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2022－2023 学年北京市东城区八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
的
2. 下列运算式中，正确 是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ．下面是“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹．该尺规作
图的依据是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算 ，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 正六边形的外角和为（ ）
A. 180° B. 360° C. 720° D. 1080°
6. 长方形的面积是 ．若一边长是 ，则另一边长是（ ）A. B. C. D.
7. 如图，将一张四边形纸片 沿对角线 翻折，点 恰好落在边 的中点处．设 ， 分别为
和 的面积， 和 数量关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 若一个多边形的内角和等于 ，这个多边形的边数是（ ）
.
A B. C. D.
9. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那
么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A. 4米，4米 B. 4米，10米
C. 7米，7米 D. 7米，7米，或4米，10米
10. 在平面直角坐标系 中，长方形 的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第
一象限，则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11. 若分式 的值为0，则 的值为__________．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
13. 如图，点 在同一条直线上， ．添加一个条件，使得 ．
不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________．14. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点D，点E为 的中点，
连接 ．则 的度数是______．
15. 如图，在 是 的平分线， 于点E， ．则 的面
积大小为___________．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，连接 ，在线段 ，
上作点M，使得 最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
方法① 方法② 方法③
作点 P 关于直线 的对称点 过点 P 作 于点 C，过
过点 P 作 于点 M，则
，连接 交 于点 M， 点 Q 作 于点 D，取
点M为所求．
则点M为所求． 中点M，则点M为所求．其中正确的方法是______（填写序号），点M的坐标是______．
三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19－25题，每小题4分，第26
题6分，第27－28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
18. 化简：
（1） ；
（2） ．
19. 如图，已知 ， ， ．求证： ．
20. 在化简分式 时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式 ……①，
•……②，……③，
……④
……⑤
（1）甲同学从第 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
21. 先化简，再求值： ，其中 从 ， ， 三个数中任取一个合适的值．
22. 如图，在 ．
（1）求证： ；
（2）分别以点A，C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在 的左侧），连接
．求 的面积．
23. 解分式方程： ．
24. 课堂上，老师提出问题：
如图1， ， 是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心
P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段 的垂直平分线上；若要使得点
P到 ， 的距离相等，则只需点P在 的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作 的平分线 ，线段 的垂直平分线 ， 交 于点P，则点P
为所求．
步骤3 证明：如图2，连接 ， ，过点P作 于点F， 于点G．
∵ ， ，且 （填写条件），
∴ （ ）（填写理由）．
∵点P在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ ）（填写理由）．
的
∴点P为所求作 点．
25. 在 中， ．点 在 的延长线上， 的平分线交 于点 ．
的平分线与射线 交于点 ．
的
（1）依题意补全图形；用尺规作图法作 平分线；
（2）求 的度数．26. 列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的 倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄
金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为 厘米，宽为 厘米的矩形．现要在
作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等
于 ．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注： ）
27. 已知：在 中， ．点 与点 关于直线 对称，连接 交直线
于点 ．
（1）当 时，如图1．用等式表示， 与 的数量关系是： ， 与 的数量关
系是： ；
（2）当 是锐角( )时，如图2；当 是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一
种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
的
28. 在平面直角坐标系 中，对于点P和正方形 ，给出如下定义：若点P关于y轴 对称点到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形 的“k倍距离
点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．
（1）当 时，
①点C的坐标是 ；
②在 三个点中， 是正方形 的“3倍距离点”；
（2）当 时，点 （其中 ）是正方形 的“2倍距离点”，求n的取值范围；
（3）点 ．当 时，线段 上存在正方形 的“2倍距离点”，直接写
出a的取值范围．
