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2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选
项只有一个．
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
2．（2分）若分式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥2
3．（2分）如图垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．（2分）分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．同位角相等 D．全等三角形对应角相等
6．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠ 的大小为（ ）
α
A．85° B．75° C．65° D．60°
7．（2分）任意掷一枚骰子，下列事件中是必然事件，不可能事件，随机事件的顺序是（
）
①面朝上的点数小于1；
②面朝上的点数大于1；
③面朝上的点数大于0．
第1页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①②
8．（2分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得
△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若 有意义，则实数a的取值范围是 ．
10．（2分）若分式 的值为0，则x＝ ．
11．（2分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，若从中随
机摸出一个，则摸到黄球的概率是 ．
12．（2分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
13．（2分）已知 432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若 n为整数且 n＜
＜n+1，则n的值是 ．
14．（2分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 ．
第2页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司15．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线
折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线
折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的
大小为 °．
16．（2分）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”．
（1）1﹣ 与 互为“匀称数”；
π
（2）已知 ，那么m与 互为“匀称数”．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第
27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算： ．
18．（5分）计算： ．
19．（5分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，AC＝DF，AC∥DF．求证：
∠A＝∠D．
20．（5分）计算： ．
21．（5分）解方程： +1＝ ．
第3页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司22．（5分）列方程解应用题．
同学们在计算机课上学打字．张帆比王凯每分钟多录入 20个字，张帆录入300个字与
王凯录入200个字的时间相同．问王凯每分钟录入多少个字．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：
在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
24．（6分）一个三角形三边长分别为a，b，c．
（1）当a＝3，b＝4时，
①c的取值范围是 ；
②若这个三角形是直角三角形，则c的值是 ；
（2）当三边长满足 时，
①若两边长为3和4，则第三边的值是 ；
②在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：
已知两边长为a，c（a＜c），求作长度为b的线段（标注出相关线段的长度）．
25．（6 分）若关于 x 的分式方程 的解是负数，当 m 取最大整数时，求
m2+2m+1的平方根．
26．（6分）在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点
第4页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司E，点F在BC边上，连接DF，EF．
（1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长；
（2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，则EF的长为 （用含a的式子表示）．
27．（7分）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此 的小数部分我
们不可能全部写出来，于是小燕用 来表示 的小数部分．理由是：对于正无理
数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为 的整数部分为1，所以 的
小数部分为 ．
参考小燕同学的做法，解答下列问题：
（1）写出 的小数部分为 ；
（2）已知 与 的小数部分分别为a和b，求a2+2ab+b2的值；
（3）如果 ，其中x是整数，0＜y＜1，那么 ＝ ；
（4）设无理数 （m 为正整数）的整数部分为 n，那么 的小数部分为
（用含m，n的式子表示）．
28．（7分）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和
∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高
AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： （填
“是”或“否”）；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝ ，则DE＝ ；
第5页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为 （用含a的式子表示）．
第6页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选
项只有一个．
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2．（2分）若分式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥2
【分析】根据方式有意义的条件，即分母不为零解答即可．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴a﹣2≠0，
解得：a≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为零．
3．（2分）如图垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：③④能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形，
第7页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司②③不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
4．（2分）分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得
答案．
【解答】解： 可变形为﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查了分式基本性质，分子、分母、分式任意改变两项的符号，分式的值
不变．
5．（2分）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．同位角相等 D．全等三角形对应角相等
【分析】利用对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的性质分
别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题，符合题意；
D、全等三角形的对应角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、直角三角形的性
质、平行线的性质及全等三角形的性质，难度不大．
6．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠ 的大小为（ ）
α
第8页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司A．85° B．75° C．65° D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
∠ ＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故α选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知性质定理是解答此题的关键．
7．（2分）任意掷一枚骰子，下列事件中是必然事件，不可能事件，随机事件的顺序是（
）
①面朝上的点数小于1；
②面朝上的点数大于1；
③面朝上的点数大于0．
A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①②
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的特点判断即可．
【解答】解：任意掷一枚骰子，
①面朝上的点数小于1，这是不可能事件，
②面朝上的点数大于1，这是随机事件，
③面朝上的点数大于0，这是必然事件，
上列事件中是必然事件，不可能事件，随机事件的顺序是：③①②，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的特点是解
第9页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司题的关键．
8．（2分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得
△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分三种情况，AP＝AB，BA＝BP，PA＝PB．
【解答】解：分三种情况，如图：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P ，P 两个点，
1 2
∵BA＝BP ，∠ABC＝60°，
2
∴△ABP 是等边三角形，
2
∴AB＝BP ＝AP ，
2 2
当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P ，
2
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P ，
2
综上所述，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点 P有2
个，
第10页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，根据题目的已知画出图形是解题的关键，同时
渗透了分类讨论的数学思想．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若 有意义，则实数a的取值范围是 a ≥ 3 ． ．
【分析】根据题意得，a﹣3≥0，求解即可得到答案．
【解答】解：根据题意得，a﹣3≥0，
∴a≥3．
故答案为：a≥3．
【点评】此题考查的是二次根式，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义
的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
10．（2分）若分式 的值为0，则x＝ 5 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x﹣5＝0且2x+1≠0．
解得x＝5．
故答案是：5．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．（2分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，若从中随
机摸出一个，则摸到黄球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和
3个黄球，共8个，
从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，
第11页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12．（2分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100
．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代
表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝
64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
13．（2分）已知 432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若 n为整数且 n＜
＜n+1，则n的值是 4 4 ．
【分析】估算出 的值即可解答．
【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴1936＜2022＜2025，
∴44＜ ＜45，
∵n为整数且n＜ ＜n+1，
∴n＝44，
故答案为：44．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
14．（2分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 1 ．
第12页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
0＜m＜1，
∴m﹣1＜0，
∴
＝m+1﹣m
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题
的关键．
15．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线
折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线
折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的
大小为 7 2 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA
＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝
∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
第13页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠ABC＝72°
故答案为72
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思
想思考问题，属于中考常考题型．
16．（2分）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”．
（1）1﹣ 与 互为“匀称数”；
π π
（2）已知 ，那么m与 ﹣ 1 互为“匀称数”．
【分析】（1）直接利用“匀称数”的定义得出答案；
（2）直接利用利用二次根式的混合运算法则得出m的值，进而结合“匀称数”的定义
得出答案．
【解答】解：（1）∵如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”，
∴设1﹣ 与x互为“匀称数”，
则1﹣ +πx＝1，
则x＝π，
故1﹣π与 互为“匀称数”；
故答案π为：π ；
π
（2）∵ ，
∴m﹣1＝﹣ ，
则m﹣1＝﹣（ ﹣1），
解得：m＝﹣ +2，
∵﹣ +2+（ ﹣1）＝1，
∴m与 ﹣1互为“匀称数”．
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及新定义，正确理解新定义是解题关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第
第14页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算： ．
【分析】先算乘除，然后再算减法．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝2﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运
算法则是解题关键．
18．（5分）计算： ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：
＝2 +8+3 ﹣2
＝5 +6．
【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，准确熟练地把每一个二次根式
化成最简二次根式，是解题的关键．
19．（5分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，AC＝DF，AC∥DF．求证：
∠A＝∠D．
【分析】先由平行线的性质得∠ACB＝∠DFE，再证 BC＝EF，然后由 SAS 证
△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵BF＝EC，
第15页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
20．（5分）计算： ．
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝a+1，
【点评】本题考查分式的加法运算，解题的关键是分式的加法运算法则，本题属于基础
题型．
21．（5分）解方程： +1＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+2x+6＝7，
移项合并得：6x＝1，
解得：x＝ ，
经检验，x＝ 是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程
转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
第16页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司22．（5分）列方程解应用题．
同学们在计算机课上学打字．张帆比王凯每分钟多录入 20个字，张帆录入300个字与
王凯录入200个字的时间相同．问王凯每分钟录入多少个字．
【分析】设王凯每分钟录入x个字，则张帆每分钟多录入（x+20）个字，根据“张帆录
入300个字与王凯录入200个字的时间相同”列出方程，求解即可．
【解答】解：设王凯每分钟录入x个字，则张帆每分钟多录入（x+20）个字，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验知x＝40是原方程的解，
答：王凯每分钟录入40个字．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据“张帆录入 300个字与王凯录入200个
字的时间相同”列出方程是解决问题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：
在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
【分析】（1）作射线AD平分∠CAB交BC于点D，点D即为所求；
（2）过点D作DH⊥AB于点H．利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）过点D作DH⊥AB于点H．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
第17页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∵S△ABC ＝S△ACD +S△ADB ，
∴ •AC•BC＝ •AC•CD+ •AB•DH，
∴ ×6×8＝ ×6×CD+ ×10×CD，
∴CD＝3．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题
的关键是学会利用面积法解决问题．
24．（6分）一个三角形三边长分别为a，b，c．
（1）当a＝3，b＝4时，
①c的取值范围是 1 ＜ c ＜ 7 ；
②若这个三角形是直角三角形，则c的值是 5 或 ；
（2）当三边长满足 时，
①若两边长为3和4，则第三边的值是 3. 5 或 5 或 2 ；
②在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：
已知两边长为a，c（a＜c），求作长度为b的线段（标注出相关线段的长度）．
【分析】（1）①利用三角形三边关系解决问题即可；
②分两种情形：b是斜边或c是斜边，分别求解即可；
（2）①分三种情形分别求解即可；
②画线段AC＝a+c，作出AC的中点D，线段AD或CD即为所求．
第18页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）①∵a＝3，b＝4，
∴4﹣3＜c＜4+3，即1＜c＜7，
故答案为：1＜c＜7；
②当c是斜边时，c＝ ＝5，
当b＝4是斜边时，c＝ ＝ ，
故答案为：5或 ；
（2）①由题意，a+b+c＝3b，
∴a+c＝2b，
当a＝3，c＝4时，第三边b＝3.5，
当a＝3，b＝4或c＝3，b＝4时，第三边的长为5，
当a＝4，b＝3或c＝4，b＝3时，第三边为2，
故答案为：3.5或5或2；
②如图，相等AD或CD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
25．（6 分）若关于 x 的分式方程 的解是负数，当 m 取最大整数时，求
m2+2m+1的平方根．
【分析】通过解分式方程解出分式方程的解，再确定符合条件的m可取的最大整数解，
第19页（共28页）
学科网（北京）股份有限公司再计算出此题最后结果即可．
【解答】解：解分式方程 ，3x﹣2x﹣2＝m
得x＝2+m，
若它的解是负数，
即2+m＜0，且2+m≠﹣1时，
得m＜﹣2且m≠﹣3，
可得m取最大整数﹣4，
当m＝﹣4时，
m2+2m+1的平方根是： ＝±3．
【点评】此题考查了对分式方程及不等式的应用能力，关键是能正确求解分式方程与不
等式，并根据题意正确确定问题的答案．
26．（6分）在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点
E，点F在BC边上，连接DF，EF．
（1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长；
（2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，则EF的长为 （用含a的式子表
示）．
【分析】（1）证△ADE是等边三角形．得AD＝AE＝DE．再证△BDF是等边三角形．
得DF＝BD＝2．然后证△DEF是等边三角形，即可得出答案；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得BF＝ BD＝ a，再由勾股定理得DF＝ a，
然后由勾股定理求出EF的长即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC．
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学科网（北京）股份有限公司∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°．
∴∠AED＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴AD＝AE＝DE．
∵AE＝2，
∴AD＝DE＝2．
∵D是边AB的中点，
∴BD＝AD＝2．
∵∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DF是∠BDE的平分线，
∴∠BDF＝∠EDF＝60°．
∴∠DFB＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF＝BD＝2，
∵DE＝DF＝2，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝2．
（2）解：由（1）得：BD＝AD＝DE＝AE＝a，∠B＝60°，
∵DF⊥DE，DE∥BC，
∴∠EDF＝90°，DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝ BD＝ a，
∴DF＝ ＝ ＝ a，
∴EF＝ ＝ ＝ a，
故答案为： a．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含 30°角的直角三角形的性
质等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（7分）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此 的小数部分我
们不可能全部写出来，于是小燕用 来表示 的小数部分．理由是：对于正无理
数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为 的整数部分为1，所以 的
小数部分为 ．
参考小燕同学的做法，解答下列问题：
（1）写出 的小数部分为 ﹣ 3 ；
（2）已知 与 的小数部分分别为a和b，求a2+2ab+b2的值；
（3）如果 ，其中x是整数，0＜y＜1，那么 ＝ 9 ；
（4）设无理数 （m为正整数）的整数部分为n，那么 的小数部分为 n +1 ﹣
（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）估算出 的值即可解答；
（2）先估算出 的值，然后求出知 与 的整数部分，进而求出a，b的值，
然后进行计算即可；
（3）先估算出 的值，然后求出x，y的值，代入式子中进行计算即可；
（4）估算出 的整数部分即可解答．
【解答】解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3， 的小数部分为 ﹣3，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ﹣3；
（2）∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
∴9＜7+ ＜10，4＜7﹣ ＜5，
∴ 的整数部分是9， 的整数部分是4，
∴a＝7+ ﹣9＝ ﹣2，b＝7﹣ ﹣4＝3﹣ ，
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（ ﹣2+3﹣ ）2＝1，
答：a2+2ab+b2的值为1；
（3）∵8＜9＜27，
∴2＜ ＜3，
∵ ＝3， ，其中x是整数，0＜y＜1，
∴x＝5，y＝3+ ﹣5＝ ﹣2，
∴ ＝（ ×5+ ﹣2）3＝（ ）3＝9，
故答案为：9；
（4）∵无理数 （m为正整数）的整数部分为n，
∴n＜ ＜n+1，
∴﹣n＞﹣ ＞﹣n﹣1，
∴m﹣n＞m﹣ ＞m﹣n﹣1，
即m﹣n﹣1＜m﹣ ＜m﹣n，
∴ 的整数部分是：m﹣n﹣1，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的小数部分为：
m﹣ ﹣（m﹣n﹣1）
＝m﹣ ﹣m+n+1
＝n+1﹣ ，
故答案为：n+1﹣ ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，一元一次不等式组的整数解，熟
练掌握平方数和立方数是解题的关键．
28．（7分）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和
∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高
AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： 是 （填
“是”或“否”）；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝ ，则DE＝ 2 ；
③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为 3 a （用含a的式子表示）．
【分析】（1）①由，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”及四边形内角和为360°
可得∠ADB+∠AEC＝∠ABD+∠ACE＝90°．②由题干可得△ABC与△ADE全等且为等
腰直角三角形，进而求解．③作AF⊥DE于点F，通过证明△AEF≌△CAH求解．
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学科网（北京）股份有限公司（2）①作CD垂直平分线交BD于点O．②连接AC，延长CO交AB于点E，先证明
△ABC为等边三角形，然后通过含30°角的直角三角形边的关系求解．
【解答】解：（1）①如图，
∵∠ABC和∠ADE互余，
∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∴∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝360°﹣180°＝180°，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，
∴∠ADB+∠AEC＝∠ABD+∠ACE＝90°，
∴△ABD与△ACE是“底余等腰三角形”．
故答案为：是．
②当∠BAC＝90°时，△ABC与△ADE全等且为等腰直角三角形，
∴DE＝BC＝2AH＝2 ，
故答案为：2 ．
③DE＝2AH，
证明：作AF⊥DE于点F，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴点F为BC中点，
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学科网（北京）股份有限公司∵∠E+∠ACH＝90°，∠E+∠FAE＝90°，
∴∠ACH＝∠FAE，
在Rt△AEF和Rt△CAH中，
，
∴△AEF≌△CAH（AAS），
∴EF＝AH，
∴DE＝2AH．
（2）①如图，连接BD，作CD垂直平分线交BD于点O，连接OA，OC，
②连接AC，延长CO交AB于点E，
∵DA＝DC，BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴∠ODC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠DOC＝60°，
∴∠OCB＝60°﹣∠OBC＝30°，
∴CE⊥AB，
∴OE＝a，
在Rt△OEB中，∠EBO＝30°，
∴OB＝OC＝2OE＝2a，
∴CE＝OC+OE＝3a，
∴A到BC的距离与C到AB的距离相等为3a．
故答案为：3a．
【点评】本题考查三角形的综合问题，解题关键是掌握等腰三角形的性质，掌握含30
度角的直角三角形的边的关系，掌握全等三角形的判定与性质．
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