文档内容
2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个
1．（3分）如果 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
2．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若分式 ，则x的值是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x≠﹣1
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．（a2） 3＝a6
C．（2a2） 3＝2a6 D．a6÷a2＝a3
5．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导
下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为
125 纳米，1 纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示 125 纳米，则正确的结果是
（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
7．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接
OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
第1页（共25页）A．20 B．30 C．50 D．100
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，
PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对
折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（
）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝ ．
12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是 ．
13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对
称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空的部分的面积是 ．
第2页（共25页）14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：
，使得△ABP≌△ACP．
15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为
15cm和20cm，则这根铁丝的长为 cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B
＝ °．
17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD
＝2 ，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为 ．
18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A ，A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 4 1 2
B ，…在射线OM上，且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，以此类
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4
推，若OA ＝1，则△A B A 的边长为 ．
1 2021 2021 2022
第3页（共25页）三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（5分）计算：|﹣ |+ ﹣（ ﹣2）0+（ ）﹣1．
π
20．（5 分）如图，点 B，C，D，F 在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝
∠DEF，求证：AC∥DE．
21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
22．（4分）尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路
FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，
请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
23．（5分）解方程： + ＝1．
24．（5分）化简求值：（ ）÷ ，其中x＝2+ ．
25．（5分）列分式方程解应用题：
截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在
“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗
第4页（共25页）的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲
种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线
段AB上，∠PDQ＝120°．
（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；
（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上
一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直
线DF的对称点G，连接DG．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ADF＝ ；
①求∠EDG的度α数（用含 的式子表示）；
②请判断以线段AE，BF，αEF为边的三角形的形状，并说明理由．
第5页（共25页）28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．
给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P ，再将点P 关于直线l对称得点
1 1
P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次
反射点A′，B′，C′的坐标分别是 ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点
D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，
若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线
段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
第6页（共25页）2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个
1．（3分）如果 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、 是最简二次根式；
B、 ＝ ＝2 ，不是最简二次根式；
C、 ＝|a|，不是最简二次根式；
D、 ，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3．（3分）若分式 ，则x的值是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x≠﹣1
【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．
【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，
解得 x＝1．
故选：A．
第7页（共25页）【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．（a2） 3＝a6
C．（2a2） 3＝2a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同
底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；
B、（a2） 3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a2） 3＝8a6，故本选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法
则是解答本题的关键．
5．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导
下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为
125 纳米，1 纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示 125 纳米，则正确的结果是
（ ）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
第8页（共25页）C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，
叫因式分解，也叫分解因式．
7．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n
的方程组，就可以求出边数n．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°＝1080°，
∴n＝8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选：C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接
OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
第9页（共25页）∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝ ，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，
PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求
出OH，计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝ MN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝ OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．
第10页（共25页）【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对
折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（
）
A． B． C． D．
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即
可得到一个图案．
【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，
从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直
角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准
确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得
到正确的图案．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝ y （ x ﹣ 2 ）（ x + 2 ） ．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
第11页（共25页）【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因
式是解题关键．
12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是 2 5 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，
∴m＝25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对
称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空的部分的面积是 （ a ﹣ b ） 2 ．
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面
积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），
∴正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故答案为（a﹣b）2．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：
∠ BAP ＝∠ CAP 或∠ APB ＝∠ APC 或∠ BPD ＝∠ CPD （答案不唯一） ，使得
△ABP≌△ACP．
第12页（共25页）【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．
【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证
△ABP≌△ACP；
若 添 加 ∠ APB ＝ ∠ APC ， 且 ∠ ABP ＝ ∠ ACP ， AP ＝ AP ， 由 “ AAS” 可 证
△ABP≌△ACP；
若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由
“AAS”可证△ABP≌△ACP；
故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为
15cm和20cm，则这根铁丝的长为 5 0 或 5 5 cm．
【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或
20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．
【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，
∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞
20，符合三角形的三边关系；
当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．
故答案为：50或55．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理
并分类讨论是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B
＝ 2 5 °．
第13页（共25页）【分析】设∠ADC＝ ，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD
的度数，最后根据三角α形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝ ，
α
∴∠B＝∠BAD＝ ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣ ，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2 +105°﹣ ＝180°，
α
解得： ＝50°，
α
∴∠B＝∠BAD＝ ＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的
两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD
＝2 ，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为 ．
【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB
＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同
第14页（共25页）一直线上时，PC+PE 的最小值等于 CE 的长，根据勾股定理进行计算，即可得出
PC+PD的最小值为2 ．
【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，
则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝ BC＝2，
∴BE＝2，
∵PC+PD＝PC+PE，
∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，
在Rt△BCE中，CE＝ ＝ ＝2 ，
∴PC+PD的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑
线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A ，A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 4 1 2
B ，…在射线OM上，且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，以此类
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4
推，若OA ＝1，则△A B A 的边长为 2 202 0 ．
1 2021 2021 2022
【分析】根据等边三角形的性质得到∠B A A ＝60°，根据三角形的外角性质求出
1 1 2
第15页（共25页）∠OB A ，得到∠OB A ＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A B ＝OA ＝1，总
1 1 1 1 1 1 1
结规律，根据规律解答．
【解答】解：∵△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B A A ＝60°，
1 1 2
∵∠MON＝30°，
∴∠OB A ＝∠B A A ﹣∠MON＝30°，
1 1 1 1 2
∴∠OB A ＝∠MON，
1 1
∴A B ＝OA ＝1，
1 1 1
同理可得，A B ＝OA ＝2，A B ＝OA ＝4＝22，……，
2 2 2 3 3 3
∴△A B A 的边长＝22020，
2021 2021 2022
故答案为：22020．
【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据
等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（5分）计算：|﹣ |+ ﹣（ ﹣2）0+（ ）﹣1．
π
【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝ + ﹣1+2
＝ +2 +1
＝3 +1．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数
指数幂的性质的性质是正确计算的前提．
20．（5 分）如图，点 B，C，D，F 在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝
∠DEF，求证：AC∥DE．
【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再
由平行线的判定即可得出结论．
第16页（共25页）【解答】证明：在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴∠ACB＝∠EDF，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴AC∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明
△ABC≌△EFD是解题的关键．
21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1
＝﹣x2+x+2，
当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
22．（4分）尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路
FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，
请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即
为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
第17页（共25页）【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（5分）解方程： + ＝1．
【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，
再代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），
解这个方程得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
x＝﹣3是原方程的解；
∴原方程的解是：x＝﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的
解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
24．（5分）化简求值：（ ）÷ ，其中x＝2+ ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（ ）÷
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，
第18页（共25页）当x＝2+ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（5分）列分式方程解应用题：
截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在
“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗
的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲
种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据
等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列
出方程求解即可
【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40（元），
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线
段AB上，∠PDQ＝120°．
（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；
（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．
【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝
第19页（共25页）DE；
（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可
证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．
【解答】证明：（1）∵△ABC 为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵D 为AC的中点，
∴DB平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵∠EDB＝120°
∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°
∴∠DBC＝∠P，
∴DB＝DP；
（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，
∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，
∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，
∴AD＝HD＝AH＝4，
∴HD＝CD＝4＝BH，
∵∠QDP＝∠HDP＝120°，
∴∠QDH＝∠PDC，
在△QDH和△PDC中，
，
第20页（共25页）∴△QDH≌△PDC（ASA）
∴HQ＝PC，
∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等
边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上
一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直
线DF的对称点G，连接DG．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ADF＝ ；
①求∠EDG的度α数（用含 的式子表示）；
②请判断以线段AE，BF，αEF为边的三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）①根据轴对称的性质解答即可；
②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
第21页（共25页）（2）①∵∠ADF＝ ，
∴∠BDF＝180°﹣ ，α
由轴对称性质可知α，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣ ，
∵DF⊥DE， α
∴∠EDF＝90°，
∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣ ﹣90°＝90°﹣ ；
②以线段AE，BF，EF为边的三角形α是直角三角形α，
连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵GD＝BD，
∴AD＝GD，
∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣ ，DE＝DE，
在△GDE与△ADE中， α
，
∴△GDE≌△ADE（SAS），
∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，
∵∠EAD＝90°+∠B，
∴∠EGD＝90°+∠B，
第22页（共25页）∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，
∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，
∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的
判定和性质解答．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．
给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P ，再将点P 关于直线l对称得点
1 1
P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次
反射点A′，B′，C′的坐标分别是 A ′（ 2 ， 0 ）， B ′（ 4 ， 0 ）， C ′（ 3 ， 1 ） ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点
D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，
若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线
段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况
列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），
∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），
∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；
第23页（共25页）∵B（﹣2，0），
∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），
∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），
∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），
∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），
∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；
故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，
∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），
∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵点P（a，1），
∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），
当P'Q'与EH有公共点时，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
当P'Q'与fg有公共点时，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义
二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
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