2024-2025 学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合A={x||x|≤2}，B={-3,-2,-1,0,1}，则A∩B=( )
A. {-1,0} B. {-2,-1,0} C. {-1,0,1} D. {-2,-1,0,1}
2.下列函数在区间[0,+∞)上单调递增的是( )
1
A. f(x)=-x B. f(x)=2x C. f(x)=lgx D. f(x)=
x
3.对某种动物的三项指标A，B，C进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为
(a ,b ,c )(i∈N* ).若(a ,b )与(a ,c )的散点图如图1和图2所示，那么关于(b ,c )的散点图最合理的为
i i i i i i i i i
( )
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1 2A. B.
C. D.
4.甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有( )
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
5.为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有
3个小孩的家庭.如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
7 4 3 2
6.设函数 { x-1,x≤a, 若 恰有两个零点，则实数 的取值范围是( )
f(x)= y=f(x) a
x2-x-6,x>a.
A. (-∞,-2) B. (-∞,-2)∪[1，3)
C. (-2,3) D. (-∞,-2)∪(3,+∞)
7.投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为X，那么X的数学期望为
( )
9 9
A. B. 4 C. D. 5
4 2
8.已知函数 ， ，其中 ， ，那么“对任意的实数 都有
f(x)=ex g(x)=k(x-x )+ex 0 x k∈R x f(x)≥g(x)
0 0
”是“k=ex 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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2 29.已知正整数a，b，c，d，e满足a<b<c<d<e，且a+b+c+d+e=50，那么b+d的最大值是( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
10.已知函数f(x)=ln(x-1)，对于实数x ，x ，已知1<x <x ，设
1 2 1 2
M= f(x 2 )-f(x 1 ) ,P= f(x 2 +1)-f(x 1 )， Q= f(x 1 )+f(x 2 )，则( )
x -x x -x +1 x +x
2 1 2 1 1 2
A. x >2时，有M>Q>P B. x >2时，有P>M>Q
1 1
C. 1<x <2时，有P>Q>M D. 1<x <2时，有M>P>Q
1 1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
1
11.函数f(x)= +lnx的定义域是______．
√x+1
12.在 的展开式中， 的系数为______ 用数字作答
(1-2√x) 6 x .( )
13.已知函数 其中 ， 是正实数 ．
f(x)=p2x+q2-x ( p q )
①能使函数f(x)为偶函数的一组p，q可以为______；
②若函数f(x)的最小值为4，则p+q的最小值为______．
14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，点A，B，C，D在平面直角坐
标系中的位置如图所示.已知曲线y=f(x)在点B，C处的切线分别为直线
AB和CD，则此函数的解析式f(x)= ______．
15.一组单调不减的数据a ，a ，a ，…，a (n≥3)(即a ≤a ≤a ≤⋯≤a )，满足a ≠a ，记这组数据a ，
1 2 3 n 1 2 3 n 1 n 1
a ，a ，…，a 的方差为D；数据a ，a ，…，a 的有差为D ；数据a ，a ，a ，…，a 的方差为D ；
2 3 n 2 3 n 1 1 2 3 n-1 2
数据a ，a ，…，a 的方差为D .给出下列四个结论：
2 3 n-1 3
①存在单调不减的数据，使得D>D ；
1
②存在单调不减的数据，使得D =D ；
1 2
③存在单调不减的数据，使得D=D ；
2
④对任意单调不减的数据，都有D>D ．
3
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的
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3 23 4 3
产品合格率分别为 ， ， ．
4 5 5
(Ⅰ)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；
(Ⅱ)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；
(Ⅲ)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．
17.(本小题14分)
1
已知函数f(x)= x3-x2-3x．
3
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(-3,f(-3))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值；
(Ⅲ)若函数f(x)在(a,+∞)上存在最小值，求a的取值范围．
18.(本小题13分)
在某校运动会射击项目中只有甲、乙.丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1
次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩(单位：环)统计如下：
轮
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次
甲 10.210.710.010.29.98.8 10.110.297 9.5
乙 8.6 10.49.4 9.7 9.88.8 10.09.4 10.6104
丙 6.5 8.5 7.7 9.7 8.510.38.7 7.5 10.58.5
用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(Ⅰ)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命
中靶心”的轮数；
(Ⅱ)从前10轮比赛中随机选择3轮，设X表示乙获胜的轮数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(Ⅲ)记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为a，b，c .(t=5,6,7,8,9,10)．
i i i
定义统计量：
1 1 1 1 1
d = |a -a |+ |a -a |+ |a -a |+ |a -a |+ |a -a |，
a 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
1 1 1 1 1
d = |b -b |+ |b -b |+ |b -b |+ |b -b |+ |b -b |，
b 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
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4 21 1 1 1 1
d = |c -c |+ |c -c |+ |c -c |+ |c -c |+ |c -c |．
c 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
请直接写出d ，d ，d 的大小关系，
a b c
19.(本小题15分)
已知椭圆 ：x2 y2 的离心率为1， 为椭圆 上一点，已知点 3 ．
C + =1(a>b>0) (0,√3) C P(1, )
a2 b2 2 2
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N(均异于点P).若直线PM，PN的斜率互为相反数，
求直线l的方程．
20.(本小题15分)
已知函数
1+x+ax2
，其中 ．
f(x)= a>0
ex
(Ⅰ)讨论函数y=f(x)的单调性；
(Ⅱ)若a=1，t<0，设曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线交x轴于点B．
(i)求出点B的横坐标(用t表示)；
(ii)已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，求证：存在唯一的点A(t,f(t))，使得△AHB为等腰直角三角形．
21.(本小题15分)
n-1
已知数列 ： ， ， ， ，定义： 从 中选取第 项、第 项、 、第
A a a … a (n≥3) Γ(A)=∑|a -a |. A i i …
1 2 n i+1 i 1 2
i=1
项 则称数列 为 的长度为 的子列 若 ： ， ， ，
i (i <i <…<i ,2≤m≤n-1). a ,a ,⋯,a A m . A a a …
m 1 2 m i i i 1 2
1 2 n
a (n≥3)为1，2，…，n的一个排列，则称数列A具有性质P．
n
(Ⅰ)已知A：1，3，4，2，5，6，若数列B是数列A的长度为4的子列，写出T(B)的最大值和最小值；
(Ⅱ)已知数列A：a ，a ，…，a 具有性质P，且存在唯一的长度为3的子列B，使得T(B)=T(A)，求
1 2 6
T(A)的最小值；
(Ⅲ)已知数列A：a ，a ，…，a 具有性质P，且n为偶数，求T(A)的最大值，并直接写出当T(A)取得
1 2 n
最大值时数列A的个数．
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5 2参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.C
8.C
9.B
10.D
11.(0,+∞)
12.60
13.p=1，q=1(答案不唯一) 4
1 1
14. x3+ x
2 2
15.①②③
3
16.(Ⅰ)根据题意，甲机器的产品合格率为 ，
4
3 3 9
从甲机器生产的产品中任取2件产品，2件产品都合格的概率P= × = ；
4 4 16
(Ⅱ)根据题意，设从甲机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件A，从乙机器生产的产品中任取
1件，该产品为合格品为事件B，从丙机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件C，
3 4 3
则P(A)= ，P(B)= ，P(C)= ．
4 5 5
则要求概率
- - - 3 4 3 3 4 3 3 4 3 9
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)= × ×(1- )+ ×(1- )× +(1- )× × = ；
4 5 5 4 5 5 4 5 5 20
(Ⅲ)根据题意，若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，
设该产品是甲生产的为事件D ，是乙生产的为事件D ，是丙生产的为事件D ，
1 2 3
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6 2这件产品合格为事件E，
1 3 1 4 1 3 43
则P(E)=P(D )P(E|D )+P(D )P(E|D )+P(D )P(E|D )= × + × + × = ．
1 1 2 2 3 3 3 4 3 5 3 5 60
1
17.(I)f(-3)= ×(-3) 3-(-3) 2+9=-9，
3
，
f '(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1)
故f '(-3)=(-3-3)×(-3+1)=12，
故y=f(x)在点(-3,f(-3))处的切线方程为y+9=12(x+3)，
即12x- y+27=0；
(Ⅱ)令f '(x)=(x-3)(x+1)>0，得x>3或x<-1，
令f '(x)<0，得-1<x<3，故f(x)在(-∞,-1)，(3,+∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，
故f(x)在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值，
1 5
极大值为f(-1)=- -1+3= ，极小值为f(3)=9-9-9=-9；
3 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在(-∞,-1)，(3,+∞)上单调递增，
在(-1,3)上单调递减，且f(3)=f(-3)=-9，
要想f(x)在(a,+∞)上存在最小值，故-3≤a<3．
6 3
18.(I)甲前10轮比赛中“命中靶心”的次数为6次，所以甲“命中靶心”的概率为 = ，
10 5
3
所以估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数为10× =6次；
5
(Ⅱ)乙前10轮比赛中只有第9，10获胜，其余8轮均没有取得胜利，故随机变量X的值为0，1，2，
所以 P(X=0)= C3 8 C 2 0 = 7 ，
C3 15
10
P(X=1)=
C2
8
C1
2= 7 ，
C3 15
10
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7 2P(X=1)= C1 8 C 2 2 = 1 ，
C3 15
10
所以X的分布列为：
x 0 1 2
P 7 715 1
7 7 1 3
所以E(X)=0× +1× +2× = ；
15 15 15 5
(Ⅲ)由题意得a =9.5，a =9.7，a =10.2，a =10.1，a =8.8，a =9.9，
10 9 8 7 6 5
1 1 1 1 1
所d = |9.5-9.7|+ |9.7-10.2|+ |10.2-10.1|+ |10.1-8.8|+ |8.8-9.9|
a 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×0.2+ ×0.5+ ×0.1+ ×1.3+ ×1.1=0.3875，
2 22 23 24 24
由题意可得b =10.4，b =10.5，b =9.4，b=10.0，b =8.8，b =9.8，
10 9 8 6 5
1 1 1 1 1
所以d = |10.4-10.5|+ |10.5-9.4|+ |9.4-10.0|+ |10.0-8.8|+ |8.8-9.8|
a 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×0.1+ ×1.1+ ×0.6+ ×1.2+ ×1.0=0.5375，
2 22 23 24 24
由题意可得c =8.5，c =10.5，c =7.5，c =8.7，c =10.3，c =8.5，
10 9 8 7 6 5
1 1 1 1 1
所以d = |8.5-10.5|+ |10.5-7.5|+ |7.5-8.7|+ |8.7-10.3|+ |10.3-8.5|
a 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×2+ ×3.0+ ×1.2+ ×1.6+ ×1.8=2.1125，
2 22 23 24 24
所以d <d <d ．
a b c
x2 y2
19.(I)由椭圆C： + =1，过点(0,√3)，
a2 b2
1 √a2-b2 1
则b=√3由椭圆C的离心率为 ，得 = ，
2 a 2
x2 y2
则a=2，所以椭圆C的方程为 + =1；
4 3
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8 2(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在，设方程为y=k(x-1)，
{ y=k(x-1)
由 消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，显然Δ>0，
3x2+4 y2=12
8k2 4k2-12
设M(x ,y )，N(x ,y )，则x +x = ，x x = ，
1 1 2 2 1 2 4k2+3 1 2 4k2+3
3 3
y - y -
直线PM，PN的斜率分别为 1 2， 2 2，由k +k =0，
k = k = PM PN
PM x -1 PN x -1
1 2
3 3
y - y - 3 3
得 1 2 2 2 ，即(x -1)(kx -k- )+(x -1)(kx -k- )=0，
+ =0 2 1 2 1 2 2
x -1 x -1
1 2
3
整理得2kx x -(2k+ )(x +x )+2k+3=0，
1 2 2 1 2
4k2-12 3 8k2 1
则2k⋅ -(2k+ )⋅ +2k+3=0，解得k= ，
4k2+3 2 4k2+3 2
1
所以直线l的方程为y= (x-1)，即x-2y-1=0．
2
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9 21+x+ax2
20.(Ⅰ)f(x)= ，其中a>0，定义域为R．
ex
(1+2ax)ex-(1+x+ax2 )ex -ax2+(2a-1)x [-ax+(2a-1)]x
f '(x)= = = ，
e2x ex ex
1
令f '(x)=0，则x=0或2- ，
a
1 1
当0=2- 时，即a= ，此时f '(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减；
a 2
1 1 1
当0>2- 时，即0<a< ，当x<2- 时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
a 2 a
1
当2- <x<0时，f '(x)>0，f(x)单调递增，当x>0时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
a
1 1
所以f(x)在(-∞,2- )，(0,+∞)上单调递减，f(x)在(2- ,0)上单调递减；
a a
1 1
当0<2- 时，即a> ，当x<0时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
a 2
1
当0<x<2- 时，f '(x)>0，f(x)单调递增，
a
1
当x>2- 时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
a
1 1
所以f(x)在(-∞,0)，(2- ,+∞)上单调递减，f(x)在(0,2- )上单调递减；
a a
1
综上：当a= 时，f(x)在R上单调递减；
2
1 1 1
当a> 时，f(x)在(-∞,0)，(2- ,+∞)上单调递减，在(0,2- )上单调递减；
2 a a
1 1 1
当0<a< 时，f(x)在(-∞,2- )，(0,+∞)上单调递减，f(x)在(2- ,0)上单调递减；
2 a a
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10 21+x+x2 (-x+1)x
(Ⅱ)(i)当a=1时，f(x)= ，f '(x)= ，
ex ex
1+t+t2 (-t+1)t
当x=t时，f(t)= ，f '(t)= ，
et et
1+t+t2 (-t+1)t
所以曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线方程为y- = (x-t)，
et et
t3+t+1 t3+t+1
令y=0，则x= ，所以点B( ,0)，
t2-t t2-t
t3+t+1
所以点B的横坐标 ．
t2-t
1+t+t2 t3+t+1
(ii)证明：A(t, )，B( ,0)，
et t2-t
已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，
所以H(t,0)，若△AHB为等腰直角三角形，则AH=HB，
1+t+t2 t3+t+1 1+t+t2 t2+t+1
即| -0|=| -t|，则| |=| |，
et t2-t et t2-t
因为t<0，所以et=t2-t，
画出y=et，y=t2-t图象如图：
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11 2结合图象可知，y=et，y=t2-t在t<0有一个交点，所以存在唯一的点A(t,f(t))，使得△AHB为等腰直
角三角形．
3
21. 对于数列 ： ， ， ， ， ， ，长度为 的子列 ， ．
(I) A 1 3 4 2 5 6 4 B T(B)=∑|b -b |
i+1 i
i=1
最大值：
构造子列使相邻项差值绝对值和最大．选子列1，4，2，6，
|4-1|+|2-4|+|6-2|=3+2+4=9．
最小值：
构造子列使相邻项差值绝对值和最小．选子列3，4，5，6，
|4-3|+|5-4|+|6-5|=1+1+1=3．
(II)数列A是1，2，3，4，5，6的排列，存在唯一长度为3的子列B使T(B)=T(A)．
分析极端项(首、尾及中间“峰谷”项)，因唯一性，中间极端项必为1或6．
若中间极端项为1，设两端含6，构造数列如2，1，3，4，5，6，
T(A)=|1-2|+|3-1|+|4-3|+|5-4|+|6-5|=1+2+1+1+1=6．
若中间极端项为6，构造数列如1，6，5，4，3，2，T(A)更大(计算得9)．
故T(A)最小值为6．
(III)n为偶数，设n=2k，将数分为两组M={1,2,⋯,k}，N={k+1,k+2,⋯,2k}．
构造数列使T(A)最大：需交替“峰谷”，即a <a >a <a >⋯>a <a (或反向)．
1 2 3 4 2k-1 2k
T(A)=(a -a )+(a -a )+(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )化简得
2 1 2 3 4 3 4 5 2k 2k-1
T(A)=2(a +a +⋯+a )-2(a +a +⋯+a )+a -a ．
2 4 2k-2 3 5 2k-1 2k 1
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12 2取a =k，a =k+1，{a ,a ,⋯,a }={k+2,⋯,2k}，{a ,a ,⋯,a }={1,⋯,k-1}，
1 2k 2 4 2k-2 3 5 2k-1
n2
此时T(A)最大值为 -1．
2
n
{a ,a ,⋯,a }与{a ,a ,⋯,a }各自排列数为( -1)!，因有a <a 和a >a 两种方向，
2 4 2k-2 3 5 2k-1 2 1 2 1 2
n
总数为2[( -1)!] 2．
2
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13 2
