文档内容
北京市西城区 2023—2024 学年度第二学期期末试卷
八年级数学
注意事项
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满
分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间
100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是
整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可作出判断．本题考查了
二次根式的性质．
【详解】解：A． ，则 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B． ，则 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D． ， 则 不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3，
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就
是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A．∵ ，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B．∵ ，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意；
C．∵ ，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D．∵ ，∴不能构成直角三角形，，故该选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案．
【详解】解：A． ，计算错误，不合题意；
B． ，计算错误，不合题意；
C． ，计算错误，不合题意；
D． ，计算正确，符合题意；
故选D．
4. 如图，在 中，D，E分别是 ， 的中点， 交CB的延长线于点F．若 ，
，则 的长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线
定理是解题的关键．根据D是 的中点， ，可以得到 ，进而求出 ，再由三
角形中位线定理，即可求出 ．
【详解】解： D是 的中点， ， ，
是 的垂直平分线，
,
， ，
，
D，E分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
．
故选：A．
5. 某校艺术节歌唱比赛中，有 位评委对选手的表现打分，某位选手所得 个分数组成一组数据．根据
评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余 个分数作为一组新数据．下列统计量中，
新数据与原数据相比一定不变的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产
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学科网（北京）股份有限公司生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生
影响，即中位数，
故选： ．
6. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而增大，则点 的坐
标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，一次函数 ，当 时，
随 的增大而增大，因此将下列各点代入，能使 的即可．掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A．把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
此时 随 的增大而减小，故此选项不符合题意；
B．把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
此时 随 的增大而增大，故此选项符合题意；
C．把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
此时 随 的增大而减小，故此选项不符合题意；
D． 把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
此时 随 的增大而减小，故此选项不符合题意．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（ ），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示
的方式拼成正方形 ，其边长为 ．图中正方形 ，正方形 和正方形 的面
积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式，
首先根据勾股定理得到 ，然后利用正方形 ，正方形 和正方形
的面积之和为： 代入求解即可．
【详解】∵
∴
∴正方形 ，正方形 和正方形 的面积之和为：
．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司8. 如图 1，在 中， ， ， ，P 是边 上的一个动点，过点 P 分别作
于点D， 于点E，连接 ．如图2所示的图象中， 是该图象的最低点．
下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）
A. 点P与B的距离为x，点P与C的距离为y
B. 点P与B的距离为x，点D与E的距离为y
C. 点P与D的距离为x，点P与E的距离为y
D. 点P与D的距离为x，点D与E的距离为y
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，先由勾股定理得到
，如图所示，连接 ，过点A作 于F，由等面积法得到 ，
则 ；再证明四边形 是矩形，得到 ；则当 时， 最小，即此时 最
小，即 的最小值为 ；再由而点P到点E的距离可以无限小，得到点D与E的距离为y，点P到点D
的距离可以无限性，得到点P与B的距离为x，据此可得答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
如图所示，连接 ，过点A作 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
∴当 时， 最小，即此时 最小，
∴ 的最小值为
而点P到点E的距离可以无限小，
∴由函数图象可知点D与E的距离为y，
的
而点P到点D 距离可以无限性，
∴由函数图象可知点P与B的距离为x，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
的
【分析】先根据二次根式有意义 条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
10. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过点
，该一次函数的表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出
，由一次函数 的图象经过点 ，用待定系数即可求出一次函数解析式．
【详解】解： 一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∵
k值不变， ，
∴
一次函数为： ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司一次函数 的图象经过点 ，
∵
，
∴
一次函数的表达式为： ，
∴
故答案为： ．
11. 在 中， ，则 ________ ．
【答案】100
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．根据平行四边形对
角相等求出 ，再根据 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 用一个a的值，说明命题“ ”是假命题，这个值可以是 ______．
【答案】-1（答案不唯一， 即可．）
【解析】
【分析】选取的 的值不满足 即可．
【详解】解： 时，满足 是实数，但不满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 可作为说明命题“如果 是任意实数，那么“ ”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一， 即可．）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
13. 如图，平行四边形 的对角线 相交于点O， ， ， ，则
的长为____________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得
，再由勾股定理求出 即可
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
14. 一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成，各部分成绩均
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学科网（北京）股份有限公司按百分制计，然后再按小组自评占 、组间互评占 、教师评价占 ，计算小组的综合成绩，甲、
乙两个小组各部分的成绩如下表所示，则____________组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）．
小组 小组自评 组间互评 教师评价
甲组
乙组
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键．
根据各组数据的百分制进行运算加权平均数求解比较即可．
【详解】解：甲组的综合成绩为： ；
乙组的综合成绩为： ；
故乙组的综合成绩更高，
故答案为：乙．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 轴于点 ，以 为边作菱形 ，若
点 在 轴上，则点 的坐标为____________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点 在原点的右侧；②点 在原
点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵点 ， 轴，
∴ ， ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
在 中， ，
①点 在原点的右侧，如图，
∵ ，点 在 轴上，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
则线段 向下平移 个单位再向右平移 个单位与线段 重合，其中点 是点 的对应点，点 是
点 的对应点，
∴ ；
②点 在原点的左侧，如图，
∵ ，点 在 轴上，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则线段 向下平移 个单位再向左平移 个单位与线段 重合，其中点 是点 的对应点，点 是
点 的对应点，
∴ ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
16. 小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，
于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以
原速度的 倍快步赶往图书馆，并在从家出发 时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略
不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．
（1）小华从家出发____________ 时，爸追上小华；
（2）图书馆离小华家____________ ．
【答案】 ①. 10 ②. 1760
【解析】
【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组的应用，看懂变量之间的图像是解
题的关键．
（1）根据图像即可得出答案，
（2）设小华原来的速度为 ，爸爸的速度为 ，则小华后来的速度为 根据函
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学科网（北京）股份有限公司数图像关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度计算即可得
出答案．
【详解】解：（1）由图像可得出时间为 的时候，小华与爸爸之间的距离y为0，
即小华从家出发 时，爸爸追上小华；
故答案为：10．
（2）设小华原来的速度为 ，爸爸的速度为 ，
则小华后来的速度为
根据函数关系图可得出： ，
解得： ，
∴小华原来的速度为 ，后来的速度为： ，
∴图书馆离小华家
故答案为：1760．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题9分，第19－22题，每题8分，第23题10分，
第24题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的化简方法．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和加法合并；
（2）先用平方差公式展开，计算二次根式的乘法即可；
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：原式：
．
【小问2详解】
原式：
．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ．点 在第一象限，且四边
形 是矩形．
（1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
作法：以点 为圆心， 的长为半径画弧，再以点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧在第一象限相
交于点 ，连接 ， ，则四边形 是矩形．
（2）根据（1）中的作法，完成下面的证明：
证明：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴四边形 是矩形，（ ）（填推理的依据）
（3）若直线 的表达式为 ，直接写出矩形 的面积和直线 的表达式．
【答案】（1）作图见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3） ，
【解析】
【分析】（1）由题意作图即可；
（2）根据矩形的判定定理即可得证；
（3）确定点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意作图如下：
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）
∵ ，
∴四边形 是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；
【小问3详解】
解：∵直线 ： 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴矩形 的面积为： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
则线段 向上平移 个单位与线段 重合，其中点 是点 的对应点，点 是点 的对应点，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ．
【点睛】本题考查作图—应用与作图，考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定，
矩形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定正比例函数图像的解析式．掌握尺规作图，
矩形的判定与性质及一次函数的应用是解题的关键．
19. 如图，在 中， 交 于点 E，交 的延长线于点 F，且 ，连接
．
（1）求证：四边形 是菱形；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出 ， ，再利用直角三角形斜边的中线等于
斜边的一半得出 ，根据菱形的判定即可证明．
（2）由菱形的性质得出 ，进而得出 ，根据勾股定理得出 ，利用平行四边形的性
质得出 ，根据菱形的性质求菱形的面积即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
∴四边形 是菱形．
【小问2详解】
∵四边形 是菱形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴
在 中， ， ， ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应
用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，点 在直线 ： 上，直线 ： 经过点A，且与
x轴交于点 ．
（1）求m的值及直线 的表达式；
（2）点 在直线 上， 轴交直线 于点D，点D的纵坐标为 ．若 ，直接写出
n的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的
性质并灵活运用是解答的关键．
（1）先根据一次函数图象点的坐标特征求得点A坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）根据题意得到 ， ，再结合已知列不等式组求解即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵点 在直线 ： 上，
∴ ，则 ，
∵直线 ： 经过点A，且与x轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵点 在直线 上， 轴交直线 于点D，点D的纵坐标为 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
21. 某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为 ，其中
A款包装盒中的苹果果径要求是 ，B款包装盒中的苹果果径要求是 ．从这2000个
苹果中障机抽取20个，测量它们的果径（单位： ），所得数据整理如下：
80 81 82 82 83 84 84 85 86 86
87 87 87 89 90 91 92 92 94 98
（1）这20个苹果的果径的众数是 ，中位数是 ；
（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中
分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示．
包装盒1的苹
80 81 82 82 83 84
果果径
包装盒2的苹
86 86 87 87 87 89
果果径
其中，包装盒 中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；
（3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）2 （3）估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果约有700个
【解析】
【分析】此题考查了方差、众数和中位数、样本估计总体等知识，熟练掌握相关统计量的计算是解题的关
键．
（1）根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）分别求出包装盒1和包装盒2的苹果果径的方差，比较后即可得到答案；
（3）用2000乘以抽取的样本中符合A款包装盒中的苹果果径的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：这20个苹果的果径中出现次数最多的是87，共出现3次，故众数为 ，
这 20 个苹果 的果径从小到大排列后，处在第 10 位和第 11 位的是 86 和 87，故中位数为
，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
包装盒1的苹果果径平均数为：
，
包装盒1的苹果果径的方差为：
，
包装盒2的苹果果径平均数为：
，
包装盒2的苹果果径的方差为：
，
第21页/共39页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴包装盒2中的苹果大小更均匀，
故答案为：2
【小问3详解】
在抽取的20个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果共有7个．
（个）．
答：估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果约有700个．
22. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，
五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（ 步 尺）
提取信息
秋千静止时，踏板离地面 尺高；将秋千的踏板向前推动 步（即 尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，
同为 尺．秋千的绳索长是多少？
画示意图
假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图， 是秋千的固定点，点 是秋千静止时路板的位置，
点 是向前推动 尺（水平距离）后踏板的位置．直线 是地面， 于点 ， 于点 ．
解决问题
（1）图中 尺， 尺， 尺；
（2）求秋千的绳索长．
【答案】（1） ， ， ；
（2）秋千的绳索长为 尺．
第22页/共39页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
（ ）根据题意即可求解；
（ ）如图，过点 作 于点 ，可得四边形 是矩形，得到 尺，
尺，设秋千的绳索长为 尺，则 ， ，在
中由勾股定理得 ，解方程即可求解；
【小问1详解】
解：由题意可得， 尺， 尺， 尺，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
如图，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 尺， 尺，
设秋千的绳索长为 尺，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
第23页/共39页
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
答：秋千的绳索长为 尺．
23. 对于函数 （ 为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小
明的探究过程补充完整，并解决问题．
（1）当 时，函数为 ；当 时，函数为 ．用描点法画出了这两个函数的图象，
如图所示．
观察函数图象可知：
函数 的图象关于 对称；
对于函数 ，当 时， ；
（2）当 时，函数为 ．
①在图中画出函数 的图象；
②对于函数 ，当 时， 的取值范围是 ；
（3）结合函数 ， 和 的图象，可知函数 （ ）的图象可由
函数 的图象平移得到，它们具有类似的性质．
①若 ，写出由函数 的图象得到函数 的图象的平移方式；
②若点 和 都在函数 的图象上，且 ，直接写出 的取值范围（用含 的
第24页/共39页
学科网（北京）股份有限公司式子表示）．
【答案】（1）y轴； 或
（2）①见解析；②
（3）①将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象；② ．
【解析】
【分析】（1）由图像可得函数 的图象关于 轴对称，令 中， ，得 ，
求解即可；
（2）①描点、连线画出函数 的图象即可；②分别求出当 ， ， 时，
的函数值，再结合图形求解即可；
（3）由 ，得 的图像关于 对称，点 关于
的对称点为 ，再根据 ，得 ，求解即可．
【小问1详解】
解：由图像可得，函数 的图象关于 轴对称；
令 中， ，则 ，
，
解得 或 ，
∴对于函数 ，当 或 时， ，
故答案为：y轴；-5或-2；
【小问2详解】
解：①函数 的图象如下图所示，
第25页/共39页
学科网（北京）股份有限公司②当 时， ，当 时， ，当 时， ，
结合图形可得，当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：① ，
∴结合图形可得，若 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象；
②∵ ，
∴ 的图像关于 对称，
∴点 关于 的对称点为 ，
∵若点 和 都在函数 的图象上，且 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，画一次函数图像，解不等式，坐标与图形，熟练掌握一
次函数的图像及性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司24. 在正方形 中，E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ，P为点B关于直线
的对称点．
（1）连接 ，作射线 交射线 于点F，依题意补全图1．
①若 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明；
（2）已知 ，连接 ，若 ，M，N是正方形 的对角线 上的两个动点，且
，连接 ， ，直接写出 的最小值．
【答案】（1）补全图形见解析， ； ，证明见解析
① ②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出 ，由正方形的性质可得
出 ， ，由三角形内角和定理即可得出
②过点A作 于点G，则 ，由等腰三角形三线合一的性质可得出 ，由
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学科网（北京）股份有限公司①可知， ， ，即可求出 ，进一步可得出 ，由勾股定理
可得出 ，由线段的和差关系可得出 ，变形即可得证．
（2）由对称得 ， ，结合等腰三角形的性质得点 E 为 的中点，过点 A 作
，且 ，则四边形 为平行四边形，那么 的最小值就等于
，当点G，M，E三点共线时， 取最小值，由题意得 ，过点G作
交 于点Q，作 交 延长线于点H，则四边形 为矩形，有 ，
，求得 ，对应有 ， ，利用勾股定理求得 ，即可求
得 的最小值．
【小问1详解】
解：补全图形如下：
①∵点P与点B关于直线 对称
∴ 垂直平分 ， ，且 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
②过点A作 于点G，如下图：则
∵ ，
∴ ，
∵ ，
由①可知， ， ，
∴
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
即 ．
【小问2详解】
由对称性得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
则 ,
∴E为 的中点，
∵ ，
∴ ，
过点A作 ，且 ，
则四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的最小值就等于 ，
∴当点G，M，E三点共线时， 取最小值，
∵ ，
∴ ，
过点G作 交 于点Q，作 交 延长线于点H，
则四边形 为矩形，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判
定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小
值．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25. 对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．
例如 ，可以看作平面直角坐标系 中，动
点 与定点 或 之间的距离（如图）．
请参考上面的方法解决下列问题：
（1）若将 看作平面直角坐标系 中，动点 与定点C之间的距离，则点C的坐标
可以是 （写出一个即可）；
（2）若 ，直接写出d的最大值．
【答案】（1） ，
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本
题考查学生综合能力，属于中等题型．
（1）根据题干提供的信息进行解答即可；
（2）根据已知条件得到 ，由（1）可知：
表示点 与点 的距离 和点 与点 的距离
之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时， 取最大值，且
最大值为 的长，求出最大值即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴动点 与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是 或 ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴由（1）可知： 表示点 与点 的距离 和点 与
点 的距离 之差，
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴当P、E、F三点共线时， 取最大值，且最大值为 的长．
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学科网（北京）股份有限公司∴d的最大值为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，对于线段a，给出如下定义：直线 ： 经过线段a的一个端点，
直线 ： 经过线段a的另一个端点．若直线 与 交于点P，且点P不在线段a上，则称点P
为线段a的“双线关联点”．
（1）如图，线段a的两个端点分别为 和 ，则在点 ， ， 中，线段
a的“双线关联点”是 ；
（2） ， 是直线 上的两个动点．
①点P是线段 的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；
②正方形 的四个顶点的坐标分别为 、 、 、 ，其中 ，当点
A，B在直线上运动时，不断产生线段 的“双线关联点”，若所有线段 的“双线关联点”中，恰有
两个点在正方形 上，直接写出t的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）①点P的横坐标为 或 ；②
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，
熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）分类讨论：若直线 经过点 ，直线 经过点 ，求得直线 ： ，直线 ：
，联立得： ，解得： ，故点 是线段a的“双线关联点”； 若直线 经
过点 ，直线 经过点 ，同上可求点 是线段a的“双线关联点”；
（2）①：将点A、B代入 得， ，则 ，当直线
经过点 ，直线 经过点 时，求得直线 ： ，直线 ：
，联立得： ，解得： ，故 ，解得：
，因此 ；当直线 经过点 ，直线 经过点 时，同上
可求 ，综上所述，点P的横坐标为 或 ；
②：设线段 的“双线关联点”为M，N，则 ，由①得：
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学科网（北京）股份有限公司，消去m可得： ，则点M在直线 上运动，同理可求点N在直
线 上运动，将问题转化为正方形 与直线 和直线 恰有2个
交点，当 且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线 上， 则
，解得： ，当t继续增大，此时 ，则直线 与正方形有2个交点，当t继续增大，
直至点 落在直线 ，则 ，解得 ，此时有3个交点，因此满足2个交点，则
，当 时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述： ．
【小问1详解】
解：若直线 经过点 ，直线 经过点 ，
则代入得： ，
∴直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴点 是线段a的“双线关联点”；
若直线 经过点 ，直线 经过点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则同理可求：直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴点 是线段a的“双线关联点”，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：①将点A、B代入 得， ，
∴ ，
当直线 经过点 ，直线 经过点 时，
则代入得： ， ，
解得： ， ，
∴直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得： ，
∴ ；
当直线 经过点 ，直线 经过点 时，
同上可求： ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
综上所述，点P的横坐标为 或 ；
②设线段 的“双线关联点”为M，N，则 ，
由①得： ，
消去m可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点M在直线p： 上运动，
同理可求点N在直线l： 上运动，
∵线段 的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形 上，
∴正方形 与直线 和直线 恰有2个交点，
当 且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图：
随着t增大，当点E落在直线 上，此时1个交点，不符合题意，如图：
则 ，解得： ，
当t继续增大，此时 ，则直线 与正方形有2个交点，符合题意，如图：
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学科网（北京）股份有限公司当t继续增大，直至点 落在直线 ，则 ，解得 ，此时有3个交点，不符合题意，
如图：
∴满足2个交点，则 ，
当 时，此时有4个交点，不符合题意，如图：
综上所述： ．
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