文档内容
北京市西城区 2023—2024 学年度第一学期期末试卷
八年级数学
注意事项
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满
分100分．第四大题为选做题，满分 10分，计入总分，但卷面总分不超过 100分．考试时间
100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图
形的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，根据相关运算法则逐一计算，即
可判断答案．
【详解】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算正确，符合题意；
D、 和 不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 在平面直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐
标互为相反数，解答即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故选：A．
4. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一
个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若 ， ，则 ， ，即 ，原变形错误，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、 ，原变形正确，符合题意；
C、若 ， ， ，则 ， ，即 ，原变形错误，不符合题意；
D、 ，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．若点D到 的距离为3，则
的长为（ ）
A. 12 B. 7.5 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到
角两边的距离相等．过点 作 于点 ，根据角平分线的性质，得到 ，再由30度
角所对的直角边等于斜边一半，得到 ，即可求出 的长．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
是 的角平分线， ，
，
点D到 的距离为3，
，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故选：C．
6. 如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A. B. C. 6 D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题
是关键．．由已知可知 ，再将代数式变形为 ，即可计算求值．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．
7. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， （ ）， 且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等
是解题的关键．
根据题意，分别作 轴， 轴，根据“一线三等角”模型证明 ，由此即可求
解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 在 轴 的负半轴上，
∴点 的横坐标为 ，
故选： ．
8. 如图，在 中， ， ，点D，E是边 上的两个定点，点M，N分别是边 ，
上的两个动点．当四边形 的周长最小时， 的大小是（ ）．
A. 45° B. 90° C. 75° D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角
形的内角和、外角和的综合运用．
根据题意，分别作点 的对称点 ，根据两点之间线段最短可确定点 的位置为点
，此时四边形 的周长最小，根据对称的性质可得 ，
，根据三角形的外角的性质可得 ，根据
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学科网（北京）股份有限公司直角三角形中两锐角互余可得出 ， ，运用等量待会即可求解．
的
【详解】解：如图所示，作点 关于 对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交
于点 ，
∴根据两点之间线段最短可得， 的值最小，
∴四边形 的周长最小值为： ，
∵在 中， ， ，即 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
根据对顶角的性质可得， ， ，
根据对称的性质可得， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
在 ， 中，
∵ ， ，
∴
，
∴当四边形 的周长最小时， 的大小是 ，
故选： ．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算：（1） ______；（2） ______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：（1） ，
为
故答案 ：1；
（2） ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司10. 若分式 有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．
11. 计算： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，利用同底数幂乘法法则，即可计算求值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 如图， 为等腰三角形， ， ，连接 ， ．只需添加一个条件即
可证明 ，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即
可．
【详解】添加条件为： ；
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼
成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为 ，
，
拼成的大正方形的边长为 ，
故答案为： ．
14. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲 清点完这批图书的 ，乙加入清点剩余的
图书，两人合作 清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书
需要 h，则根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程一
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学科网（北京）股份有限公司定要检验．设乙同学单独清点这批图书需要 小时，根据两人合作 清点完另一半图书，列出方程即可．
【详解】由题意可得：甲的工作效率为 ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 在正三角形纸片 上按如图方式画一个正五边形 ，其中点F、G在边 上，点E、H分
别在边 、 上，则 的大小是______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解
题关键．由边三角形的性质得到 ，由多边形内角和得出 ，再利用三角形外角的性
质，即可求出 的大小．
【详解】解： 是正三角形，
，
正五边形 的内角和为 ，
，
是 的外角，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ．
16. 如图，动点 与线段 构成 ，其边长满足 ， ， ．点 在
的平分线上，且 ，则 的取值范围是______， 的面积的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】在 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边”可知 ，代入数值即可确定 的取值范围；延长 交于点 ，首先利用
“ ”证明 ，由全等三角形的性质可得 ， ，进而可求
得 ，结合三角形中线的性质易知 ，确定 面积的最大值，即可获得答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
解得 ；
如下图，延长 交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 的面积取最大值，
即 ，
∴ ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三
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学科网（北京）股份有限公司角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题8分，第20题7分，第21题9
分，第22题8分，第23题9分，第24题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解；
（ ）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解；
本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
【小问1详解】
解：
，
；
【小问2详解】
解：
，
．
18. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，原式
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把 代入计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
= ．
当 时，原式 ．
19. 如图，点C、D在 上， ， ， ， 、 相交于点G．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）证明 ，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质，得出 ， ，再由等角对等边的性质，得到
，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
即 ．
20. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解分式方程，方程两边同乘以 变形为整式方程，解整式方程并检验，即可
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学科网（北京）股份有限公司确定原方程的解．
【详解】解： ,
方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以，原分式方程的解为 ．
21. 已知：如图， ．
求作：射线 ，使 ，且点C在直线 的下方．
作法：①在射线 上取一点P，过点P作射线 的垂线，与射线 相交于点M；
②在 的延长线上取一点N，使 ；
③以点O为圆心， 长为半径画弧，
再以点M 为圆心， 长为半径画弧，两弧在直线 下方相交于点C；
④作射线 ．
所以射线 即为所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ．（ ）（填推理的依据）
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∴ ，
即 ．
【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ； ；
； ；
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解
题关键．
（1）根据已知作法作图即可；
（2）由题意可知， 垂直平分 ，得到 ，证明 ，得到
，即可证明结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：如图，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
即 ，
故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ； ； ； ；
．
22. 阅读材料：
如果整数 ， 满足 ， ，其中 ， ， ， 都是整数，那么一定存在整数 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司使得 ．例如， ， ， 或 ，
……
根据上述材料，解决下列问题：
（1）已知 ， ， 或 ，……若 ，则
；
（2）已知 ， （ ， 为整数）， ．若 ，求 （用含 ，
的式子表示）；
（3）一般地，上述材料中的 ， 可以用含 ， ， ， 的式子表示，请直接写出一组满足条件的 ，
（用含 ， ， ， 的式子表示）．
【答案】（1）9 （2） 或
（3） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）结合 ， ，求解即可；
（2）将 ， 代入 ，整理可得 ，即可获得答案；
（3）根据题意，可得 ，结合 ，可令
， ，即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
故答案为：9；
【小问2详解】
解：根据题意， ， ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
令 ， ，
此时可有一组解 ， ，
即 ， ．
23. 在 中， ，点D在 的内部， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，线段 的延长线交 于点E，且 ．
①求 的度数；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，直接写出结果；
（2）如图2，点F在线段 的延长线上，连接 交射线 于点M，且M为 的中点．求证：
．
【答案】（1）①45度；②
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和为180度，
（1）①通过证明 可得 ，再由等边对等角及三角形内角和为180度即可
求解；②根据 可得 ，再由线段的转换即可求解；
（2）延长 到点N，使 ，在 上截取 ，通过证明 ，可得
，再证明 ，可得 ，由等边对等
角及角的转换可得 ，即可求解；
熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司①∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
延长 到点N，使 ，在 上截取 ，
∵M为 的中点，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给
出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为 ，图形 关于直线l对称的图形记为 ，若图形
与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当 时，对于点 和第三象限角平分线 ，点P关于y轴的对称点是
，点 关于直线l的对称点 在射线 上，则点P是射线 的“双称图
形”．
已知点 ， ，图形N是以线段 为一边在直线 上方所作的正方形 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，直线l和正方形 如图2所示．
①在 ， ， 这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点 ， ， ， 是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
（2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用；
（1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解；
②根据题意求得 两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据新定义，求得点 关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ；是图形N的“双称图形”；
②设点 关于 轴的对称点为 ，则 ，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，即
∴
同理可得 ， 关于 轴和直线 两侧对称后的对称点分别为 ，
∵ 是图形N的“双称图形”，
∴ 与正方形 有交点，
∴ 或 ，
解得： 或
【小问2详解】
解：∵已知点 ， ，
∴ 关于 轴的对称点为 ， 关于 轴对称的点的为
设点 关于 的对称点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即
∴ ，
设点 关于 的对称点为 ，
则 ，即
∴ ，
∵图形N是它自身的“双称图形”，
∴ ①或 ②
解不等式组①得
解不等式组②得
综上所述，
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25. 如图， 是等边三角形．点 是 延长线上的一个动点，连接 ，点 在 的垂直平分线
上，且 平分 ，连接 ， ，过点 作 于点 ．
（1）当 时， 的值为 ；
（2）给出下面四个结论：
①点 一定在 的垂直平分线上；
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学科网（北京）股份有限公司②点 一定是线段 的中点；
③当 时， ；
④点 运动过程中， 的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】（1）2 （2）②④
【解析】
【分析】（1）当 时，首先证明 为等腰直角三角形，易得 ，再结合等边三角
形的性质即角平分线的定义可得 ，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边
的一半”可得 ，即可求得 的值；
（2）给定条件无法确定 ，故无法确定点 一定在 的垂直平分线上，结论①不正确；连接
，由垂直平分线的性质可得 ，再证明 ，由全等三角形的性质可得
，进而可得 ，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点 是线段 的中
点，故结论②正确；当 时，可确定 ，故此时 不成立，结论③不正确；证
明 ，而 ，易得 ，即点 运动过程中，
的大小始终不变，故结论④正确．
【小问1详解】
解：如下图，
当 时，
第28页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
故答案为：2；
【小问2详解】
若点 一定在 的垂直平分线上，
则有 ，而题目条件无法确定 ，故结论①不正确；
连接 ，如下图，
∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点 是线段 的中点，故结论②正确；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故此时 不成立，结论③不正确；
如下图，
∵ ，
第30页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点 运动过程中， 的大小始终不变，故结论④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、
垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，综合性较强，综合
运用相关知识是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，给出如下定义将点 与 的“变
倍距离”记为 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
例如，点 与 的“变倍距离” ．
已知点 ．
（1）若点 ， ，则 ， ；
（2）点D在y轴负半轴上，且 ，求点D的坐标；
（3）点P，Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若 ，直
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学科网（北京）股份有限公司接写出t的取值范围．
【答案】26. 18，17
27. 点D的坐标为 或
28.
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义、坐标与图形、整式的运算等知识点，掌握分类讨论思想是解题的
关键．
（1）直接运用“变倍距离”的定义求解即可；
（2）分 和 两种情况根据“变倍距离”的定义求解即可；
（ 3 ） 设 ， 以 P 为 例 ， 分 别 求 出 和
，然后分别根据a、b的取值范围求出t的取值范围，
最后选择最大范围即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为：18，17．
【小问2详解】
解：设D的坐标为 ，
当 ，即 ，则 时， ，
解得 或 （不合题意舍去），则点D的坐标为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 ，即 ，则 时， ，
解得 或 （不合题意舍去），则点D的坐标为 ；
综上，点D的坐标为 或 ．
【小问3详解】
解：设 ，以P为例： ，
当 时， ，则 ，
∵ ，
∴此时 ， ，则 ，
当 时，
①当 时， ，则 ；
②当 时， ，则 ；
∴ ，
当 时，
①当 时， ，则 ，
②当 时， ，则
∴ ．
综上，t的取值范围为 ．
第33页/共33页
学科网（北京）股份有限公司
