文档内容
2022-2023学年北京市西城区八年级上学期期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a2＝a（a≠0）
3．（2分）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝ BC
4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，那么图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． ＝
B． ＝
学科网（北京）股份有限公司C． ＝﹣
D． ﹣ ＝
6．（2分）如果三角形两边长为3和6，第三边是奇数，那么第三边的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
7．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能
力由每周3000件提高到4200件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件
多少件？设原来平均每人每周投递快件x件（ ）
A． ＝ B．
C． ＝ ﹣40 D． ＝
8．（2分）在平面直角坐标系 xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若
△ABC是等腰直角三角形，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞3
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）计算： + ＝ ．
10．（2分）若 有意义，则x的取值范围为 ．
11．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE ．
12．（2分）计算：（3x+y﹣5）•（﹣2x）＝ ．
13．（2分）若x2+mx+25是完全平方式，则m＝ ．
14．（2分）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个
边长为（a﹣1），记图1，图2的阴影面积为S ，S ，则S ﹣S 可化简为 ．
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司15．（2分）已知：△ABC在平面直角坐标系中如图放置，且B（3，0），现另有一点D，B，D为
顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则
BE的长为 cm．
三．解答题（共8小题，满分68分）
17．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）4x2﹣64．
18．（10分）（1）已知x﹣ ＝10，求x2+ 的值．
（2）已知（a+25）2＝1000．求（a+15）（a+35）的值．
19．（8分）以下是小明同学解方程 的过程：
学科网（北京）股份有限公司解：方程两边同时乘（x﹣3），得
1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步
解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步
检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步
所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误．
（2）写出正确的解方程 的过程．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
21．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'；
坐标：A'（ ， ）、B'（ ， ）、C'（ ， ）
（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB最短．（保留痕迹）
（3）求△ABC的面积．
22．（8分）在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，把△ABC分成
两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段AC的垂直平分
线，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形
学科网（北京）股份有限公司请根据小明的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E（不写作法，不下结论，只
保留作图痕迹）
∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝ ．即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C．
∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴ ＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝ ．即△ABE是等腰三角形．故△EAC和△ABE是等腰三角形．
23．（10分）如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b），学校计划在中间留一
块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像
（1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝
（1）如图1，点D，E分别在边AB，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的
值 ；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，求证：CF垂直平分BE．
学科网（北京）股份有限公司四．解答题（共2小题）
25．观察以下等式：
第1个等式： ﹣ ＝ ；
第2个等式： ﹣ ＝ ；
第3个等式： ﹣ ＝ ；
第4个等式： ﹣ ＝ ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
26．如图1，在△ACD中，AD＝CD＝2， ，E为AB边上一动点（E与点A，B不重合），
连接CE，交射线AD于点F．
（1）求∠DAB的大小；
（2）如图2，当E为AB中点时，求CF的长；
（3）用等式表示线段AE，AF与AC之间的数量关系，并加以证明．
学科网（北京）股份有限公司2022-2023学年北京市西城区八年级上学期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a2＝a（a≠0）
【答案】D
【解答】解：A、a2•a3＝a8，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a7，故本选项不合题意；
C、（2a2）6＝8a6，故本选项不合题意；
D、a8÷a2＝a（a≠0），故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2分）若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝ BC
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：B．
4．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，那么图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解答】解：△ACE≌△ABD，△EBC≌△DCB，
∵BD、CE为高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△ACE≌△ABD（AAS）；
∴AD＝AE，EC＝BD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即EB＝DC，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SSS），
在△EOB和△DOC中，
，
∴△EOB≌△DOC（AAS）．
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． ＝
B． ＝
C． ＝﹣
D． ﹣ ＝
【答案】A
【解答】解：A、 ，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．（2分）如果三角形两边长为3和6，第三边是奇数，那么第三边的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
6﹣3＜x＜4+3，
解得：3＜x＜6，
故选：B．
7．（2分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能
力由每周3000件提高到4200件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件
多少件？设原来平均每人每周投递快件x件（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． ＝ B．
C． ＝ ﹣40 D． ＝
【答案】D
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递
快件（x+40）件，
依题意得： ＝ ．
故选：D．
8．（2分）在平面直角坐标系 xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若
△ABC是等腰直角三角形，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞3
【答案】C
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
学科网（北京）股份有限公司∴BH＝OA，
∵点A坐标为（0，3），
∴AO＝8，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴4＜a＜2，
∴3＜m＜4，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）计算： + ＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝1+2＝7，
故答案为：3．
10．（2分）若 有意义，则x的取值范围为 x ≠ 2 ， x ≠ 3 且 x ≠ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由若 有意义，x﹣3≠4，
解得x≠2，x≠3且x≠3；
故答案为：x≠2，x≠3且x≠4．
11．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE 60 ° ．
【答案】60°．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠FAE＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：60°．
12．（2分）计算：（3x+y﹣5）•（﹣2x）＝ ﹣ 6 x 2 ﹣ 2 x y +1 0 x ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝3x•（﹣2x）+y•（﹣4x）﹣5•（﹣2x）＝﹣2x2﹣2xy+10x，
故答案为﹣2x2﹣2xy+10x．
13．（2分）若x2+mx+25是完全平方式，则m＝ ±1 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故答案为：±10
14．（2分）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个
边长为（a﹣1），记图1，图2的阴影面积为S ，S ，则S ﹣S 可化简为 2 a ﹣ 2 ．
1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：S ﹣S ＝（a4﹣1）﹣（a﹣1）8＝a2﹣1﹣（a7﹣2a+1）＝a4﹣1﹣a2+3a﹣1＝2a﹣
1 2
6，
故答案为：2a﹣2．
15．（2分）已知：△ABC在平面直角坐标系中如图放置，且B（3，0），现另有一点D，B，D为
顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 （ 0 ，﹣ 2 ）或（ 2 ， 2 ）或（ 2 ，﹣ 2 ） ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】见试题解答内容
【解答】解：点D的可能位置如图所示：
则点D的坐标为：（0，﹣2），2），﹣2）．
故答案为：（0，﹣4）或（2，﹣2）．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则
BE的长为 6 cm．
【答案】6．
【解答】解：如图，连接AE，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝30°，
∵CE＝3cm，
学科网（北京）股份有限公司∴AE＝2CE＝2cm
∴BE＝6（cm）．
故答案为：6．
三．解答题（共8小题，满分68分）
17．（8分）分解因式：
（1）4x2﹣12x+9；
（2）4x2﹣64．
【答案】（1）（2x﹣3）2；
（2）4（x+4）（x﹣4）．
【解答】解：（1）原式＝（2x﹣3）8；
（2）原式＝4（x2﹣16）
＝2（x+4）（x﹣4）．
18．（10分）（1）已知x﹣ ＝10，求x2+ 的值．
（2）已知（a+25）2＝1000．求（a+15）（a+35）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x﹣ ＝10，
∴（x﹣ ）2＝100，即x2﹣2+ ＝100，
∴x2+ ＝102；
（2）设a+25＝t，
则t2＝1000，
∴a+15＝t﹣10，a+25＝t+10，
∴（a+15）（a+35）＝（t﹣10）（t+10）
＝t6﹣100
＝1000﹣100
＝900．
19．（8分）以下是小明同学解方程 的过程：
学科网（北京）股份有限公司解：方程两边同时乘（x﹣3），得
1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步
解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步
检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步
所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步
（1）小明的解法从第 一 步开始出现错误．
（2）写出正确的解方程 的过程．
【答案】（1）一；
（2） ．
【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣5x+9，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）50°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABC＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB＝∠DEB，
∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
21．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'；
坐标：A'（ 2 ， 3 ）、B'（ 3 ， 1 ）、C'（ ﹣ 1 ， ﹣ 2 ）
（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB最短．（保留痕迹）
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）2，3，3，1，﹣1，﹣2；
（2）图形见解答；
（3）5.5．
【解答】解：（1）点A、B、C关于y轴对称的点A'、C'的坐标分别为：
A'（2，3），2），﹣2），
故答案为：2，3，3，1，﹣3；
（2）如图所示：点P即为所求；
学科网（北京）股份有限公司（3）三角形ABC得面积＝4×5﹣ 1×3﹣ 2×3＝5.5．
22．（8分）在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，把△ABC分成
两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段AC的垂直平分
线，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形
请根据小明的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E（不写作法，不下结论，只
保留作图痕迹）
∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝ EC ．即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C．
∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴ ∠ AEB ＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝ AE ．即△ABE是等腰三角形．故△EAC和△ABE是等腰三角形．
【答案】作图见解析，EC，∠AEB，AE．
【解答】解：作图如下，△EAC和△ABE是所求作的三角形，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC．即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠C．
∵∠AEB＝∠EAC+∠C，
∴∠AEB＝2∠C．
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AEB，
学科网（北京）股份有限公司∴AB＝AE．即△ABE是等腰三角形．
故答案为：EC，∠AEB．
23．（10分）如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b），学校计划在中间留一
块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像
（1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意得：
（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+2ab+2ab+b2﹣a6﹣2ab﹣b2
＝（2a2+3ab）平方米．
答：绿化面积是（2a2+3ab）平方米；
（2）当a＝8，b＝4时．
答：绿化面积是44平方米．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝
（1）如图1，点D，E分别在边AB，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的值 2+
；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，求证：CF垂直平分BE．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；2+ ；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
同理，BC＝ ，
故答案为： ；3+ ；
（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
（3）证明：∵C，A，E三点共线，
∴CE＝CA+AE＝ +4，
∴CE＝CB，
∴点C在线段BE的垂直平分线上，
∵BD＝AB﹣AD＝ ，DE＝ ，
∴BD＝DE，
学科网（北京）股份有限公司∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分BE．
四．解答题（共2小题）
25．观察以下等式：
第1个等式： ﹣ ＝ ；
第2个等式： ﹣ ＝ ；
第3个等式： ﹣ ＝ ；
第4个等式： ﹣ ＝ ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝ （用含n的等式表
示），并证明．
【答案】（1） ＝ ；
（2） ＝ ，证明过程见解答．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式是 ＝ ，
故答案为： ＝ ；
（2）猜想的第n个等式是： ＝ ，
证明：
学科网（北京）股份有限公司＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝
＝ ，
故 ＝ 成立．
26．如图1，在△ACD中，AD＝CD＝2， ，E为AB边上一动点（E与点A，B不重合），
连接CE，交射线AD于点F．
（1）求∠DAB的大小；
（2）如图2，当E为AB中点时，求CF的长；
（3）用等式表示线段AE，AF与AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）60°；
（2） ；
（3）AE+AF＝ AC．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DP⊥AC，
学科网（北京）股份有限公司∵AD＝DC＝2，AC＝5 ，
∴AP＝CP＝ ，
∴DP＝ ＝1，
∴DP＝ AD，
∴∠DAC＝30°，
∵△ACB与△ACD关于直线AC对称，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝60°；
（2）如图2，作CH⊥AF于点H，
∴∠CHF＝∠CGB＝90°，
由题意，得△ADC≌△ABC，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝30°，
∵∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴CH＝CG，∠DAB＝60°，
∵∠AEC+∠AFC＝360°﹣∠DAB﹣∠ECF＝180°，∠AEC+∠CEG＝180°，
∴∠CFH＝∠CEG，
∴△CFH≌△CEG（AAS），
学科网（北京）股份有限公司∴CF＝CE，
在Rt△CBG中，∠CBG＝2∠CAB＝60°，
∴BG＝1，CG＝ ，
在Rt△CEG中，EG＝EB+BG＝ ，
∴CE＝ ＝ ＝ ，
∴CF的长为 ；
（3）线段AE，AF与AC之间的数量关系为：AE+AF＝ ；
证明如下：
由（2）得△CFH≌△CEG，
∴FH＝EG，
∵AC＝AC，CH＝CG，
∴Rt△ACH≌Rt△ACG（HL），
∴AH＝AG，
在Rt△ACG中，∠CAG＝30°，
∴AG＝ AC，
∴AE+AF＝AG﹣EG+AH+FH＝2GA＝ AC．
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