文档内容
2020-2021学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有
一个.
1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（1，0） D．（﹣1，0）
2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A． cm B．2 cm C．3 cm D．6 cm
3．将抛π物线y＝x2先向右平移π3个单位长度，再向上π平移5个单位长度，所π得抛物线的解
析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过
紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和
大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出
相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 2
中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的
中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
5．如图，AB是 O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
⊙A．68° B．64° C．58° D．32°
6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为
（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民
用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用
无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，
全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于x的方程为（
）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
8．现有函数y＝ 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，
y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．若正六边形的边长为2，则它的半径是 ．
10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sinB＝ ．
12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a 0，b 0，c
0（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，AB为 O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝
． ⊙
14．如图，PA，PB是 O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝
． ⊙
15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得
直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处
分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此
时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
若连接OA，OE，可证得以下结论：
△ODA 和△OCE 为等腰三角形，则∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝
①（180°﹣∠ ）；
四边形ABCD为平行四边形（理由是 ）；
②∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
③
当 时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 倍得到
④
的．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3）， O经过点P．点A，点B在y轴上，
PA＝PB，延长PA，PB分别交 O于点C，点D，⊙设直线CD与x轴正方向所夹的锐角
为 ． ⊙
（1α） O的半径为 ；
（2）⊙tan ＝ ．
α
三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题
每小题5分）
17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．
18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
19．借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作 O，射线DA交 O
于点E，连接BE，CE． ⊙ ⊙
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝ °，理由是 ；
（3）判断点A与 O的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ⊙ ∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为
﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点
D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
21．如图，AB为 O的直径，AC为弦，点D在 O外，∠BCD＝∠A，OD交 O于点
E． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝ ，求DE的长．
22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方
形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F
重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝ （用含x的式子表示），x的取值范围是 ；
（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．
23．已知抛物线y＝ x2+x．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y ），B（2n﹣1，y ）两点．
1 2
若n＜﹣5，判断y 与y 的大小关系并说明理由；
1 2
①若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y
1
＞y
2
，直接写出n的取值范围．
24．②在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝ ．将△ABC绕点B顺时针旋转
（0°＜ ≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'． α
（1）如α图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时， ＝ °，AA'＝ ；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点α D．
在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
①连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
②
25．对于平面内的图形G 和图形G ，记平面内一点P到图形G 上各点的最短距离为d，
1 2 1
点P到图形G 上各点的最短距离为d ，若d ＝d ，就称点P是图形G 和图形G 的一个
2 2 1 2 1 2
“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2 ）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1， ）三点中，点A和点B的等距点是 ；（2）已知直线y＝﹣2．
若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ；
①若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；
②
（3）记直线AB为直线l ，直线l ：y＝﹣ x，以原点O为圆心作半径为r的 O．若
1 2
⊙
O上有m个直线l 和直线l 的等距点，以及 n个直线l 和y轴的等距点（m≠0，
1 2 1
⊙n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（1，0） D．（﹣1，0）
【分析】把各个点的坐标代入验证即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣5，因此（0，﹣4）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5，
当x＝2时，y＝4﹣8﹣5＝﹣9，因此（2，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，
当x＝1时，y＝1﹣4﹣5＝﹣8，因此（1，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，
当x＝﹣1时，y＝1+4﹣5＝0，因此（﹣1，0）在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，
故选：D．
2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A． cm B．2 cm C．3 cm D．6 cm
π π π π
【分析】弧长公式为 ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为： ＝2 （cm）．
π
故选：B．
3．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解
析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过
紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和
大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出
相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 2
中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
【分析】先利用位似的性质得到A′B′：AB＝1：2，然后根据相似的性质进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是
线段OA的中点，
∴OA′：OA＝1：2，
∴A′B′：AB＝1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．
故选：D．
5．如图，AB是 O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
⊙
A．68° B．64° C．58° D．32°
【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求
解即可．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∴∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，
故选：C．
6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为
（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】由A、B两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝ ＝2，
故选：B．
7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民
用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用
无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，
全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于x的方程为（
）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
【分析】设年平均增长率为x，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无
人机驾驶执照的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增
长率为x，
则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，
故选：C．
8．现有函数y＝ 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，
y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
【分析】求得直线y＝x+4与抛物线y＝x2﹣2x的交点坐标，然后观察图象即可求得a的
取值范围．
【解答】解：令x+4＝x2﹣2x，
整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
由图象可知，当﹣1≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函
数y＝n，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．若正六边形的边长为2，则它的半径是 2 ．
【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC的度数，判断出
△BOC为等边三角形即可求出答案．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2．
故答案为：2．
10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为 y ＝ 3 x 2 ．【分析】把把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，可得a＝3，即可得出答案．
【解答】解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，
得3＝a×12，
解得a＝3，
所以该抛物线的解析式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sinB＝ ．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，
则sinB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a ＞ 0，b ＜ 0，c ＜ 0
（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】根据抛物线的开口方向得到a＞0，利用对称轴位置得到b＜0，由抛物线与y轴
交于负半轴得到c＜0．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
故答案为＞，＜，＜．
13．如图，AB为 O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝
1 ． ⊙
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE＝ED＝ CD＝3，然后在Rt△OEC中由勾股
定理求出OE的长度，即可得出结果．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝ CD＝3，
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝ AB＝5，
∴OE＝ ＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝ AB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
14．如图，PA，PB是 O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝
2 ． ⊙【分析】由题意可得：∠APO＝∠BPO＝ ∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，即可求
PB的长度．
【解答】解：∵PA、PB是 O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
⊙
∴∠BPO＝ ∠APB＝30°，BO⊥PB．
∴PO＝2AO＝4，
∴PB＝ ＝ ＝2 ．
故答案是：2 ．
15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得
直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处
分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此
时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
若连接OA，OE，可证得以下结论：
△ODA 和△OCE 为等腰三角形，则∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝
①（180°﹣∠ OCE ）；
四边形ABCD为平行四边形（理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）；
②∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
③
当 时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 倍得到的．
④
【分析】 由等腰三角形的性质可求解；
由平行①四边形的判定可求解；
②由图形可直接得到，
③
通过证明△AOD∽△EOC，可得 ＝ ＝ ，即可求解．
④
【解答】解： ∵△ODA和△OCE为等腰三角形，
①
∴∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝ （180°﹣∠OCE）；
∵AD＝BC，DC＝AB，
②∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
连接OA，AE，
③
∵∠DOA＝∠COE，
∴O，A，E三点在一条直线上；
∵ ＝ ，
④
∴设CD＝AB＝BE＝3x，OD＝AD＝BC＝5x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴△AOD∽△EOC，
∴ ＝ ＝ ，
∴图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ，
故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3）， O经过点P．点A，点B在y轴上，
PA＝PB，延长PA，PB分别交 O于点C，点D，⊙设直线CD与x轴正方向所夹的锐角
为 ． ⊙
（1α） O的半径为 5 ；
⊙
（2）tan ＝ ．
α
【分析】（1）结论OP，利用勾股定理求解即可．
（2）设CD交x轴于J，过点P作PT⊥AB交 O于T，交OC于E，连接CT，DT，
OT．求出tan∠POE，再证明∠CJO＝∠POE即⊙可．
【解答】解：（1）连接OP.
∵P （4，3），
∴OP＝ ＝5，
故答案为：5．
（2）设CD交x轴于J，过点P作PT⊥AB交 O于T，交OC于E，连接CT，DT，
OT． ⊙
∵P（4，3），∴PE＝4，OE＝3，
在Rt△OPE中，tan∠POE＝ ＝ ，
∵OE⊥PT，OP＝OT，
∴∠POE＝∠TOE，
∴∠PDT＝ ∠POT＝∠POE，
∵PA＝PB．PE⊥AB，
∴∠APT＝∠DPT，
∴ ＝ ，
∴∠TDC＝∠TCD，
∵PT∥x轴，
∴∠CJO＝∠CKP，
∵∠CKP＝∠TCK+∠CTK，∠CTP＝∠CDP，∠PDT＝∠TDC+∠CDP，
∴∠TDP＝∠CJO，
∴∠CJO＝∠POE，
∴tan∠CJO＝tan∠POE＝
故答案为： ．
三．解答题
17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝＝
＝ ．
18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可
得出k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程x2﹣3x+k﹣1＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）△＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
19．借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上
方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作 O，射线DA交 O
于点E，连接BE，CE． ⊙ ⊙
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝ 9 0 °，理由是 直径所对的圆周角是直角 ；
（3）判断点A与 O的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ＜ ⊙∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据直径所对的圆周角是直角．
（3）求出OA的长与半径半径可得结论．
（4）利用图像法解决问题即可．
【解答】解：（1）补全图形见图1．
（2）∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
（3）点A在 O外．
理由如下：连⊙接OA．
∵BD＝4，CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝6，r＝ ＝3．
∵AD⊥BC，
∴∠ODA＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，
∴ ．∵ ，
∴OA＞r，
∴点A在 O外．
⊙
（4）观察图像可知：∠BAC＜∠BEC．
故答案为：＜．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为
﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点
D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛
物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先画出直线y＝x﹣3，则可得到直线y＝x﹣3与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），
（3，0），然后写出抛物线在直线y＝x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，（2）由图象可得m＜0或m＞3．
21．如图，AB为 O的直径，AC为弦，点D在 O外，∠BCD＝∠A，OD交 O于点
E． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝ ，求DE的长．
【分析】（1）连接OC．由圆周角定理及等腰三角形的性质证得∠OCD＝90°．则可得
出结论；
（2）由锐角三角函数求出AB的长，得出OC＝3，由勾股定理求出OD＝5，则可得出
答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB为 O的直径，AC为弦，
⊙∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴CD⊥OC．
∵OC为 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
⊙
（2）解：∵∠BCD＝∠A，cos∠BCD＝ ，
∴cosA＝cos∠BCD＝ ．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2.7，cosA＝ ．
∴AB＝ ＝ ＝6．
∴OC＝OE＝ ＝3．
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，
∴ ．
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方
形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F
重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．
（1）DM＝ 4 ﹣ x （用含x的式子表示），x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 1 ；
（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．【分析】（1）DM＝DC﹣CM，正方形ABCD的边长为4，CM＝x，结合题意可知点M
可与点C、D重合，从而求得x的取值范围；
（2）如图，延长MP交AB于G，证明△EGP∽△EBF，求解PG＝2﹣2x，从而可得DN
＝PM＝2+2x，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；
（3）由S＝﹣2x2+6x+8可得该抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝ ，从而得到当x＜
时，y随x的增大而增大；再结合x的取值范围为0≤x≤1求得答案．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CM＝x，BE＝1，
∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中0≤x≤1．
故答案是：4﹣x，0≤x≤1；
（2）如图，延长MP交AB于G，
∵正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点，四边形PMDN是矩形，CM＝x，BE＝
1，
∴PM∥BC，BF＝FC＝ BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，
∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，
∴ ＝ ，即 ＝ ．
∴PG＝2﹣2x，
∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，
∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中0≤x≤1．
（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，
∵a＝﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣ ＝ ，即 ，
∴当x＜ 时，y随x的增大而增大．
∵x的取值范围为0≤x≤1，
∴当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．
23．已知抛物线y＝ x2+x．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y ），B（2n﹣1，y ）两点．
1 2
若n＜﹣5，判断y 与y 的大小关系并说明理由；
1 2
①若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y
1
＞y
2
，直接写出n的取值范围．
②【分析】（1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令x＝0，求得函数值，即可求
得抛物线与y轴的交点坐标；
（2） 由n＜﹣5，可得点A，点B在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求
解； ①
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ x2+x，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
令x＝0，则y＝0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），
（2）x ﹣x ＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，x ﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），x
A B A B
﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．
当n＜﹣5时，x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0．
A B A B
①∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且x
A
＜x
B
，∵抛物线y＝ x2+x开口向下，
∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．
∴y ＜y ；
1 2
若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
②
由题意可得 ，
∴不等式组无解，
若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得： ，
∴﹣ ＜n＜1，
综上所述：﹣ ＜n＜1．
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝ ．将△ABC绕点B顺时针旋转
（0°＜ ≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'． α
（1）如α图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时， ＝ 6 0 °，AA'＝ 2 ；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点α D．
在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
①连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
②
【分析】（1）证明△ABA′是等边三角形即可解决问题．
（2） 根据要求画出图形．结论：AD＝A'D．如图2，过点A作A'C'的平行线，交
①CC'于点E，记∠1＝ ．证明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得结论．
如图1中，当 ＝β60°时，BD的值最大，当 ＝120°时，BD的值最小，分别求出最大
②值，最小值即可．α α
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝ ，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，
∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，
∴△ABA′是等边三角形，
∴ ＝60°，AA′＝AB＝2．
故α答案为：60，2．
（2） 补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．
①
理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝ ．
∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转 得到Rt△A'BC'， β
∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AαC，BC'＝BC．
∴∠2＝∠1＝ ．
∴∠3＝∠ACBβ﹣∠1＝90°﹣ ，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+ ．
∵AE∥A'C' β β
∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+ ．
∴∠4＝180°﹣∠AED＝18β0°﹣（90°+ ）＝90°﹣ ．
∴∠3＝∠4． β β
∴AE＝AC．
∴AE＝A'C'．
在△ADE和△A'DC'中，，
∴△ADE≌△A'DC'（AAS），
∴AD＝A'D．
如图1中，当 ＝60°时，BD的值最大，最大值为 ．
② α
当 ＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2× ＝1，
α
∴1≤BD≤ ．
25．对于平面内的图形G 和图形G ，记平面内一点P到图形G 上各点的最短距离为d，
1 2 1
点P到图形G 上各点的最短距离为d ，若d ＝d ，就称点P是图形G 和图形G 的一个
2 2 1 2 1 2
“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2 ）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1， ）三点中，点A和点B的等距点是 S
（ 2 ， 0 ） ；
（2）已知直线y＝﹣2．
若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 （ 4 ， 0 ）或（ 8 ，
①0 ） ；
若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；
②
（3）记直线AB为直线l ，直线l ：y＝﹣ x，以原点O为圆心作半径为r的 O．若
1 2
⊙
O上有m个直线l 和直线l 的等距点，以及 n个直线l 和y轴的等距点（m≠0，
1 2 1
⊙n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．
【分析】（1）由两点距离公式分别求出，AR，BR，AS，BS，AT，BT的长，即可求解；
（2） 设等距点的坐标为（x，0），由题意可得2＝|x﹣6|，即可求解；
列出①方程，由根的判别式可求解；
②（3）利用数形结合，可求解．
【解答】解：（1）∵点A（6，0），B（0，2 ），R（3，0），S（2，0），T（1，
），
∴AR＝3，BR＝ ，AS＝4，BS＝4，AT＝2 ，BT＝2，
∴AS＝BS，∴点A和点B的等距点是S（2，0），
故答案为：S（2，0）；
（2） 设等距点的坐标为（x，0），
∴2＝①|x﹣6|，
∴x＝4或8，
∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），
故答案为：（4，0）或（8，0）；
如图1，设直线y＝a上的点Q为点A相直线y＝﹣2的等距点，连接QA，过点Q作
②直线y＝﹣2的垂线，垂足为点C，
∵点Q为点A和直线y＝﹣2的等距点，
∴QA＝QC，
∴QA2＝QC2
∵点Q在直线y＝a上，
∴可设点Q的坐标为Q（x，a）
∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2．
整理得x2﹣12x+32﹣4a＝0，
由题意得关于x的方程x2﹣12x+32﹣4a＝0有实数根．
∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0．
解得a≥﹣1；
（3）如图2，直线l 和直线l 的等距点在直线l ： 上．
1 2 3
直线l 和y轴的等距点在直线l ： 或l ： 上．
1 4 5
由题意得 或r≥3．
