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2022-2023 学年北京市西城区鲁迅中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 下列各式中最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. ， ， C. 4，6，9 D. 3，4，5
3. 下列各曲线中，不能表示 是x的函数的是（ ）
A. B. C.
D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在 ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
△A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
6. 平行四边形所具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 邻边互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角 D. 两组对边分别相等
7. 如图，矩形 的对角线 ， 交于点O，若 ，那么 度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， 平分 ， ， ，则 的周长是（ ）
A. 14 B. 20 C. 24 D. 28
9. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
10. 点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为
x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图像如图所示，则该四边形可能是（ ）
A. B. C.
D.
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。
11. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___．
的
13. 如图，在菱形 中， ，则 度数是_____．
14. 如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（4，0），点C为AB的中点，则线段OC的长为
______．15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的
中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶
点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
的
17. 如图是我国古代著名 “赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ，
，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这
个风车的外围周长是___．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点
D、E在直线 上，且点O、B分别是DE、AD的中点，点M、N分别是BC、OA上的动点，且
MN⊥OA，若OA=6，则DM+MN+NE的最小值为___________三、解答题：本大题共10小题，共64分。
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
20. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
21. 老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米，
米， 米， 米，且 ．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
22. 如图，在矩形ABCD中，将 沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．（1）求证： ；
（2）若 ，求DF的长．
23. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在 中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计 的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝______．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
的
∴四边形ABCD是矩形______（填推理 依据）．
24. 如图，四边形ABCD中， ，过点D作 交AB于点E，
交BC于点F．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若 ，求四边形EBFD的面积．
25. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 中， ，分别交 、 于D、E，且 ，
， ，试求 的值．
小明发现，过点E作 ，交 的延长线于点F，构造 ，经过推理得到 ，再计算
就能够使问题得到解决（如图②）．
（1）请你帮小明回答： 的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：如图③，已知 和矩形 ， 与 交于点G， ，求 的度数．
26. 在 中， 三边的长分别为 ，求这个三角形的面积．小宝同学在解答
这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 （即
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面
积．
（1）请你将 的面积直接填写在横线上________；
思维拓展：
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 ，
请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积填写在横线上
_____；
探索创新：
（3）若 中有两边的长分别为 ，且 的面积为 ，试运用构图法在图3的
正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的 （全等的三角形视为同一种情况），
并求出它的第三条边长填写在横线上_______．
27. 如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点 关于直 的对称点是点，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形， ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段 为对角线的正方形，且正方形
的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示，已知点 ， ，
．
（1）已知点A的坐标是 ．
①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是 ．
②已知点B的坐标为 ，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；
（2）已知点 ，如果线段 上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取
值范围．
四、附加题：本大题共2小题，共10分。
29. 为了美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，
如菱形 、 、 ，要求每个菱形的两条对角线长分别为 和 ．
⋯
（1）若使这块草坪的总面积是 ，则需要_____个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（ ，且n为整数），则这块草坪的总面积是_____ ．
30. 在平面直角坐标系 中，对于两个点 ， 和图形 ，如果在图形 上存在点 ， ， 可
以重合）使得 ，那么称点 与点 是图形 的一对平衡点．
（1）如图1，已知点 ， ．
①设点 与线段 上一点的距离为 ，则 的最小值是 ，最大值是 ；
②在 ， ， 这三个点中，与点 是线段 一对平衡点的是 ；
的
（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于 轴，对角线的交点为点 ，点 的坐标为 ．若点
在第一象限，且点 与点 是正方形的一对平衡点，求 的取值范围；
（3）已知点 ， ，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 ．若线段 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 的取值范围．
