文档内容
第 12 讲 等腰三角形常作的辅助线（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 利用三线合一作辅助线
（1）连接顶角顶点和底边中点
典例1（2021秋•无棣县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，
且AE＝AF．求证：∠AED＝∠AFD．
针对训练1
1．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝
AF．
求证：
（1）DE＝DF；
（2）BG＝CH．
（2）作底边的高
典例2（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且
EA＝EC．求证：EB⊥AB．针对训练2
1
2．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC= ∠BAC．
2
类型二 作平行线构造等腰三角形
（1）作腰的平行线构造等腰三角形
典例3（2010秋•青山区月考）如图，△ABC中，点D在AB上，E是AC延长线上一点，BD＝CE，DE交
BC于点F，DF＝EF，DP∥AE交BC于点P，求证：AB＝AC．
（2）作底边的平行线构造等腰三角形
典例4（湖州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，
（1）求∠ADC的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
典例5（靖江市校级月考）（1）如图1，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证
明△PMO≌△QNO．
（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，
AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
针对训练3
3．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
4．（2020秋•阆中市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是
∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．5．（2018秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，
BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．
类型四 利用∠ =2∠ 构造等腰三角形
典例6（香坊区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AB＝3.5，则AD
＝ 2. 5 ．
针对训练4
6．（江岸区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．
（1）求证：BE+DE＝AB+BD；
（2）若BD＝2，DE＝3，求AB的长．
类型四 截长补短构造等腰三角形
典例7 如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．针对训练5
7．（黑龙江校级月考）已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE，CE，∠BED＝
∠BAC＝2∠DEC．
（1）如图①，若AC＝AB，∠BAC＝90°时，AE＝2，求△AEB的面积．
（2）如图②，若AC＝AB，探究BE，AE的数量关系，并说明理由．
第二部分 专题提优训练
1．（涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分
别为D、E．试说明：AD＝AE．
2．（2021秋•洪江市期末）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否
仍为等腰直角三角形？证明你的结论．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求
AE的长．
4．（2018秋•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，
且EA＝EC，求证：EB⊥AB．
5．（2018秋•奎文区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C，求证：CD＝AB+BD．
6．（2017•花山区校级开学）在△DCE和△ABC中，∠DCE＝∠ACB＝90°，CD＝CE，CA＝CB，连接
AE、BD交于点O，AE、DC交于点N，BD、AC交于点M．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四对全等三角形；7．（2021秋•东西湖区期中）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，
BE垂直于直线CD于点E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD＝2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2）、B（2，0）、C（﹣2，0）．
（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H．证明：PA＝PH．
（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连
接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段P△G的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
9．（2017秋•洪山区期中）已知AB∥CD，点E为BC上一点，且AB＝CD＝BE，AE、DC的延长线交于
点F，连BD，
（1）如图1，求证：CE＝CF；
（2）如图2，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，求∠BDG的度数．10．（硚口区期中）已知∠BAE与∠BCD互为补角，AB＝AE，CB＝CD，连接ED，点P为ED的中点．
（1）如图1，若点A，B，C三点在同一条直线上．
①求证：∠EBD＝90°；
②求证：AP∥BD；
（2）如图2，若点A，B，C三点不在同一条直线上，求证：AP⊥CP．
11．（2022春•尤溪县期中）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，点
B的对应点为点D，点C的对应点为点E，BC与ED的延长线交于点F．
（1）如图1，连接CD，求证∠FCD＝∠FDC；
（2）如图2，连接BD与CE交于点O．
①求证：OC＝OD；
②求证：A，O，F三点在同一条直线上．
