23-24学年广东外语外贸大学附属学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市白云区广东外语外贸大学附属学校九年级 （上）月考数学试卷（10 月份） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）抛物线y3x2 2开口方向是( ) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（3分）下列属于一元二次方程的是( ) 1 A．x2 3x y0 B．x2 2x C．x2 5x0 D．x(x2 4x)3 x 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A． B． 学 升 哥 C． D． 水 4．（3分）如图，点A、B、C在O 上，若C 38，则AOB的度数为?( ) A．38 B．76 C．80 D．60 5．（3分）若抛物线y(x4)2 1平移得到y x2，则必须( ) A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 6．（3分）若y(m2)xm22x1是二次函数，则m的值是( ) A．4 B．2 C．2 D．2或2 第1页（共26页）7．（3分）已知点A(1,y )，B(2,y )，C(4,y )在抛物线y2x2 8x1上，则y ，y ，y 的大小关系 1 2 3 1 2 3 是( ) A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3 8．（3分）对于二次函数y4(x6)2 5的图象，下列说法正确的是( ) A．图象与y轴交点的坐标是(0,5) B．对称轴是直线x6 C．顶点坐标为(6,5) D．当x6时，y随x的增大而增大 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 ymxn的图象和二次函数 ymx2 nx的图象可能是( ) 学 A． B．升 哥 水 C． D． 10．（3分）如图，抛物线yax2 bxc与x轴交于点A(1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3) 2 之间（包含端点），则下列结论：①3ab0；②1 a  ；③对于任意实数m，a(m2 1)b(m1) 0 3 总成立；④关于x的方程ax2 bxcn1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）点P(1,2)关于原点对称的点P的坐标是 ． 第2页（共26页）12．（3分）已知点A(2,5)，B(4,5)是抛物线y2x2 bxc上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 ． 13．（3分）已知二次函数 yax2 bxc的图象如图所示，若方程ax2 bxck 有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 ． 14．（3分）若一元二次方程x2 3x20的两个根分别为a、b，则a2 3aab2的值为 ． 15．（3分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC是O的直径，AB2，ADB45， 则O的半径长为 ． 学 升 哥 水 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线yax2上，过点A、E分别作y轴的垂线， 交抛物线于点B、F ，分别过点E、F 作x轴的垂线交线段AB于两点C 、D．当点E(2,4)，四边形CDFE 为正方形时，则线段AB的长为 ． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）解方程：2x2 3x12x ． 18．（4分）已知，二次函数yax2 bxc的图象如图所示，且该图象经过点(4,3)． （1）c 0（填“”、“ ”或“” )； （2）直接写出y0时，自变量x的取值范围． 第3页（共26页）19．（6分）如图，在OAB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)． （1）将OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后得到△OAB ，画出△OAB 并写 1 1 1 1 1 1 出点B 的坐标是： ； 1 （2）将OAB绕点O逆时针旋转90后的△OA B 画出△OA B 并写出点A 的坐标是： ． 2 2 2 2 2 学 升 哥 水 20．（6分）如图，已知直径CD为8，AB是O的弦，ABCD，垂足为M ，OM 2，求AB的长． 21．（8分）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m)，墙对面有一个2米宽的门， 另外三边用木栏围成，木栏长30m． （1）若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）养鸡场面积能达到200m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 第4页（共26页）22．（10分）已知二次函数ymx2 2(m1)x4(m为常数，且m0)． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标． 23．（10分）某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件20元的价 格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，若每月销售件数y（件) 与价格x（元/件）满足关系ykxb （1）确定y与x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？ （3）为了获得了最大的利润，商品应定为每件多少元？ 学 24．（12分）已知直线l:ykxb经过点(0,7)和点(1,6)． （1）求直线l的解析式； 升 （2）若点P(m,n)在直线l上，以P为顶点哥的抛物线G过点(0,3)，且开口向下． ①求m的取值范围； 水 ②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q也在G上时，求G 4m 4m 在 x 1的图象的最高点的坐标． 5 5 25．（12分）在等边ABC 内有一点O，OAa，OBb，OC c，其中a，b为方程x2 mxn0的两 根． （1）如图1，若abc，则AOB ； （2）如图2，若a，b，c满足a2 b2 c2， ①求AOB的度数． ②求等边ABC的面积（用含m，n的式子来表示）． ③若等边ABC的边长为1，问c是否有最小值，若有，请求出最小值，若没有，请说明理由？ 第5页（共26页）学 升 哥 水 第6页（共26页）2023-2024 学年广东省广州市白云区广东外语外贸大学附属学校九年级 （上）月考数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）抛物线y3x2 2开口方向是( ) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【分析】根据a0，抛物线yax2 bxc开口向上即可解答． 【解答】解：在y3x2 2中， 30， 抛物线y3x2 2开口方向是向上； 学 故选：A． 升 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握yax2 bxc中，若a0，则抛物线yax2 bxc 哥 开口向上． 2．（3分）下列属于一元二次方水程的是( ) 1 A．x2 3x y0 B．x2 2x C．x2 5x0 D．x(x2 4x)3 x 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D．方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知 数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A． B． 第7页（共26页）C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断． 【解答】解：A．原图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．原图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．原图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．原图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．（3分）如图，点A、B、C在O 上，若C 38，则AOB的度数为?( ) 学 升 哥 水 A．38 B．76 C．80 D．60 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：AOB2C，C 38， AOB76， 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 5．（3分）若抛物线y(x4)2 1平移得到y x2，则必须( ) A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法． 【解答】解：抛物线y(x4)2 1的顶点坐标为(4,1)， 第8页（共26页）y x2的顶点坐标为(0,0)， 抛物线y(x4)2 1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y x2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题 目，利用顶点的变化求解更简便． 6．（3分）若y(m2)xm22x1是二次函数，则m的值是( ) A．4 B．2 C．2 D．2或2 【分析】利用二次函数定义可得：m2 22，且m20，再计算出m的值即可． 【解答】解：y(m2)xm22x1是关于x的二次函数， m2 22，且m20， m2． 学 故选：C． 升 【点评】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如yax2 bxc(a、b、c是常数，a0)的函数， 哥 叫做二次函数． 水 7．（3分）已知点A(1,y )，B(2,y )，C(4,y )在抛物线y2x2 8x1上，则y ，y ，y 的大小关系 1 2 3 1 2 3 是( ) A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近 来比较函数值的大小． 【解答】解：y2x2 8x12(x2)2 9， 抛物线的开口向上，对称轴为直线x2， 点A(1,y )，B(2,y )，C(4,y )，在抛物线y2(x2)2 9上，而点C(4,y )到对称轴的距离最远， 1 2 3 3 B(2,y )在对称轴上， 2 y  y  y ． 2 1 3 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 第9页（共26页）8．（3分）对于二次函数y4(x6)2 5的图象，下列说法正确的是( ) A．图象与y轴交点的坐标是(0,5) B．对称轴是直线x6 C．顶点坐标为(6,5) D．当x6时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可． 【解答】解：二次函数y4(x6)2 5， 抛物线开口向下，对称轴为直线x6，顶点坐标为(6,5)， 当x6时，y随x的增大而增大， 令x0，则y149， 图象与y轴得交点为(0,149)， 故A、B、C选项错误；D选项正确． 学 故选：D． 升 【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键在于熟练掌握二次函数顶点式的特点． 哥 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 ymxn的图象和二次函数 ymx2 nx的图象可能是( ) 水 A． B． C． D． b 【分析】利用对称轴x ，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐 2a 个判断即可． n 【解答】解：A，结合图象ymxn中，m0，n0，此时二次函数ymx2 nx中对称轴x 0， 2m 与图象不符，不符合题意； n B，结合图象 ymxn中，m0，n0，此时二次函数 ymx2 nx中对称轴x 0，图象没过 2m 原点，与图象不合，不符合题意； 第10页（共26页）n C ，结合图象 ymxn中，m0，n0，此时二次函数 ymx2 nx中对称轴x 0，与图象不 2m 符，不符合题意； n D，结合图象ymxn中，m0，n0，此时二次函数ymx2 nx中对称轴x 0与图象符合， 2m 符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来 研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合． 10．（3分）如图，抛物线yax2 bxc与x轴交于点A(1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3) 2 之间（包含端点），则下列结论：①3ab0；②1 a  ；③对于任意实数m，a(m2 1)b(m1) 0 3 总成立；④关于x的方程ax2 bxcn1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( ) 学 升 哥 水 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐 标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范 围，进而对所得结论进行推断． 【解答】解：抛物线yax2 bxc的顶点坐标为(1,n)， b 4acb2  1, n， 2a 4a 2ab0， a0， 3aba2ab0， 故①正确． 抛物线与x轴交于点(1,0)， abc0， 第11页（共26页）cba， 由①知：2ab0，即b2a， c2aa3a， 又抛物线与y轴的交点(0,c)在(0,2)，(0,3)之间（含端点）， 2 c 3， 2 3a 3， 2 1 a  ， 3 故②正确． 抛物线yax2 bxc开口向下， a0， 又a(m2 1)b(m1)am2 bmab(a0)， 学 令g am2 bmab， 升 关于m的二次函数g am2 bmab开口向下， 哥 若对于任意实数m，a(m2 1)b(m1) 0总成立， 水 故需判断△b2 4a(ab)与0的数量关系， 由以上分析知：b2a， △(2a)2 4a(a2a)0， 故③正确． 4acb2 由以上分析知:a0,b2a,c3a,n ， 4a 4a(3a)(2a)2 n 4a， 4a △b2 4a(cn1)(2a)2 4a(3a4a1)4a0， 关于x的方程ax2 bxcn1无实数根． 故④错误． 故选：C． 【点评】主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标以及根的判别式的熟练使用． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 第12页（共26页）11．（3分）点P(1,2)关于原点对称的点P的坐标是 (1,2) ． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点P(1,2)关于原点对称的点P的坐标是(1,2)． 故答案为：(1,2)． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是 解题的关键． 12．（3 分）已知点 A(2,5)，B(4,5)是抛物线 y2x2 bxc上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 x3 ． 【分析】二次函数图象上两个点若关于对称轴对称，那么这两个点横坐标不同，纵坐标相同．利用抛物线 的这个性质即可解答． 【解答】解：A(2,5)，B(4,5)横坐标不同，纵坐标相同， 点A、B关于对称轴对称， 学 1 对称轴为直线x (24)3． 2 升 故答案为：3． 哥 【点评】本题考查二次函数的性质、图象上点的坐标特征．本题不需要利用待定系数法求出抛物线的表达 水 式，直接根据两点坐标的特征可直接写出对称轴． 13．（3分）已知二次函数 yax2 bxc的图象如图所示，若方程ax2 bxck 有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 k 5 ． 【分析】方程ax2 bxck 有两个不相等的实数根，即抛物线向下平移k个单位后与x轴有两个不同的交 点，数形结合即可解答． 【解答】解：方程ax2 bxck 有两个不相等的实数根， 抛物线向下平移k个单位后与x轴有两个不同的交点， 由图象可知抛物线向下移5个单位后与x轴只有一个交点， k 5． 第13页（共26页）【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是把方程问题转化为函数问题． 14．（3分）若一元二次方程x2 3x20的两个根分别为a、b，则a2 3aab2的值为 2 ． 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得a2 3a20，ab2，再代入求值即可 得． 【解答】解：由题意得：a2 3a20，ab2，即a2 3a2，ab2， 则a2 3aab22222． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定 义、根与系数的关系是解题关键． 15．（3分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC是O的直径，AB2，ADB45， 则O 的半径长为 2 ． 学 升 哥 水 【分析】利用圆周角定理得到ABC 90，ACBADB45，则可判断ABC 为等腰直角三角形， 所以AC 2 2，从而得到O 的半径长． 【解答】解：AC是O的直径， ABC 90， ACBADB45， ABC为等腰直角三角形， AC  2AB2 2， O的半径长 2． 故答案为 2． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半． 第14页（共26页）16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线yax2上，过点A、E分别作y轴的垂线， 交抛物线于点B、F ，分别过点E、F 作x轴的垂线交线段AB于两点C 、D．当点E(2,4)，四边形CDFE 为正方形时，则线段AB的长为 4 2 ． 【分析】先根据点E坐标求出抛物线的解析式，再求出点F 坐标，进而得出正方形的边长，然后可求出点 C的纵坐标，即为点A的纵坐标，最后求出A，B两点的横坐标便可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点E(2,4)，且点E在抛物线上， 学 所以a22 4，得a1， 升 故抛物线的解析式为y x2． 哥 又EF  y轴， 水 则根据抛物线的对称轴可知， 点F 的坐标为(2,4)． 所以EF 2(2)4， 即正方形CDFE 的边长为4． 所以 y 448，即 y 8． c A 将y 8代入y x2得， A x2 2． 所以x 2 2,x 2 2 ． A B 故AB2 2(2 2)4 2 ． 故答案为：4 2． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据四边形CDFE 是正方形，求出点C的纵坐标，进 而得出点A的纵坐标是解题的关键． 第15页（共26页）三、解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）解方程：2x2 3x12x ． 【分析】先把原方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根． 【解答】解：原方程化为2x2 x10， a2，b1，c1， △b2 4ac(1)2 42(1)90， 1 9 13 x  ， 22 4 1 x 1，x  ． 1 2 2 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 18．（4分）已知，二次函数yax2 bxc的图象如图所示，且该图象经过点(4,3)． （1）c  0（填“”、“ ”或“” )； 学 （2）直接写出y0时，自变量x的取值范围． 升 哥 水 【分析】（1）从图象看，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即可求解； （2）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）从图象看，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故c0， 故答案为：； （2）从图象看y0时，自变量x的取值范围为x1或x5； 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 19．（6分）如图，在OAB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)． （1）将OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后得到△OAB ，画出△OAB 并写 1 1 1 1 1 1 出点B 的坐标是： (2,0) ； 1 第16页（共26页）（2）将OAB绕点O逆时针旋转90后的△OA B 画出△OA B 并写出点A 的坐标是： ． 2 2 2 2 2 【分析】（1）根据平移的性质得出对应点坐标即可得出答案； （2）根据旋转的性质得出对应点坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△OAB 即为所求，B 的坐标是(2,0)， 1 1 1 1 学 故答案为：(2,0)； 升 哥 水 （2）如图所示：△OA B 即为所求，A 的坐标是(1,3)， 2 2 2 故答案为：(1,3)． 【点评】本题考查了作图旋转变换以及作图平移变换，根据图形变化性质得出对应点坐标是解题关 键． 20．（6分）如图，已知直径CD为8，AB是O的弦，ABCD，垂足为M ，OM 2，求AB的长． 第17页（共26页）1 【分析】连接OA，先求出OA的长，再由垂径定理得出AM  AB，然后在RtAOM中，利用勾股定理 2 即可求出AM 的长，进而可得出AB的长． 【解答】解：如图，连接OA， O的直径CD8， OAOC 4， ABCD， 1 AM  AB， 学 2 升 在RtAOM中，由勾股定理得：AM  OA2 OM2  42 22 2 3， 哥 AB2AM 4 3， 水 即AB的长为4 3． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求 解是解答此题的关键． 21．（8分）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m)，墙对面有一个2米宽的门， 另外三边用木栏围成，木栏长30m． （1）若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）养鸡场面积能达到200m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 第18页（共26页）【分析】（1）、（2）设垂直于墙的边长为未知数，则平行于墙的边长为木栏长2垂直于墙的边长，鸡场的 面积垂直于墙的边长平行于墙的边长，把相关数值代入，看是否有合适的解即可． 【解答】解：设垂直于墙的边长为x m． （1）x(3022x)120， 解得x 10，x 6． 1 2 当x6时，322x2018，不合题意，舍去． 当x10时，352x15． x10． 答：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为15米时，鸡场的面积为120m2； 学 升 （2）鸡场的面积不能达到200m2．理由如下： x(3022x)200， 哥 2x2 32x2000． 水 △(32)2 422005760， 此方程无解． 答：鸡场的面积不能达到200m2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点． 22．（10分）已知二次函数ymx2 2(m1)x4(m为常数，且m0)． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标． 【分析】（1）△b2 4ac4(m1)2 0，即可求解； （2）由ymx2 2(m1)x4(x2)(mx2)，所以当x0时，y4，当x20，即x2时，y0， 即可求得定点坐标． 【解答】（1）证明：令y0，即mx2 2(m1)x40， b2 4ac[2(m1)]2 4m44m2 8m44(m1)2 0， 第19页（共26页）方程总有实数根， 该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：ymx2 2(m1)x4(x2)(mx2)． 因为该函数的图象都会经过两个定点， 所以当x0时，y4， 当x20，即x2时， y0， 所以该函数图象始终过定点(0,4)、(2,0)． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式，解决此题的关键是用方程知识 来处理函数问题． 23．（10分）某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件20元的价 格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，若每月销售件数y（件) 学 与价格x（元/件）满足关系ykxb 升 （1）确定y与x的函数关系式，并指出x的取值范围； 哥 （2）为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？ （3）为了获得了最大的利润，水商品应定为每件多少元？ 【分析】（1）设出一次函数解析式ykxb，用待定系数法求解即可． （2）设每月获得利润P，则 p(x16)y，由（1）可知y30x960(16 x 32)，所以可求出每月获得 利润为1800元时，商品应定为每件多少元； （3）按照等量关系“每月获得的利润（销售价格进价）销售件数”列出二次函数，并求得最值． 【解答】解：（1）依题意设ykxb，则有 36020kb  ， 21025kb 解得k 30，b960， y30x960(16 x 32) ； （2）设每月获得利润P，则 p(x16)y， P(30x960)(x16)， 当每月获得利润为1800元， 第20页（共26页）即(30x960)(x16)1800， x2 48x5720， 解得：x 22，x 26， 1 2 当每月获得利润为1800元时，商品应定为每件22元或26元； （3）获得利润P(30x960)(x16) 30(x32)(x16) 30(x2 48x512) 30(x24)2 1920， 当x24时，P有最大值，最大值为1920． 答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元． 学 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于 实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，升应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于 总收入减去总成本，然后再利用二次函哥数求最值． 24．（12分）已知直线l:ykxb经过点(0,7)和点(1,6)． 水 （1）求直线l的解析式； （2）若点P(m,n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0,3)，且开口向下． ①求m的取值范围； ②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q也在G上时，求G 4m 4m 在 x 1的图象的最高点的坐标． 5 5 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）①设抛物线的解析式为 ya(xm)2 7m ，将点 (0,3) 代入可得 am2 7m3 ，再由 m10 a 0，求m的取值即可； m2 1 yx7 ② 由 题 意 求 出 Q 点 的 横 坐 标 为 m ， 联 立 方 程 组  ， 整 理 得 2 ya(xm)27m 1 1 ax2 (12ma)xam2 m0，根据根与系数的关系可得mm 2m ，可求a2，从而可求m2 2 a 5 或m ，确定抛物线的解析式后即可求解． 2 第21页（共26页）【解答】解：（1）将点(0,7)和点(1,6)代入 ykxb， b7  ， kb6 k 1 解得 ， b7 yx7； （2）①点P(m,n)在直线l上， nm7， 设抛物线的解析式为ya(xm)2 7m， 抛物线经过点(0,3)， am2 7m3， m10 a ， m2 学 抛物线开口向下， 升 a0， 哥 m10 a 0， m2 水 m10且m0； ②抛物线的对称轴为直线xm， Q点与Q关于xm对称， 1 Q点的横坐标为m ， 2 yx7 联立方程组 ， ya(xm)27m 整理得ax2 (12ma)xam2 m0， P点和Q点是直线l与抛物线G的交点， 1 1 mm 2m ， 2 a a2， y2(xm)2 7m， 2m2 7m3， 第22页（共26页）5 解得m2或m ， 2 当m2时，y2(x2)2 5， 此时抛物线的对称轴为直线x2， 8 13 图象在 x 上的最高点坐标为(2,5)； 5 5 5 5 19 当m 时，y2(x )2  ， 2 2 2 5 此时抛物线的对称轴为直线x ， 2 9 图象在2 x 1上的最高点坐标为(2, )； 2 4m 4m 9 综上所述：G在 x 1的图象的最高点的坐标为(2, )或(2,5)． 5 5 2 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解 析式，分类讨论是解题的关键． 学 25．（12分）在等边ABC 内有一点O，OAa，OBb，OC c，其中a，b为方程x2 mxn0的两 升 根． 哥 （1）如图1，若abc，则AOB 120 ； 水 （2）如图2，若a，b，c满足a2 b2 c2， ①求AOB的度数． ②求等边ABC的面积（用含m，n的式子来表示）． ③若等边ABC的边长为1，问c是否有最小值，若有，请求出最小值，若没有，请说明理由？ 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明OA平分BAC，可得结论； （2）①如图1中，将AOC绕点A顺时针旋转60，得到ABT ，连接OT ．证明BOT 90，AOT 60， 可得结论； ②如图3中，过点A作AH  BO交BO的延长线于点H ．解直角三角形用m，n表示出AB2，可得结论； 第23页（共26页）③如图4中，如图，作AOB的外接圆Q，连接QA，QB，QC，QC交AB于点R．证明QAB是等 边三角形，求出QC，OQ，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中，ABC是等边三角形， AB AC ，BAC 60， OBOC， AO垂直平分线段BC， OA平分BAC ， 1 BAO BAC 30， 2 OAOB， OABOBA30， AOB180OABOBA120． 故答案为：120． 学 升 （2）①如图1中，将AOC绕点A顺时针旋转60，得到ABT ，连接OT ． 哥 水 AO AT ，OAT 60， AOT 都是等边三角形， AOT 60，OAOT ， OA2 OB2 OC2，OC BT ， BT2 OT2 OB2， BOT 90， AOBAOT TOB150． ②如图3中，过点A作AH BO交BO的延长线于点H ． 第24页（共26页）a，b为方程x2 mxn0的两根． abm，abn， a2 b2 (ab)2 2abm2 2n， AOB150， AOH 30， 1 1 3 在RtAOH中，AH  OA a，OH  a， 2 2 2 学 3 BH OBOH b a， 2 升 1 3 AB2  AH2 BH2  ( a)2 (b a)2 a2 b2  3abm2 2n 3n ， 2 2 哥 3 3 3 3 3 S  AB2  (m22n 3n) m2(  )n ； ABC 4 4 水4 4 2 ③如图4中，如图，作AOB的外接圆Q，连接QA，QB，QC，QC交AB于点R． AOB150， AQB60， QAQB， ABQ是等边三角形， QAQBCACB1， 第25页（共26页）CQ垂直平分AB， 1 BR AR ， 2 3 CRQR ， 2 CQ 3， CO CQOQ  31， CO的最小值为 31． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和 性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，添加辅助线，构造特殊 三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:55；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第26页（共26页）