23-24学年广东省实验中学九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) 1 A．x 0 B．ax2 bxc0 C．x2 10 D．x y10 x 2．（3分）抛物线y2x2 4的顶点坐标是( ) A．(1,2) B．(0,2) C．(1,3) D．(0,4) 3．（3分）抛物线 y 2x2 1向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A．y 2(x1)2 3 B．y 2(x1)2 3 C．y 2(x1)21 D．y 3(x1)2 1 4．（3分）一元二次方程x2 5x90的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 学 C．有一个实数根 D．没有实数根 升 5．（3分）解一元二次方程x2 8x50，用配方法可变形为( ) 哥 A．(x4)2 21 B．(x4)2 11 C．(x4)2 21 D．(x4)2 11 水 6．（3分）关于抛物线y2(x1)2说法正确的是( ) A．顶点坐标为(2,1) B．当x1时，y随x的增大而增大 C．当x0时，y有最大值1 D．抛物线的对称轴为直线x2 7．（3 分）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了 45次．若设共有x人参加 了同学聚会，列方程得( ) 1 1 A．x(x1)45 B．x(x1)45 C． x(x1)45 D． x(x1)45 2 2 8．（3分）下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) A． B． 第1页（共23页）C． D． 9．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F 、G、H 分别为各边上的点，且AE BF CGDH ， 设小正方形EFGH 的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是( ) 学 升 A． B． 哥 水 C． D． 1 10．（3分）如图，二次函数yax2 bxc(a0)图象的一部分，对称轴为直线x ，且经过点(2,0)， 2 5 下列说法：①abc0；②ab0；③4a2bc0；④若(2,y )，( ，y )是抛物线上的两点，则 1 2 2 y  y ，其中说法正确的是( ) 1 2 A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）某地2004年外贸收入为2.5亿元．2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x， 第2页（共23页）则可以列出方程为 ． 12．（3分）试写出一个开口方向向下，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为(0,4)的抛物线的解析 式 ． 13．（3分）已知m是关于x的方程x2 2x30的一个根，则2m2 4m ． 14．（3分）已知二次函数yx2 2xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2 2xm0 的解为 ． 1 1 15．（3分）已知一元二次方程2x2 3x10的两根为x ，x ，则   ． 1 2 x x 1 2 1 16．（3分）已知y关于x的二次函数y x2 mxm1，无学论m取何值，该函数图象恒过定点A，则 2 点A的坐标为 ． 升 三、解答题（本大题共9小题，共72分）哥 17．（4分）用适当方法解方程：x(x1)3x3． 水 18．（4分）已知抛物线的顶点坐标为(1,2)，与y轴交于点(0,4)，求抛物线的解析式． 19．（6分）已知抛物线yx2 2x2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． （2）选取适当的数据填入下表，并在下面的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．   x y  .. （3）若该抛物线上两点A(x ，y )B(x ，y )的横坐标满足x x 1，试比较y 与y 的大小． 1 1 2 2 1 2 1 2 第3页（共23页）20．（6分）如图，二次函数yx2 4x3与一次函数yx1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标； （2）根据图象，直接写出满足x1 x2 4x3的x的取值范围．? 学 升 哥 水 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (2k1)xk2 10有两个不等实数根x ，x ． 1 2 （1）求k的取值范围； （2）若x x 2xx 1，求k的值． 1 2 1 2 22．（10分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户 靠墙（墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC； （2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不 得高于成本的45%，经试销发现，销售量y（件)与销售单价x（元)符合一次函数，所调查的部分数据如 第4页（共23页）表： 销售单价x（元) 65 70 80  销售量y（件) 55 50 40  （1）求出y与x之间的函数表达式和x的取值范围． （2）若该商场获得利润为w元，试写出利润W 与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商 场可获得最大利润，最大利润是多少？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2 bx2的图象与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两 点，与y轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A，C ，M ，Q为顶点的四边形是平行四 边形，直接写出点Q的坐标． 学 升 哥 水 25．（12分）已知函数yx2 (m3)x2m(m为常数）． （1）请写出该函数的顶点坐标： （用m表示）； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，求该顶点满足的函数关系式；当顶点移动到最低处时，求该 抛物线的顶点坐标； （3）若直线 y2x1与二次函数图象交于A、B两点，令d  AB2，当4 m 2时，求d 的最大值和最 小值． 第5页（共23页）2023-2024 学年广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) 1 A．x 0 B．ax2 bxc0 C．x2 10 D．x y10 x 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意． B、当a0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． D、该方程中含有两个未知数，属于二元一次方程，故本选项学不符合题意． 故选：C． 升 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二 哥 次方程，一般形式是ax2 bxc0（且a0)．特别要注意a0的条件．这是在做题过程中容易忽视的 水 知识点． 2．（3分）抛物线y2x2 4的顶点坐标是( ) A．(1,2) B．(0,2) C．(1,3) D．(0,4) 【分析】形如 yax2 k的顶点坐标为(0,k)，据此可以直接求顶点坐标． 【解答】解：抛物线yx2 4的顶点坐标为(0,4)． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程ya(xk)2 h的顶点坐标是(k,h)，对称 轴方程是xk． 3．（3分）抛物线 y 2x2 1向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A．y 2(x1)2 3 B．y 2(x1)2 3 C．y 2(x1)21 D．y 3(x1)2 1 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 第6页（共23页）【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y 2x2 1向右平移1 个单位， 再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是y 2(x1)21． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的 关键． 4．（3分）一元二次方程x2 5x90的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：x2 5x90， △2549110， 学 该方程没有实数根． 故选：D． 升 【点评】本题考查根的判别式，解题的关哥键是熟练运用根的判别式，属于基础题型． 5．（3分）解一元二次方程x2 水8x50，用配方法可变形为( ) A．(x4)2 21 B．(x4)2 11 C．(x4)2 21 D．(x4)2 11 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【解答】解：x2 8x5， x2 8x16516，即(x4)2 21， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（3分）关于抛物线y2(x1)2说法正确的是( ) A．顶点坐标为(2,1) B．当x1时，y随x的增大而增大 C．当x0时，y有最大值1 D．抛物线的对称轴为直线x2 【分析】抛物线y2(x1)2，开口方向由a的大小判定，a0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶 点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线． 第7页（共23页）【解答】解：A，抛物线的顶点坐标是(1,0)，故错误． B，由于开口方向向下，对称轴为直线x1，x1时y随x的增大而增大，故正确； C，由于开口方向向下，顶点坐标是(1,0)，所以当x1时，y有最大值0，故错误； D，抛物线的对称轴是直线x1，故错误； 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，需掌握对称轴及顶点坐标的求法． 7．（3 分）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了 45次．若设共有x人参加 了同学聚会，列方程得( ) 1 1 A．x(x1)45 B．x(x1)45 C． x(x1)45 D． x(x1)45 2 2 【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手， 1 握手总次数为 x(x1)解决问题即可． 2 学 【解答】解：由题意列方程得， 1 升 x(x1)45． 2 哥 故选：C． 水 1 【点评】此题主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x(x1)，利用这一基 2 本数量关系类比运用解决问题． 8．（3分）下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) A． B． C． D． 【分析】根据直线直线yaxb经过的象限得到a0，b0，与ab0矛盾，则可对A进行判断；根据 抛物线yax2开口向上得到a0，而由直线yaxb经过第二、四象限得到a0，由此可对B进行判断； 根据抛物线yax2开口向下得到a0，而由直线yaxb经过第一、三象限得到a0，由此可对C进行 第8页（共23页）判断；根据抛物线yax2开口向下得到a0，则直线yaxb经过第二、四象限，并且b0，得到直线 与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断． 【解答】解：A、对于直线yaxb，得a0，b0，与ab0矛盾，所以A选项错误； B、由抛物线yax2开口向上得到a0，而由直线yaxb经过第二、四象限得到a0，所以B选项 错误； C 、由抛物线yax2开口向下得到a0，而由直线yaxb经过第一、三象限得到a0，所以C选项 错误； D、由抛物线yax2开口向下得到a0，则直线yaxb经过第二、四象限，由于ab0，则b0，所 以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数 yax2 bxc(a0) 的图象为抛物线，顶点式为 学 b 4acb2 b 4acb2 b ya(x )2  ，顶点坐标为( ， 升)；当a0，抛物线开口向上；对称轴为直线x ； 2a 4a 2a 4a 2a 抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．也考查哥了一次函数的性质． 9．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F 、G、H 分别为各边上的点，且AE BF CGDH ， 水 设小正方形EFGH 的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是( ) A． B． C． D． 【分析】根据条件可知 AEH BFE CGF DHG ，设 AE 为 x ，则 AH 1x ，根据勾股定理 第9页（共23页）EH2  AE2 AH2 x2 (1x)2，进而可求出函数解析式，求出答案． 【解答】解：根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE BF CGDH ， AEH BFE CGF DHG． 设AE为x，则AH 1x，根据勾股定理，得 EH2  AE2 AH2 x2 (1x)2 即sx2 (1x)2． s2x2 2x1， 1 所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线x ． 2 由题意可知自变量的取值范围是大于0小于1． 故选：B． 【点评】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决． 学 1 10．（3分）如图，二次函数yax2 bxc(a0)图象的一部分，对称轴为直线x ，且经过点(2,0)， 升 2 5 下列说法：①abc0；②ab0；③4a2bc0；④若(2,y )，( ，y )是抛物线上的两点，则 哥 1 2 2 y  y ，其中说法正确的是水( ) 1 2 A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号； ②根据对称轴求出ba； ③把x2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系； 1 ④求出点(2,y )关于直线x 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 和y 的大小． 1 2 1 2 【解答】解：①二次函数的图象开口向下， a0， 二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， 第10页（共23页）c0， 1 对称轴是直线x ， 2 b 1   ， 2a 2 ba0， abc0． 故①正确； ②由①中知ba， ab0， 故②正确； ③把x2代入yax2 bxc得：y4a2bc， 学 抛物线经过点(2,0)， 升 当x2时， y0，即4a2bc0．哥 故③错误； 水 1 ④(2,y )关于直线x 的对称点的坐标是(3,y )， 1 2 1 1 5 又当x 时，y随x的增大而减小， 3， 2 2 y  y ． 1 2 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a0时，二次函数的图象开口向上， 当a0时，二次函数的图象开口向下． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）某地2004年外贸收入为2.5亿元．2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x， 则可以列出方程为 2.5(1x)2 4 ． 第11页（共23页）【分析】2006年的外贸收入2004年的外贸收入(1增长率）2，把相关数值代入即可． 【解答】解：2005年的外贸收入为2.5(1x)， 2006年的外贸收入为2.5(1x)(1x)2.5(1x)2， 可列方程为2.5(1x)2 4， 故答案为2.5(1x)2 4． 【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经 过两次变化后的数量关系为a(1x)2 b． 12．（3分）试写出一个开口方向向下，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为(0,4)的抛物线的解析 式 y(x2)2 8等 ． b 【分析】由开口向下可以推出a0，又由对称轴为直线x2得到 2，而抛物线与y轴的交点坐标为 2a 学 (0,5)，所以c5．根据以上条件可以确定函数的一部分系数，答案不唯一． 升 【解答】解：开口向下， 哥 a0； 对称轴为直线x2， 水 b  2， 2a 与y轴的交点坐标为(0,4)， c4． 答案不唯一，如y(x2)2 8等， 故答案为 y(x2)2 8等． 【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题是开放性试题，要熟练掌握函数图形及性质的综合 应用，此题难度一般，答案不唯一． 13．（3分）已知m是关于x的方程x2 2x30的一个根，则2m2 4m 6 ． 【分析】根据m是关于x的方程x2 2x30的一个根，通过变形可以得到2m2 4m值，本题得以解决． 【解答】解：m是关于x的方程x2 2x30的一个根， m2 2m30， m2 2m3， 第12页（共23页）2m2 4m6， 故答案为：6． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14．（3分）已知二次函数yx2 2xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2 2xm0 的解为 x 4，x 2 ． 1 2 【分析】根据图象可知，二次函数yx2 2xm的部分图象经过点(4,0)，把该点代入方程，求得m值； 然后把m值代入关于x的一元二次方程x2 2xm0，求根即可． 学 【解答】解：根据图象可知，二次函数 yx2 2xm的部分图象经过点(4,0)，所以该点适合方程 升 yx2 2xm，代入，得 哥 42 24m0 水 解得m8① 把①代入一元二次方程x2 2xm0，得 x2 2x80，② 解②得 x 4，x 2， 1 2 故答案为x 4，x 2． 1 2 【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象 提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率． 1 1 15．（3分）已知一元二次方程2x2 3x10的两根为x ，x ，则   3 ． 1 2 x x 1 2 【分析】因为x ，x 是一元二次方程2x2 3x10的两根，有根与系数的关系可得x x 和x x 的值， 1 2 1 2 1 2 1 1 把  通分，再把得x x 和x x 的值代入即可得到问题的答案． x x 1 2 1 2 1 2 【解答】解：一元二次方程2x2 3x10中，a2，b3，c1， 第13页（共23页）x ，x 为方程的两根， 1 2 b 3 c 1 x x   ，x x   ， 1 2 a 2 1 2 a 2 1 1 x x    1 2 ， x x x x 1 2 1 2 3  1  1  2 3， x x 1 1 2  2 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程 1 2 b c b c ax2 bxc0(a0)的两根时，x x  ，xx  ，反过来也成立，即 (x x )， xx ． 1 2 a 1 2 a a 1 2 a 1 2 1 16．（3分）已知y关于x的二次函数y x2 mxm1，无论m取何值，该函数图象恒过定点A，则 2 1 点A的坐标为 (1, ) ． 学 2 1 1升 【分析】将函数y x2 mxm1变形为y x2 m(x1)1，然后令含m项的系数为0，即可得出 2 2 哥 顶点A的坐标． 1 水1 【解答】解：y x2 mxm1 x2 m(x1)1， 2 2 当x10，即x1时， 1 1 此时 y 1 ， 2 2 1 1 函数y x2 mxm1过定点A(1, )． 2 2 1 故答案为：A(1, )． 2 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（4分）用适当方法解方程：x(x1)3x3． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：x(x1)3x3， x(x1)3(x1)0， 则(x1)(x3)0， x10或x30， 第14页（共23页）解得x 1，x 3． 1 2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（4分）已知抛物线的顶点坐标为(1,2)，与y轴交于点(0,4)，求抛物线的解析式． 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为 ya(x1)2 2(a0)，再把(0,4)代入可 计算出a的值即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为(1,2) 设抛物线的解析式为ya(x1)2 2(a0)， 把(0,4)代入上式得：a24， 解得a2． 所以，抛物线的解析式为： y2(x1)2 2． 学 【点评】本题考查了待定系数法法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 升 19．（6分）已知抛物线yx2 2x2． 哥 （1）该抛物线的对称轴是 直线x1 ，顶点坐标是 ． 水 （2）选取适当的数据填入下表，并在下面的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．   x y  .. （3）若该抛物线上两点A(x ，y )B(x ，y )的横坐标满足x x 1，试比较y 与y 的大小． 1 1 2 2 1 2 1 2 【分析】（1）配方后即可确定顶点坐标及对称轴； （2）列表，描点、连线画出抛物线即可； 第15页（共23页）（3）根据图象确定答案即可． 【解答】解：（1）yx2 2x2(x1)2 3 对称轴为直线x1，顶点坐标为(1,3)； 故答案为直线x1，(1,3)； （2）列表：   x 1 0 1 2 3 y  1 2 3 2 1 .. 描点、连线画出函数图象为： 学 升 哥 水 （3）在对称轴的左侧y随x的增大而增大， x  x 1， 1 2 y  y ． 1 2 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象． 20．（6分）如图，二次函数yx2 4x3与一次函数yx1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标； （2）根据图象，直接写出满足x1 x2 4x3的x的取值范围．? 第16页（共23页）【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论； （2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等 式的解集． y x2 4x3 【解答】解：（1）解方程组 ， y x1 x1 x4 得 或 ， y0 y3 A(1,0)，B(4,3)； 学 （2）由图象可知，满足满足x1 x2 4x3的x的升取值范围为：1 x 4． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（哥组)：对于二次函数yax2 bxc(a、b、c是常数，a0)与 一次函数的函数值的大小，可利水用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可 作图利用交点直观求解， 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2 (2k1)xk2 10有两个不等实数根x ，x ． 1 2 （1）求k的取值范围； （2）若x x 2xx 1，求k的值． 1 2 1 2 【分析】（1）根据根的情况与判别式的关系，可得△0，即可求出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可得x x 2k1，xx k2 1，再根据x x 2xx 1，即可求出k的 1 2 1 2 1 2 1 2 值． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2 (2k1)xk2 10有两个不等实数根x ，x ， 1 2 △(2k1)2 4(k2 1)4k30， 3 k  ； 4 （2）根据根与系数的关系，可得x x 2k1，xx k2 1， 1 2 1 2 第17页（共23页）又x x 2xx 1， 1 2 1 2 2k12(k2 1)1， 解得k 0或k 1， 3 由（1）得k  ， 4 k 1． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 22．（10分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户 靠墙（墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC； （2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 学 升 哥 【分析】（1）设BC x m，则 水 可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可． （2）设BC x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符 合题意，即可作出判断． 【解答】解：（1）设BC x m，则AB(393x)m ， 由题意得：x(393x)120， 整理得：x2 13x400， 解得：x 5，x 8， 1 2 当x5时，393x2415，不符合题意；当x8时，393x15，符合题意； 答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m． （2）设BC x m，则AB(393x)m ， 由题意得：x(393x)130， 整理得：3x2 39x1300， △(39)2 43130152115600， 方程无实数解； 第18页（共23页）所以想法不能实现． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 23．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不 得高于成本的45%，经试销发现，销售量y（件)与销售单价x（元)符合一次函数，所调查的部分数据如 表： 销售单价x（元) 65 70 80  销售量y（件) 55 50 40  （1）求出y与x之间的函数表达式和x的取值范围． （2）若该商场获得利润为w元，试写出利润W 与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商 场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据表中数据，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）列出关于W 的解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 学 【解答】解：（1）设一次函数解析式为ykxb， 升 65kb55 根据题意得： ， 70kb50 哥 水 k 1 解得： ， b120 解析式为：yx120； （2）由题意知： W (x60)(x120) x2 180x7200 (x90)2 900， 抛物线开口向下， 当x90时，W 随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的45%， 即x60 6045%， 60 x 87， 当x87时，W (8790)2 900891， 答：当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第19页（共23页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2 bx2的图象与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两 点，与y轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当ACP的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A，C ，M ，Q为顶点的四边形是平行四 边形，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）将A(3,0)，B(1,0)两点坐标代入yax2 bx2，得出关于a，b的二元一次方程组． 学 （2）要使ACP的面积最大，则ACP的AC边上的高最大． 升 （3）以A、C、M 、Q为顶点的四边形为平行四边形，则CM 与其对边Q A（或Q A)长度相等．CM //x 1 2 哥 轴，说明抛物线的对称轴是线段CM 的垂直平分线． 水 【解答】解：（1）二次函数yax2 bx2的图象与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点， 9a3b20  ， ab20  2 a   3 解得 ，  b 4  3 2 4 二次函数的解析式为y x2  x2； 3 3 （2）令x0，则y2， 点C(0,2)． 设直线AC 的解析式为ykxm(k 0)， 3kb0 则 ， b2 第20页（共23页） 2 k  解得 3，  b2 2 直线AC的解析式为y x2， 3 由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时，ACP的面积最大， 2 此时设过点P的直线为y xn， 3  2 4 y x2  x2   3 3 联立 ，  y 2 xn  3 2 4 2 消掉y得， x2  x2 xn， 3 3 3 整理得，2x2 6x63n0， △62 42(63n)0， 学 7 解得n ， 2 升 6 3 此时x  x   ， 1 2 22 2 哥 2 3 7 5 y ( )  ， 3 2 2 2 水 3 5 点P( ， )时，ACP的面积最大； 2 2 （3）假设存在点Q，使以A、C 、M 、Q为顶点的四边形为平行四边形． M 在第二象限，则CM //x轴，如图：有符合要求的两个点Q 、Q ，此时Q AQ ACM ． 1 2 1 2 CM //x轴， M 、C(0,2)关于对称轴x1对称， M(2,2)， CM 2． 第21页（共23页）A(3,0)，Q AQ ACM 2， 1 2 Q(5,0)，Q (1,0)． 1 2 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5,0)或(1,0)． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组，把问题转化为二次方程，利用判别式解决问题，属 于中考压轴题． 25．（12分）已知函数yx2 (m3)x2m(m为常数）． m3 m2 2m9 （1）请写出该函数的顶点坐标： ( ， ) （用m表示）； 2 4 （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，求该顶点满足的函数关系式；当顶点移动到最低处时，求该 抛物线的顶点坐标； （3）若直线 y2x1与二次函数图象交于A、B两点，令d  AB2，当4 m 2时，求d 的最大值和最 学 小值． 升 【分析】（1）由顶点坐标公式即可求解； 哥 m3 m2 2m9 m2 2m9 （2）设x ， y ，则m2x3，则 y x2 4x6；当顶点移动到最低 2 4水 4 m3 处时，x2 ，解得：m1，即可求解； 2 （ 3 ） 联 立 函 数 表 达 式 得 到 ： x2 (m5)x2m10 ， 求 出 AC2 (x x )2 (x x )2 4xx (m1)2 20，进而求解． 1 2 1 2 1 2 m3 m2 2m9 【解答】解：（1）yx2 (m3)x2m(x )2 ， 2 4 m3 m2 2m9 则抛物线的顶点坐标为：( ， )， 2 4 m3 m2 2m9 故答案为：( ， )； 2 4 m3 m2 2m9 （2）设x ，y ， 2 4 m2 2m9 则m2x3，则y x2 4x6； 4 即yx2 4x6(x2)2 2， m3 即当顶点移动到最低处时，x2 ， 2 第22页（共23页）解得：m1， 则函数yx2 (m3)x2m为函数yx2 4x2， 则该抛物线顶点坐标为：(2,2)； （3）过A作AC//x轴，过B作BC//y轴， 1 由直线的表达式知，tanABC 2，则cosABC ， 5 AC 则AB  5AC， cosABC 学 设直线y x与yx2 (m3)x2m的交点为A(x ，y )B(x ，y )， 1升1 2 2 yx2 (m3)x2m 联立方程有： 得：哥 x2 (m5)x2m10， y2x1 水 x x m，5，xx 2m1， 1 2 1 2 则AC2 (x x )2 (x x )2 4xx (m1)2 20 20， 1 2 1 2 1 2 当4 m 2时， 当m1时，AC取得最小值为 20， 当m4时，AC2取得最大值为：(m1)2 2025，即AC 的最大值为5， 则d  AB，则d的最小值为 5 20 10，d的最大值为5 5． 【点评】此题考查了抛物线与一次函数的交点，根的判别式、根与系的关系以及二次函数的性质，熟练掌 握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:26:27；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第23页（共23页）