详解】
解：①∵线段 与线段 关于直线 对称，
∴ 垂直平分线段 ，
∵ 是等边三角形，
，
，
故答案为： ；
②结论：
理由如下：在 上截取 ，使得 ，连接
，
是等边三角形
在 和 中
，
，
即 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判定
和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
