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人教版八下期末真题必刷 05（压轴大题 60 题 12 个考点专练）
一．一次函数综合题（共14小题）
1．（2023春•栾城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ， 与 轴、 轴分别交于点
、 ，直线 ， 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在直线 上．
（1）直线 过定点 吗？ （填“过”或“不过” ．
（2）若点 、 关于点 对称，求此时直线 的解析式；
（3）若直线 将 的面积分为 两部分，请求出 的值；
（4）当 时，将点 向右平移2.5个单位得到点 ，当线段 沿直线 向下平移时，
请直接写出线段 扫过 内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
2．（2023春•巴南区期末）如图，一次函数 的图象交 轴于点 ， ，与正比例函数
的图象交于点 ，点 的横坐标为 ．
（1）求一次函数 的解析式；
（2）若点 在 轴上，且满足 ，求点 的坐标；
（3）一次函数 有一点 ，点 的纵坐标为1，点 为坐标轴上一动点，在函数 上确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 的坐标，并
写出求解点 的坐标的其中一个情况的过程．
3．（2023春•偃师市校级期末）如图，已知直线 经过 、 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2）若 是线段 上一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上．
①求点 和点 的坐标；
②若点 在 轴上， 在直线 上，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
直接写出所有满足条件的点 坐标，否则说明理由．
4．（2023春•武侯区期末）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与一次函数
的图象在第一象限相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ．
（1）若点 的坐标为 ，分别求 ， 的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，连接 ，过点 作 交直线 于点 ，试探究 的形状．5．（2023春•抚顺县期末）如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，点 是直线 上一
点，点 是直线 上一点．
（1）求一次函数 的表达式；
（2）当点 在第二象限， 轴且 时，求点 的坐标；
（3）当以点 ， ， 为顶点的三角形是以 为直角的等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标．6．（2023春•来凤县期末）在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线
交 轴于点 ，交 轴于点 ．
（1）如图1，连接 ，求 的面积；
（2）如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 在直线 上，在平
面中存在一点 ，使得以 为一边， ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 的坐标．
7．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、
轴分别交于点 和点 ，且与直线 交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 为线段 上一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，且与直线 交于点 ，当 时，
求点 的坐标；
（3）若在平面上存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的
坐标．8．（2023春•洪洞县校级期末）如图一次函数 的图象经过点 ，并与直线 相交于点
，与 轴相交于点 ，其中点 的横坐标为3．
（1）求一次函数 的表达式；
（2）点 为直线 上一动点，当点 运动到何位置时， 的面积等于 ？请求出点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
9．（2023春•通河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
直线 与 轴负半轴交于点 ，且 ．（1）求线段 的长；
（2）动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 （秒 ，
的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在点 ，连接 ，使得 是以 为直角边的等腰直角
三角形，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
10．（2023春•青秀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 为直线 上的一个动点，若 的面积等于9时，请求出点 的坐标；
（3）如图2，将 沿着 轴平移，平移过程中的 记为△ 请问在平面内是否存在点 ，使
得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标．
11．（2023春•黄州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴相交于 、
两点，点 在线段 上，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上，
过点 作 轴于点 ．
（1）求证： ；（2）如图2，将 沿 轴正方向平移得△ ，当 经过点 时，求 平移的距离及点
的坐标；
（3）若点 在 轴上，点 在直线 上，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023春•武汉期末）如图，直线 与坐标轴分别交于点 ， ，过点 、 作直线
，以 为边在 轴的右侧作四边形 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）如图，点 是 轴上一动点，点 在 的右侧， ， ；
①如图1，问点 是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
②如图2，点 是线段 的中点，另一动点 在直线 上，且 ，请直接写出点 的坐
标．
13．（2023春•宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ， ，现将矩形 绕点 逆时针旋转 得到矩形 ，点 、 、 的对应点分别为点 、 、 ．
（1）如图1，当点 落在边 上时，求直线 的函数表达式；
（2）如图2，当 、 、 三点在一直线上时， 所在直线与 、 分别交于点 、 ，求线段
的长度．
（3）如图3，设点 为边 的中点，连接 ，在矩形 旋转过程中，点 到直线 的距离是否
存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
14．（2023春•辛集市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 分别在 轴与 轴上，直线 的解析式为 ，以线段 、 为边作平行四边形 ．
（1）如图1，若点 的坐标为 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下， 为 边上的动点，点 关于直线 的对称点是 ，连接 ， ．
①当 时，点 位于线段 的垂直平分线上；
②连接 ， ，设 ，设 的延长线交 边于点 ，当 时，求证： ，并
求出此时 的值．
二．三角形中位线定理（共3小题）
15．（2023春•宝丰县期末）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半； 要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据 “已知”除
外）
（2）如图2，在 中，对角线交点为 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ，以此类推．
若 的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和 ；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜 可能是多少？16．（2023春•沭阳县期末）如图，在 中，已知点 、 、 分别是 、 、 的中点，
是高．
（1）若 ， ，则四边形 的面积为 ．
（2）求证： ．
17．（2023春•达川区校级期末）如图1，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
连接 并延长，分别与 ， 的延长线交于点 ， ，则 （不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形中位线定理和平行线
性质，可证得 ．
问题：如图2，在 中， ， 点在 上， ， ， 分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连接 ，判断 的形状并证明．三．平行四边形的性质（共3小题）
18．（2023春•渭南期末）问题提出
（1）如图， 为等边三角形，边长为 ，动点 从点 出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以
的速度运动，动点 从点 出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以 的速度运动．动点 、
同时出发，当点 在 上运动且 时，求点 运动的时间．
问题解决
（2）某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛 举办了一个有奖活动，
一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳
可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸
爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在 点站立不动，妈妈在 边上某点 处站立不动，
爸爸从点 出发，沿着花坛顺时针方向以2米 秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点 ，同时笑笑从
点 出发，沿着花坛逆时针方向以1米 秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点 ．若笑笑出发不到6
秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置 距点 多少米？
19．（2023春•滑县校级期末）如图，在 中， 为对角线， 垂直平分 分别交 、 的
于点 、 ，交 于点 ．
（1）试说明： ；（2）试说明： ；
（3）如果在 中， ， ，有两动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和
各边运动一周，即点 自 停止，点 自 停止，点 运动的路
程是 ，点 运动的路程是 ，当四边形 是平行四边形时，求 与 满足的数量关系．（画出
示意图）
20．（2023春•万源市校级期末）在平行四边形 中， 是 上一点， ，过点 作直线
，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
（1）如图①，当 与 相交时，若 ，求证： ；
（2）如图②，当 与 相交时，且 ，请你写出线段 、 、 之间的数量关系，并
证明你的结论．
四．平行四边形的判定（共2小题）
21．（2023 春•渠县校级期末）如图，在 中， ， ， ，过点 作
，且点 在点 的右侧．点 从点 出发沿射线 方向以每秒1个单位的速度运动，同时点从点 出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动，在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，设
点 的运动时间为 秒．
（1）若 ，求 的长；
（2）请问是否存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
22．（2023春•阿荣旗期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以 的速度向
点 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使 和
，分别需经过多少时间？为什么？
五．平行四边形的判定与性质（共2小题）
23．（2023春•乾安县期末）如图，在 中， ，过 上一点 作 交 于点 ，
以 为顶点， 为一边，作 ，另一边 交 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）延长图①中的 到点 ，使 ，连接 ， ， ，得到图②，若 ，判断四边
形 的形状，并说明理由．24．（2023春•通川区校级期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫
中点四边形．
（1）如图1，四边形 中，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点．求证：中点
四边形 是平行四边形；
（2）如图2，点 是四边形 内一点，且满足 ， ， ，点 ， ，
， 分别为边 ， ， ， 的中点，猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使 ，其他条件不变，直接写出中点四边形 的形状．
（不必证明）
六．菱形的性质（共3小题）
25．（2023春•泉港区期末）如图，在平行四边形 中， ，点 是 上动点，连结 ．
（1）若平行四边形 是菱形， ，试求出 的度数；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）过点 作 交线段 于点 ．过 点作 于 ，交 的高 于点 ．若， ，求证： ．
26．（2023春•西乡塘区校级期末）【问题原型】如图1，在四边形 中， ， ．
点 、 分别为 、 的中点，连接 ， ．试说明： ．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当 平分 ， 时，求 的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当 ，且四边形 是菱形时，直接写出四边形 的
面积．
27．（2023春•大安市期末）【感知】如图①，四边形 、 均为正方形．可知 ．
【拓展】如图②，四边形 、 均为菱形，且 ．求证： ．
【应用】如图③，四边形 、 均为菱形，点 在边 上，点 在 延长线上．若 ，
， 的面积为8，则菱形 的面积为 ．七．菱形的判定（共2小题）
28．（2023春•桂林期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，动点 从点 出发，以 的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以 的
速度沿折线 向终点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时
间为 秒．
（1）用含 的式子表示 ．
（2）当 为何值时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱形，则点 的运动速度应为多少？
29．（2023春•石景山区校级期末）如图，已知 ，按如下步骤作图：
①分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于 ， 两点；②作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ；
③过 作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形．
八．菱形的判定与性质（共3小题）
30．（2023春•益阳期末）如图1， 是线段 上的一点，在 的同侧作 和 ，使 ，
， ，连接 ，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，顺次
连接 、 、 、 ．
（1）猜想四边形 的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点 在线段 的上方时，如图2，在 的外部作 和 ，其他条件不变，（1）中的
结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中， ，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形 的形状，并
说明理由．
31．（2023春•潮南区期末）如图，已知 ，直线 垂直平分 ，与边 交于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形．
（3）若 ， ，则菱形 的面积是多少？
32．（2023春•铁东区期末）如图，在 中， ， ． ，点 从点 出发
沿 方向以每秒2个单位长的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒1个单位长的
速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、 运动的时间是
秒 ．过点 作 于点 ，连接 、 ．
（1）四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；
（2）当 为何值时， 为直角三角形？请直接写出相应的 值为： ．九．矩形的性质（共3小题）
33．（2023春•邻水县期末）已知，矩形 中， ， ， 的垂直平分线 分别交
、 于点 、 ，垂足为 ．
（1）如图1，连接 、 ．求证四边形 为菱形，并求 的长；
（2）如图2，动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周．即点 自
停止，点 自 停止．在运动过程中，
①已知点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，当 、 、 、 四点为顶点
的四边形是平行四边形时，求 的值．
②若点 、 的运动路程分别为 、 （单位： ， ，已知 、 、 、 四点为顶点的四边形
是平行四边形，求 与 满足的数量关系式．
34．（2023 春•凤阳县期末）如图，矩形 的对角线 与 相交于点 ， ，
，交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形
的形状，并证明你的结论．
条件①： ；
条件②：三角形 是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）35．（2023 春•乾安县期末）感知：如图①， 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，则四边形 是平行四边形（不需要证明）．
拓展：如图②，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则四边形 是什
么样的特殊四边形，请说明理由．
应用：如图③，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ， 交 的延
长线于点 ， ．求四边形 的周长．
一十．正方形的性质（共17小题）
36．（2023春•太康县校级期末）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 是正方形，点
是边 的中点． ，且 交正方形外角 的平分线 于点 ，求证： ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 的中点 ，连接 ，则 ，易证
，所以 ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点 是边 的中点”改为“点 是边 上（除 ， 外）的任意一
点”，其它条件不变，那么结论“ ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图 3，点 是 的延长线上（除 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“
”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
37．（2023春•阳新县期末）问题情境：四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是直线 上
的一个动点（点 与点 、 、 都不重合）过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，连
接 ， ．
（1）初步探究：已知四边形 是正方形，且点 在线段 上，求证 ；
（2）探究图中 与 的数量关系，并说明理由．
38．（2022秋•龙凤区校级期末）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线
（不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）连接 ， 是等边三角形吗？为什么？
（2）求证： ；
（3）①当 点在何处时， 的值最小；
②如图②，当 点在何处时， 的值最小，请你画出图形，并说明理由．39．（2023春•西乡塘区校级期末）如图，已知正方形 中， 为 延长线上一点，且 ，
、 分别为 、 的中点，连 交 于 ， 交， 于 点．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）过 作 于 点，连 ，则 的值．
40．（2023春•遂平县期末）在边长为5的正方形 中，点 在边 所在直线上，连接 ，以
为边，在 的下方作正方形 ，并连接 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时， ；
（2）如图2，当点 在线段 上时， ，求 的长；
（3）若 ，请直接写出此时 的长．41．（2023春•新会区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 、 分别在 轴正
半轴、 轴正半轴上，过点 作 轴交 轴于点 ，交对角线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）判断 、 的数量关系，并说明理由；
（3）若点 ， 坐标分别为 、 ，则 的周长为 ．
42．（2023春•滨州期末）已知 是一个正方形花园．
（1）如图1， 、 是它的两个门，且 ，要修建两条路 和 ，问这两条路等长吗？为什么？
（2）如图2，在正方形四边各开一个门 、 、 、 ，并修建两条路 和 ，使得 ，问
这两条路等长吗？为什么？43．（2023春•喀什地区期末）如图，正方形 中，点 是 边上的一点（不与点 、 重合），
连接 ， 平分 ，交 边于点 ．过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
（1）根据题意，请把原图画完整；
（2）证明： ；
（3）试判断线段 、 和 之间的数量关系，并说明理由．
44．（2023春•青县期末）已知边长为2的正方形 中， 是对角线 上的一个动点（与点 ，
不重合），过点 作 ， 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．
（1）求证： ；
（2）在点 的运动过程中， 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．45．（2023春•贵州期末）如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经
过点 ，直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图1，当点 在 边上时，探究 与 所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过 点作 于 点， 于 点，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）如图2，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并证明你的猜想．
46．（2023春•金寨县期末）如图，在正方形 中， ， 为正方形 内一点， ，
，连结 ， ，过点 作 ，垂足为点 ，交 的延长线于点 ，连
结 ．
（1）当 时，求 的度数；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）当 时，求 的长．47．（2023春•无棣县期末）如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终
经过点 ，直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图①，当点 在 边上时，猜想并写出 与 所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并证明你的猜想．
48．（2023春•香河县期末）如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点
关于直线 的对点是点 ，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形， （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．49．（2023春•通许县期末）如图1，正方形 中，点 是对角线 的中点，点 是线段 上（不
与 、 重合）的一个动点，过点 作 且交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 于点 ，如图2，若正方形 的边长为2，则在点 运动的过程中， 的长
度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
50．（2023春•南岗区期末）定义：在平面直角坐标系中，如果点 ， 为某个菱形相邻的两个顶点．且
该菱形的两条对角线分别与 轴， 轴平行，另外两个顶点中有一个点的纵坐标小于 ， 两点的纵坐标，那么称该菱形为点 ， 的“相关菱形”．如图1所示，为点 ， 的“相关菱形”的示意图．已知点
的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）如果 ，在图2中画出点 ， 的“相关菱形”，并求出该菱形的面积；
（2）如果点 ， 的“相关菱形”为正方形，在图3中画出相应图形，请直接写出 的值．
51．（2023春•大观区校级期末）如图①，已知正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点（点
， 不与端点重合），且 ， ， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）写出 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若 ， ，试求线段 的长．
（3）如图②，连接 并延长交 于点 ，若点 是 的中点，试求 的值．52．（2023春•鼓楼区校级期末）问题引入：如图①， ， ， ， 是线段
的中点．连结 并延长交 于点 ，连结 ．则 与 之间的数量关系是 ．
问题延伸：如图②，在正方形 和正方形 中，点 、 、 在同一条直线上，点 在 上，
是线段 的中点，连结 、 ．
（1）判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结 ，若 ， ，则 的长为 ．
一十一．正方形的判定与性质（共7小题）
53．（2023春•秦淮区期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）求证：矩形 是正方形；
（2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
54．（2023春•柘城县期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作
，交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．（1）如图1，求证：矩形 是正方形；
（2）若 ， ，求 的长度；
（3）当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
55．（2023春•来凤县期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，
连接 ，过点 作 ．交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
56．（2023春•淮阳区期末）（1）将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的点 处，
得到折痕 ，如图1．求证：四边形 是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，点 恰好落在 上的点 处，点 落在点 处，
得到折痕 ， 交 于点 ，如图2．线段 与 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，
请说明理由．57．（2023春•福田区校级期末）如图1，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，
．
（1）求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，交边 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
58．（2023春•太康县期末）（1）如图矩形 的对角线 、 交于点 ，过点 作 ，且，连接 ，判断四边形 的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
59．（2023春•曲阳县期末）问题解决：如图 1，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 边上，
， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， 与 相交于点 ， ，
， ， ，求 的长．
一十二．四边形综合题（共1小题）
60．（2023春•湖北期末）（1）尝试探究：
如图1， 是正方形 的边 上的一点，过点 作 ，交 的延长线于 ．①求证： ；
②过点 作 的平分线交 于 ，连接 ，请探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2， 是正方形 的边 上的一点，过点 作 ，交 的延长线于 ，连接 交
于 ，连接 并延长 交 于 ，已知 ， ，求 的长．
