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2022－2023 学年北京市东城区八年级第一学期期末数学
试卷
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合
题意的选项只有一个．
1．如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ．下面是“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图
痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．计算 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．正六边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
试卷第1页，共3页6．长方形的面积是 ．若一边长是 ，则另一边长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一张四边形纸片 沿对角线 翻折，点 恰好落在边 的中点处．
设 ， 分别为 和 的面积， 和 数量关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若一个多边形的内角和等于 ，这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
9．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃
的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A．4米，4米 B．4米，10米
C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米
10．在平面直角坐标系 中，长方形 的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为
4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．若分式 的值为0，则 的值为 ．
12．分解因式：2x2﹣8=
13．如图，点 在同一条直线上， ．添加一个条件，使得
．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 ．
试卷第2页，共3页14．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点D，点E为
的中点，连接 ．则 的度数是 ．
15．如图，在 是 的平分线， 于点E， ．
则 的面积大小为 ．
16．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，连接 ，
在线段 ，上作点M，使得 最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
方法① 方法② 方法③
过点P作 于点
作点P关于直线 的对称
过点P作 于点 C，过点Q作 于
点 ，连接 交 于
M，则点M为所求． 点D，取 中点M，则点
点M，则点M为所求．
M为所求．
其中正确的方法是 （填写序号），点M的坐标是 ．
试卷第3页，共3页三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19－25题，每
小题4分，第26题6分，第27－28题，每小题4分）解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程．
17．计算：
18．化简：
(1) ；
(2) ．
19．如图， ， ， ．求证： ．
20．在化简分式 时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问
题．
解：原式 ……①，
•……②，
……③，
……④
……⑤
(1)甲同学从第 步开始出错（填序号）；
(2)请你写出正确的解法．
21．先化简，再求值： ，其中 从 ， ， 三个数中任取一
个合适的值．
试卷第4页，共3页22．如图，在 ．
(1)求证： ；
(2)分别以点A，C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在 的左侧），
连接 ．求 的面积．
23．解分式方程： ．
24．课堂上，老师提出问题：
如图1， ， 是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的
空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离
也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充
完整．
步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段 的垂直平分
线上；若要使得点P到 ， 的距离相等，则只需点P在 的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作 的平分线 ，线段 的垂直平分线 ， 交
于点P，则点P为所求．
步骤3 证明：如图2，连接 ， ，过点P作 于点F， 于点G．
∵ ， ，且 （填写条件），
∴ （ ）（填写理由）．
∵点P在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ ）（填写理由）．
试卷第5页，共3页∴点P为所求作的点．
25．在 中， ， ．点M在 的延长线上， 的平分线交
于点D． 的平分线与射线 交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作 的平分线；
(2)求 的度数．
26．列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的 倍时，称这个
矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长
为 厘米，宽为 厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使
装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于 ．边衬的宽度应设
置为多少厘米？（注： ）
27．已知：在 中， ．点 与点 关于直线 对称，连接
交直线 于点 ．
(1)当 时，如图1．用等式表示， 与 的数量关系是： ， 与 的
数量关系是： ；
试卷第6页，共3页(2)当 是锐角( )时，如图2；当 是钝角时，如图3．在图2，图
3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系 中，对于点P和正方形 ，给出如下定义：若点P关
于y轴的对称点 到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称
点P是正方形 的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．
(1)当 时，
①点C的坐标是 ；
②在 三个点中， 是正方形 的“3倍距离点”；
(2)当 时，点 （其中 ）是正方形 的“2倍距离点”，求n的取
值范围；
(3)点 ．当 时，线段 上存在正方形 的“2倍距离
点”，直接写出a的取值范围．
试卷第7页，共3页1．D
【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够完全重合的图形，即可求解．
【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意；
C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对
称图形．
2．B
【分析】根据整式的运算法则即可判断．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方等知识，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹，结合两
个三角形全等的判定定理即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图
的依据是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作
图及两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
4．A
答案第1页，共2页【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．B
【分析】根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是熟记基本结论．
6．B
【分析】根据长方形的面积公式：面积 长 宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解： 长方形的面积是 ，一边长是 ，
另一边长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问
题的关键．
7．B
【分析】由折叠可知 ，根据中点的性质可知 的面积和 的面
积相等，进而求出 与 数量关系．
【详解】解：∵由折叠可知
∴
∵点 恰好是 的中点
∴
答案第2页，共2页∵ 的面积为 ， 的面积是
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面
积关系是解题的关键．
8．D
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方
程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
9．C
【分析】根据 米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．
【详解】解：当 米为底时，腰长为 米，另两边为7米、7米， ，符
合三角形三边关系，能组成三角形；
当 米为腰时，底边为 ，另两边为4米、10米， ，不符合三角形三边
关系，故不能组成三角形．
∴另两边为7米、7米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边
关系是解题的关键．
10．C
【分析】由题意判断点 在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
【详解】解： 长方形 的两条对称轴是坐标轴，点 在第一象限，
点 在第三象限，
长方形 的领边分别为
点 的坐标为 或
答案第3页，共2页故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题关
键．
11．0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】∵分式 的值为0，
∴x=0，x-1≠0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两
个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13． （答案不唯一）
【分析】由 得到 ，由 得到 ，根据两个三角形全等
的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用 判定 ；要么选
择 ，利用 判定 ，从而得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：
① ：取 ，
在 和 中，
，
答案第4页，共2页；
② ：取 ，
在 和 中，
，
；
③ ：取 ，
在 和 中，
，
；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判
定定理是解决问题的关键．
14．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到 ，然后利用
平分 交 于点D求得 的度数，利用三角形的内角和求得 的度数即
可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题
答案第5页，共2页的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．
15．13.5
【分析】根据角平分线的性质可得D到 的距离为3即可求得 的面积．
【详解】∵ 是 的平分线，
∴D到 的距离等于 的长，
∴ ，
故答案为：13.5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．
16． ②
【分析】作点P关于直线 的对称点 ，连接 交 于点M，点M即为所求．
【详解】解：作点P关于直线 的对称点 ，连接 交 于点M，点M即为所求．
观察图形可知，方法②正确；
延长 交y轴于点C，过点P作 轴于点D，设 与 交于点E，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵P关于直线 的对称点 ，
∴ ，
答案第6页，共2页∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为： ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
答案第7页，共2页∵ ，
∴ 轴，
把 代入 得： ，
∴ ．
故答案为：②； ．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
17．
【分析】根据绝对值运算、负整数指数幂运算及零指数幂分别计算，再利用有理数加减运
算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值运算、负整数指数幂、零指数幂等知识，
熟练掌握相关计算法则是解决问题的关键．
18．(1)
答案第8页，共2页(2)
【分析】（1）先利用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可
得到答案；
（2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法则及合并同类项运算即可
得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式化简以及整数混合运算，涉及积的乘方运算、约分、平方差公式、
完全平方差公式、去括号法则及合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关
键．
19．见解析
【分析】先通过 得出 ，从而证明 ，即可得
出结论．
【详解】证明： ，
．
即 ，
在 和 中，
∴ ．
答案第9页，共2页．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一
般方法有： 、 、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹
角．
20．(1)②
(2)
【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可；
（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．
【详解】（1）解：由题意知，甲同学从第②步开始出错，
故答案为：②；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减运算法则，是解题的关键．
21． ，
【分析】根据分式的减法计算括号内的，然后根据分式的乘法进行计算化简，最后根据分
式有意义的条件，将 代入求值即可求解．
【详解】解：原式
．
答案第10页，共2页由分式有意义，得
因此， ．
所以，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得 ，然后利用三角形内角和定理求
出 ，即可解答；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点E，根据题意可得 ，从而可
得 是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得 ，从而利用平角定
义可得 ，最后在 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得 ，
从而利用三角形的面积进行计算即可解答.
【详解】（1）在 中，
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∴ ；
（2）过点D作 的延长线于点E，
由作图得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
答案第11页，共2页∵ , ,
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．
【分析】根据分式方程解法：去分母、解整式方程、验根、下结论等步骤求解即可得到答
案．
【详解】解： ，
两边同时乘 得： ，
解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解决问题的关键．
24．点P在 的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上
任意一点，到线段两端点的距离相等
【分析】利用角平分线的性质，可得出 ，利用线段垂直平分线的性质，可得出
，进而可得出点P为所求作的点．
【详解】证明：如图2，连接 ， ，过点P作 于点F， 于点G．
∵ ， ，且点P在 的平分线上，
∴ （ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵点P在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴点P为所求作的点．
故答案为：点P在 的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平
分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及
线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
答案第12页，共2页25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据尺规作图法可作 的平分线；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形
内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握
尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．
26． 厘米
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于 列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设边衬的宽度为 厘米，则装裱后作品的长为 厘米，宽为
厘米
根据题意列方程，得
解得：
经检验， 是原分式方程的解,且符合实际意义．
答：边衬宽度应设置为 厘米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，解题关键是
找相等关系，学会分析题意，提高理解能力．
答案第13页，共2页27．(1)
(2)① ；见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出 ， ，
根据含30度角的直角三角形的性质，得出 ， ，进而得出 ；
（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求
解．
【详解】（1）解： ，点 与点 关于直线 对称，
， ， ，
则
， ，
， ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（2）选择图2时．
①补全图形如图2，
图2
②数量关系： ．
证明：在 上取点 ，使 ，连接 ．
答案第14页，共2页点 与点 关于直线 对称，
， ．
， ．．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．
选择图3时．
①补全图形如图3，
图3-
②数量关系： ．
证明：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ．
点 与点 关于直线 对称，
答案第15页，共2页， ．
， ．
， ．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形
的性质是解题的关键．
28．(1)①（0，4）；② ，
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）①当 时，可得点A（4，0），B（4，4）．根据四边形 是正方形，
可得 ，所以点C的坐标是（0，4）；
答案第16页，共2页②根据点 关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形 的边
所在直线 的最大距离是 ，到 的最小距离为1，可得点 是正方形 的
“3倍距离点”，同理即可解决问题；
（2）当 时，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），结合（1）即可解决问题；
（3）根据点 关于y轴的对称点坐标为 ，得直线 的
解析式为 ，设线段 上一点P（m，m），则 ，分两种情况讨论：当P在
正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．
【详解】（1）解：①当 时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
点C的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）；
②∵点 关于y轴的对称点坐标为（1，1），
而点（1，1）到正方形 的边所在直线 的最大距离是 ，到 的最小距离
为1，
∴点 是正方形 的“3倍距离点”；
同理可得点 是正方形 的“1倍距离点”；
答案第17页，共2页同理可得点 是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴ 是正方形 的“3倍距离点”，
故答案为： ；
（2）当 时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），
∵点 关于y轴的对称点坐标为（2，n）， ，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点 （其中 ）是正方形 的“2倍距离点”时，n的取值范围是
或 ；
（3）解：∵点 关于y轴的对称点坐标为 ，设直线
的解析式为 ，
代入 得，
答案第18页，共2页，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设线段 上一点P（m，m），
则 ，
当P在正方形内时，
① ，
∴ ，
∴ （舍去）；
② ，
∴ ，
∴ ；
当P在正方形外时，
，
∴ ，
∴ ；
此时不存在 的情况，
∴线段 上存在正方形 的“2倍距离点”，a的取值范围是 或 ．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距
离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特
殊位置．
答案第19页，共2页
