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2023-2024 学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是
( )
A. B.
C. D.
2.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
x8÷x2=x4 (x3
)
4=x7 (−2x3
)
3=−8x9 x4+x=x5
3.在平面直角坐标系xO y中，点P(−2,3)关于x轴的对称点坐标是( )
A. (−2,−3) B. (2,−3) C. (2,3) D. (−3,−2)
4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )
A. x x2 B. −x−y C. x x+z D. x+ y 1
= =−1 = =
y y2 x+ y y y+z x2−y2 x+ y
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BD是△ABC的角平分线.
若点D到BC的距离为3，则AC的长为( )
A. 12 B. 7.5 C. 9 D. 6
6.如果 ，那么代数式 的值为( )
a2−3a−7=0 (a−1) 2+a(a−4)−2
A. −15 B. −8 C. 6 D. 13
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学科网（北京）股份有限公司 1 17.如图，在平面直角坐标系xO y中，已知点A(2,0)，B(3,b)(b>0)，AC⊥AB且AC=AB，则点C
的横坐标为( )
A. −b−1 B. 1−b C. b−2 D. 2−b
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D，E是边AB上的两个
定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEM N的周长
最小时，∠DN M+∠EM N的大小是( )
A. 45° B. 90° C. 75° D. 135°
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：
______；
(1)(√ 2+1) 0=
______．
(2)7−2=
1
10.若分式 有意义，则x的取值范围是______．
x−6
11.计算： ______．
(−5a)⋅(−2a3b)=
12.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠DAE=∠BAC，
连接BD，CE.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，这个
条件可以是______(写出一个即可)．
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学科网（北京）股份有限公司 2 113.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼
成(无重叠、无缝隙)一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______(用含a，b的式子表示)．
1
14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的 ，乙加入清点剩余的
3
图书，两人合作2.4h清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书
需要xh，则根据题意可列方程为______．
15.在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点
F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则∠BEF的大小是
______°.
16.如图，动点C与线段AB构成△ABC，其边长满足AB=9，C A=2a+2，
CB=2a−3.点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC=90°，则a的取值范围
是______，△ABD的面积的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
17.(本小题8分)
分解因式：
；
(1)x y3−x y
．
(2)2x2−20x+50
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学科网（北京）股份有限公司 3 118.(本小题11分)
(1)计算：(a−3b)(2a+b)；
先化简，再求值： 2a−a2 a−2 ，其中 3．
(2) (a−2+ )÷ a=
a+2 a2+4a+4 2
19.(本小题8分)
如图，点C，D在AB上，AC=BD，EA=FB，∠A=∠B，ED，FC相交于点G．
(1)求证：∠ADE=∠BCF；
(2)求证：EG=FG．
20.(本小题7分)
6 x
解方程： +1= ．
x x+3
21.(本小题9分)
已知：如图，∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC=3∠AOB，且点C在直线OA的下方．
作法：①在射线OA上取一点P，过点P作射线OA的垂线，与射线OB相交于点M；
②在M P的延长线上取一点N，使PN=PM；
③以点O为圆心，OM长为半径画弧，再以点M为圆心，M N长为半径画弧，两弧在直线OA下方相交于
点C；
④作射线OC．
所以射线OC即为所求作的射线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接ON，CM．
∵PM⊥OA，PN=PM，
∴ON=OM.(______)(填推理的依据)
∴∠ ______=2∠POM．
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学科网（北京）股份有限公司 4 1∵OC=OM，
∴OC=ON．
在△OCM和△ON M中，
{OC=ON
OM=OM，( )
=
∴△OCM≌△ON M.(______)(填推理的依据)
∴∠ ______=∠NOM．
∴∠AOC=∠POM+∠COM=3∠POM，
即∠AOC=3∠AOB．
22.(本小题8分)
阅读材料：
如果整数x，y满足x=a2+b2，y=c2+d2，其中a，b，c，d都是整数，那么一定存在整数m，n，使得
x y=m2+n2．
例如， ， ， 或 ，
25=32+42 40=22+62 25×40=302+(−10) 2 25×40=182+262 …
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知5=12+22，74=52+72，5×74=192+32或5×74=m2+172，…
若m>0，则m= ______；
已知 ， 为整数 ， 若 ，求 用含 ， 的式子表示 ；
(2) 41=42+52 y=c2+d2 (c,d ) 41y=m2+n2. m=5c−4d n( c d )
(3)一般地，上述材料中的m，n可以用含a，b，c，d的式子表示，请直接写出一组满足条件的m，n(用
含a，b，c，d的式子表示)．
23.(本小题9分)
在△ABC中，AB2.5
4
【解析】解：△ABC的三边：AB=9，C A=2a+2，CB=2a−3，满足
三角形三边关系定理，
{2a+2+9>2a−3①
∴ 2a−3+9>2a+2②，
2a+2+2a−3>9③
不等式①②显然成立，
由③得：a>2.5；
延长AD交CB延长线于M，过M作M H⊥AB交AB延长线于H，
∵CD平分∠ACB，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDM=180°−90°=90°，
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学科网（北京）股份有限公司 15 1∴∠ADC=∠M DC，
∵CD=CD，∠MCD=∠ACD，
∴△ACD≌△MCD(ASA)，
∴AD=M D，CM=AC=2a+2，
∴BM=CM−BC=5，
1
∵S = S ，
△ABD 2 △ABM
∴当△ABM的面积最大时，△ABD的面积最大，
1
∵△ABM的面积= AB⋅M H，AB=9，M H≤MB=5，
2
1 1 45
∴△ABD面积的最大值= ×9×5× = ．
2 2 4
45
故答案为：a>2.5， ．
4
{2a+2+9>2a−3①
由三角形三边关系定理得到 2a−3+9>2a+2②，即可求出a>2.5；延长AD交CB延长线于M，由
2a+2+2a−3>9③
AS A证明△ACD≌△MCD，推出AD=M D，CM=AC=2a+2，得到BM=CM−BC=5，又
1
S = S ，因此当△ABM的面积最大时，△ABD的面积最大，而AB=9，M H≤MB=5，即
△ABD 2 △ABM
可求出△ABD的面积的最大值．
本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是掌握三角形三
边关系定理，构造全等三角形．
17.【答案】解： 原式 ；
(1) =x y(y2−1)=x y(y+1)(y−1)
原式
(2) =2(x2−10x+25)
．
=2(x−5) 2
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学科网（北京）股份有限公司 16 1【解析】(1)提取公因式后利用平方差公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)(a−3b)(2a+b)
=2a2+ab−6ab−3b2
=2a2−5ab−3b2；
2a−a2 a−2
(2)(a−2+ )÷
a+2 a2+4a+4
(a−2)(a+2)+2a−a2 (a+2) 2
= ⋅
a+2 a−2
2a−4 (a+2) 2
= ⋅
a+2 a−2
2(a−2) (a+2) 2
= ⋅
a+2 a−2
=2(a+2)
=2a+4，
3 3
当a= 时，原式=2× +4=3+4=7．
2 2
【解析】(1)利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可
解答．
本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵AC=BD，
∴AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
{AD=BC
∠A=∠B，
AE=BF
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
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学科网（北京）股份有限公司 17 1∴∠ADE=∠BCF；
(2)∵△ADE≌△BCF，
∴DE=CF，∠ADE=∠BCF，
∴DG=CG，
∴EG=FG．
【解析】(1)由全等三角形的性质可得△ADE≌△BCF，可得∠ADE=∠BCF；
(2)由全等三角形的性质可得△ADE≌△BCF，可得DE=CF，∠ADE=∠BCF，可证DG=CG，
即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：原方程去分母得： ，
6(x+3)+x(x+3)=x2
去括号得：6x+18+x2+3x=x2，
移项，合并同类项得：9x=−18，
系数化为1得：x=−2，
经检验，x=−2是分式方程的解，
故原方程的解为x=−2．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 MON SSS MOC
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学科网（北京）股份有限公司 18 1【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：连接ON，CM．
∵PM⊥OA，PN=PM，
∴ON=OM(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等)，
∴∠MON=2∠POM．
∵OC=OM，
∴OC=ON．
在△OCM和△ON M中，
{OC=ON
OM=OM，
MC=M N
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学科网（北京）股份有限公司 19 1∴△OCM≌△ON M(SSS)，
∴∠MOC=∠NOM．
∴∠AOC=∠POM+∠COM=3∠POM，
即∠AOC=3∠AOB．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，MON，MC=M N，SSS，
MOC．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明△OCM≌△ON M(SSS)，推出∠MOC=∠NOM，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
22.【答案】9
【解析】解： ，
(1)∵5×74=m2+172
∴370=m2+289．
∴m2=81，
∵m>0，
∴m=9．
故答案为：9．
， ， ，
(2)∵41y=m2+n2 m=5c−4d y=c2+d2
．
∴41(c2+d2 )=(5c−4d) 2+n2
∴41c2+41d2=25c2−40cd+16d2+n2．
∴n2=16c2+40cd+25d2．
．
∴n2=(4c+5d) 2
∴n=4c+5d或n=−4c−5d．
， ， ，
(3)∵x=a2+b2 y=c2+d2 x y=m2+n2
．
∴(a2+b2 )(c2+d2 )=m2+n2
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学科网（北京）股份有限公司 20 1∴a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=m2+n2．
．
∴(a2c2+b2d2 )+(a2d2+b2c2 )=m2+n2
．
∴(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2−2abcd)=m2+n2
．
∴(ac+bd) 2+(ad−bc) 2=m2+n2
∴m和n的一组值为：m=ac+bd，n=ad−bc(答案不唯一)．
(1)5×74=370，172=289，那么m2=370−289=81，根据m>0可得m的值；
(2)把41y=m2+n2中的m和y换掉，整理，可得n2的值，进而可得n的值；
(3)把x y=m2+n2.中的x和y换掉，整理得到两个完全平方式相加等于m2+n2的形式，得到m和n的一组值
即可．
本题考查因式分解的应用．把所给等式整理成含有完全平方式的形式是解决本题的关键．用到的知识点为：
；两个数的平方相等，那么这两个数相等或互为相反数．
a2±2ab+b2=(a±b) 2
23.【答案】(1)解：①∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠DEC=90°，
∵∠DBA=∠DC A，AC=CD，
∴△ABE≌△DCE(A AS)，
∴AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE=45°；
②AC=2DE+BD．
理由：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，AE=DE，
∴AC=AE+CE=DE+DE+BD=2DE+BD；
(2)证明：过点F作FG⊥AM，交AM的延长线于点G，过点C作CH⊥AM于点H，过点A作
AN⊥BD，交BD的延长线于点N，过点D作DK⊥AC于点K，
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学科网（北京）股份有限公司 21 1∵∠ABD=∠DC A，∠DKC=∠ANB=90°，AB=CD，
∴△ABN≌△DCK(A AS)，
∴AN=DK，
又∵AD=DA，
∴Rt△ADN≌Rt△DAK(H L)，
∴∠ADN=∠DAK，
∵∠ADN=∠FDG，
∴∠FDG=∠DAK，
∵M为CF的中点，
∴CM=FM，
∵∠CM H=∠FMG，∠CH M=∠FGM，
∴△CM H≌△FMG(A AS)，
∴CH=FG，
∵∠AHC=∠G=90°，
∴△ACH≌△DFG(A AS)，
∴AC=DF．
【解析】(1)①证明△ABE≌△DCE(A AS)，由全等三角形的性质得出AE=DE，则可得出答案；
②由全等三角形的性质得出BE=CE，AE=DE，则可得出结论；
(2)过点F作FG⊥AM，交AM的延长线于点G，过点C作CH⊥AM于点H，过点A作AN⊥BD，
交BD的延长线于点N，过点D作DK⊥AC于点K，证明△ABN≌△DCK(A AS)，得出AN=DK，
证明Rt△ADN≌Rt△DAK(H L)，得出∠ADN=∠DAK，证明△CM H≌△FMG(A AS)，由
全等三角形的性质得出CH=FG，证明△ACH≌△DFG(A AS)，由全等三角形的性质得出
AC=DF．
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学科网（北京）股份有限公司 22 1本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】H、K
【解析】解：(1)当t=1时，A(2,1)，B(5,1)，
∴AB=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴C(2,4)，D(5,4)，
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2+x,y)，
∴2≤2+x≤5，1≤ y≤4，
∴0≤x≤3，1≤ y≤4，
∴H和K是图形N的“双称图形”，
故答案为：H、K；
②由①可知，E (2+m,2)，F (m+4,2)，G (m+3,3)，
2 2 2
当△E F G 与正方形ABCD有交点时，
2 2 2
{m+4≥1
，
2+m≤5
∴−3≤m≤3；
(2)设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2t+x,y)，
， ， ， ，
∴A (4t,1) B (4t+3,1) C (4t,4) D (4t+3,1)
2 2 2 2
∵正方形ABCD和正方形A B C D 有交点，
2 2 2 2
{4t≤2t+3
∴ ，
4t+3≥2t
3 3
∴− ≤t≤ ．
2 2
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学科网（北京）股份有限公司 23 1(1)由于两条对称轴都垂直于x轴，所以经过两次对称变化后，点的纵坐标不变；根据正方形的性质，写出
A，B，C，D的坐标；
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，根据两次对称变化的坐标变化，求出x，y的取值范围，然后判断
H，R，K是否是图形N的“双称图形”；
②根据①得出的x，y的变化规律，求出E，F，G的两次对称后的坐标，然后判断当两次对称后的三角形
与正方形有交点时m的取值即可；
(2)根据(1)中两次对称后坐标的变化规律，得出A，B，C，D两次对称后的坐标，然后根据两个正方形
有交点求出t的取值范围即可．
本题主要考查了四边形的综合题，根据对称的性质得出坐标变化规律是本题解题的关键．
25.【答案】2 ②④
【解析】解：(1)如图1，∵EF⊥BD于点F，
∴∠DFE=∠BFE=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠DEF=∠EDF=45°，
∴FD=FE，
∵△ABC是等边三角形，点D在BC延长线上，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=60°，
1
∴∠ABE=∠DBE= ∠ABD=30°，
2
1
∴FE= BE，
2
BE BE
∴ = =2，
FD FE
故答案为：2．
(2)如图1，∵BE=2FE，DE=√ FD2+FE2=√ 2FE，
∴BE≠DE，
∴点E不在BD的垂直平分线上，
∴点E不一定在BD的垂直平分线上，
故①错误；
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学科网（北京）股份有限公司 24 1如图2，连接CE，∵AB=CB，BE平分∠ABC，
∴BE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE=DE，
∴CE=DE，
∵EF⊥CD于点F，
∴CF=DF，
∴点F是线段CD的中点，
故②正确；
如图3，连接AF，
∵DF=BC=AC，CF=DF，∠BAC=∠ACB=60°，
∴CF=AC=BC，
∴∠CF A=∠C AF，
∴∠ACB=∠CF A+∠C AF=2∠C AF=60°，
∴∠C AF=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠C AF=90°，
∴AB⊥AF，
∴AD与AD不垂直，
故③错误；
如图2，∵∠BFE=90°，∠FBE=30°，
∴∠BEF=90°−∠FBE=60°，
∵BE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠AEC=2∠CEB，
∵CE=DE，EF⊥CD，
∴∠DEF=∠CEF，
∴∠DEC=2∠CEF，
∴∠AED=∠AEC+∠DEC=2(∠CEB+∠CEF)=2∠BEF=120°，
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学科网（北京）股份有限公司 25 1∴点D运动过程中，∠AED的大小始终不变，
故④正确，
故答案为：②④．
(1)由EF⊥BD于点F，得∠DFE=∠BFE=90°，则∠DEF=∠EDF=45°，所以FD=FE，
1 1
由△ABC是等边三角形，BE平分∠ABD，得∠ABE=∠DBE= ∠ABD=30°，则FE= BE，
2 2
BE BE
所以 = =2，于是得到问题的答案；
FD FE
(2)当∠EDF=45°时，由BE=2FE，DE=√ FD2+FE2=√ 2FE，得BE≠DE，则点E不在BD的
垂直平分线上，可判断①错误；连接CE，由AB=CB，BE平分∠ABC，得BE垂直平分AC，则
AE=CE，因为点E在AD的垂直平分线上，所以AE=DE，则CE=DE，所以点F是线段CD的中点，
可判断②正确；连接AF，可证明CF=AC=BC，则∠CF A=∠C AF=30°，所以∠BAF=90°，
则AB⊥AF，所以AD与AD不垂直，可判断③错误；由∠BFE=90°，∠FBE=30°，得
∠BEF=60°，再证明∠AEC=2∠CEB，∠DEC=2∠CEF，则∠AED=2∠BEF=120°，可
判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余等知识，此题综合性强，难度较大，
属于考试压轴题．
26.【答案】18 17
【解析】解：(1)∵2−0=|0−2|，
∴d(A,B)=5×2+4×2=18，
∵2−0<|0−(−3)|，
∴d(A,C)=4×2+3×3=17，
故答案为：18，17；
(2)设D(0,y)，y<0，
当−2≤ y<0时，2≥−y，
d(A,D)=5×2+4×(−y)=15，
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学科网（北京）股份有限公司 26 15
∴y=− ，
4
当y<−2时，2<−y，
d(A,D)=4×2−3 y=15，
7
y=− ，
3
5 7
∴D(0,− )或(0,− )；
4 3
(3)如图：过点A作直线y=x−2和y=−x+2，其中y=−x+2与y=x交于点R，
由一次函数的性质可知，当点在y=x−2和y=−x+2上时，|x−2|=|y|，
当点在R的上方时，|x−2|<|y|，当点在R的下方时，|x−2|>|y|，
①当P，Q同在R的上方，设P(a,a)，Q(b,b)，a>b>1，
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学科网（北京）股份有限公司 27 1∴d(A,P)=4|a−2|+3a，d(A,Q)=4|b−2|+3b，
∵d(A,P)=d(A,Q)=t，
∴4a−8+3a=8−4b+3b=t，
∴b=16−7a，
此时，11≥b，
∴d(A,P)=4|a−2|+3a，d(A,Q)=5(2−b)+4|b|，
∵d(A,P)=d(A,Q)=t，
∴7a−2=10−b(a≥2,b<0)或8−a=10−b(1b，
∴d(A,P)=5(2−a)+4|a|，d(A,Q)=5(2−b)+4|b|，
∵d(A,P)=d(A,Q)=t，
∴10−a=10−9b，
此时，a>0，b<0，矛盾；
综上所述，6≤t<7或t≥12．
(1)根据题干给出的新定义代入计算即可；
(2)根据y的取值范围分类讨论；
(3)先找出|x−2|=|y|的点，然后根据P，Q所在位置不同进行分类讨论，排除P，Q重合的情况，即
可得出t的取值范围．
本题主要考查了一次函数的综合运用，根据两种定义分类讨论是本题解题的关键．
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