文档文本内容
13.3.1.1 三角形的内角（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
13.3.1 第一课时 三角形的内角
知识与技
能
1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求
第三角、已知内角比例关系列方程求解等。
过程与方
法
1. 经历“猜想—实验验证—逻辑推理—应用拓展”的探究过程，体会从“实
验几何”到“论证几何”的数学思想；
2. 通过测量法、剪拼法、折叠法的操作探究，培养动手实践能力与合情推理
能力；
3. 在定理证明过程中，体会“转化思想”与“辅助线”的作用，提升逻辑推理
能力。
教学
目标
情感态度
价值观
1. 在动手实验与自主探究中，感受数学的趣味性与严谨性，激发学习数学的
兴趣；
2. 在小组合作与交流中，培养协作意识与表达能力，体会成功的喜悦。
教材
分析
本节课是人教版八年级上册第十三章《三角形》的核心内容之一，承接了前面对三角
形边、角分类的学习，同时为后续学习多边形内角和、全等三角形、相似三角形等内容奠
定重要基础。教材通过“三角尺内角和→任意三角形内角和猜想→实验验证→逻辑推理证
明→实际应用”的线索展开，突出了“从特殊到一般”“从直观到抽象”的认知规律。其
中，测量法、剪拼法、折叠法是学生从直观层面感知定理的重要载体，而过顶点作平行线
证明内角和定理，是首次系统渗透“转化思想”与“辅助线”的典型案例，对学生后续几
何推理能力的培养具有关键作用。
学情
分析
八年级学生已经掌握了三角形的基本概念、分类，以及平行线的性质等基础知识，具
备一定的动手操作能力和初步的逻辑推理能力。学生在小学阶段已经通过三角尺直观认识
了三角形内角和约为180°，但仅停留在“近似感知”层面，缺乏对“任意三角形都成
立”的严格验证，也未形成系统的证明思路。此外，学生对“为什么要证明”“如何将三
个内角转化为平角”的逻辑关联理解存在困难，“辅助线”的引入也是本节课的认知障碍
点。因此，教学中需要通过充分的实验活动激活已有经验，再通过问题引导突破证明的难
点，逐步建立严谨的几何推理意识。
教学
重点
1. 三角形内角和定理的内容与证明；
2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。
教学
难点
1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；
2. 辅助线的引入与作用理解。
教学
器材
教具：不同形状的三角形纸片（锐角、直角、钝角三角形若干）、量角器、剪刀、多媒体
PPT（含测量法量角器演示动画、剪拼法动态操作动画、折叠法演示动画）；
学具：每人一套三角形纸片、量角器、直尺、剪刀、铅笔、实验记录单。
教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
【观看视频】通过ppt 向学生播放《损坏的法器》
【设计意图】用趣味情境激发好奇心，结合学生熟悉的三角尺唤醒旧知，自然引出本节
课的核心问题，初步建立猜想。
观察情境
图，思考工
匠的说法
是否合理。
新知探究
【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
问2.三角尺的三个角之和是多少？
30°+60°+90°= 180°
45°+45°+90°= 180
问3.任意三角形的内角和都是180°吗？
大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180°
1.测量法
【方法一：测量法】
1. 发放实验记录单，指导学生操作：
（1）画一个任意三角形ABC；
（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C 的度数；
（3）计算三个角的和，记录在表格中；
（4）换不同形状的三角形重复实验。
2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
2. 折叠法
【方法二：折叠法】
1. 演示操作步骤：
（1）将三角形的三个角向内折叠；
（2）使三个角的顶点重合于一点；
（3）观察折叠后的形状。
2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
3.剪拼法
【方法三：剪拼法】
1. 演示操作步骤：
回忆三角
尺的角
度，口答
两个三角
尺的内角
和均为
180°。
大胆猜
想：任意
三角形的
内角和可
能也是
180°。
（1）画三角形ABC，标出三个内角；
（2）沿边剪下三个角；
（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。
2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
【教师总结】
1、测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精
确等于180°。
2、剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的
微小偏差可能影响判断。
3. 折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准：
三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无
关。但这都是实验得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的
数学证明。有什么科学严谨的方法来论证了？
3.几何证明法
【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成
几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两
直线平行，同旁内角互补）
【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶
点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成
内错角或同位角。
问1:观察图象∠1 和∠2 之间有什么关系, ∠3 和∠4 之间有什么关系？
∠1 和∠2 是内错角，且∠1=∠2；∠3 和∠4 是同位角，且∠3=∠4；
问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?
a//b
你发现了证明的思路吗？
【证法1：过顶点作平行线】
已知：如图△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证法1.证明：过点C 作直线l∥AB。
∵l∥AB，
跟随教师
梳理论证
逻辑，明
确每一步
的依据。
理解辅助
线的含义
和画法。
尝试说出
另一种证
法的思
路，体会
“转化思
想”。
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
【证法2：拓展】还可以过点A 作BC 的平行线，或者延长BC 构造平行线，思路都是
一样的：利用平行线把三个角转化到一个平角中。
思考教师的问题，联想平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，或者内错角相等。
观察教师的作图，理解“过C 作AB 的平行线”的作用：把∠A 和∠B 分别“移”到∠C 的旁
边，和∠C 组成平角。
证法2：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法3：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BAD=180.(两直线平行,同旁内角相等)
∵∠BAD=∠BAC+∠1=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
证法4：过边BC上一点D作l∥AB， m∥AC
∴∠B=∠1,∠C=∠2,∠A=∠3,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
【强调】为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示。
【归纳定理】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
【设计意图】从实验操作到逻辑推理，突破“为什么需要证明”“如何利用平行线证明”的
难点，让学生理解“辅助线”的作用，掌握证明的基本思路，体会“转化思想”在几何中的
应用，培养严谨的逻辑推理能力。
典例分析
【例1】基础应用
（1）在△ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为___60°______。
（2）在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=__50°____。
（3）求出下列各图形中x 的值
独立完成
例1，口
答结果，
巩固基础
应用。
跟随教师
x=70
x=60
x=30
x=50
规律与方法：8 字模型中： ∠A+∠B=∠C+∠D
【小结】已知两角求第三角，直接用内角和定理列式计算。
【例2】（1）在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。
（2）在△ABC 中，∠A=1
2∠B=1
6∠C，求三个内角的度数。
（3）在△ABC 中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C 的度数。
（4）在△ABC 中， ∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度
数
解：设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=4x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即2x+3x+4x=180,解得x=20，
∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°
解：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=6x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+2x+6x=180,解得x=20，
∴∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°
解：设∠A=(x+60)°，∠B=(x+30)°，∠C=x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+60+x+30+x=180,解得x=30，
∴∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°
解：设∠A=3x°，∠B=x°，∠C=(x+15)°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即3x+x+(x+15)=180,解得x=33，
∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°
【引导】这类题设中给了三个角的数量关系，我们可以用什么方法解决？（方程思想：
设未知数，利用“三个角和为180°”列方程）
规律与方法：已知三角形的三个内角之间的关系求内角的度数，可利用方程思想来解决，
其中三角形内角和为180°就是等量关系.
【例3】综合应用（角平分线）
如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
【思路引导】先在△ABC 中求∠BAC 和∠B 的和，再在△ABD 中用内角和定理求∠ADB。
分析例
2，学习用
“设k”的方
法表示三
个角，根
据内角和
列方程求
解，体会
方程思想
的优势。
解：∵∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD= 1
2∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°–∠B –∠BAD
∴∠ADB =180°–75°–20°=85°.
【例4】实际应用（方位角）
如图是A、B、C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东
80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。求从C 岛看A、B 两岛的视角∠ACB 的度数。
【思路引导】结合方位角求出∠CAB 和∠ABC，再用内角和定理求∠ACB；也可以过C
作AD 的平行线，利用平行线的性质求解。
法一：解：∵∠CAB=∠BAD － ∠CAD，
又∵ ∠BAD=80°， ∠CAD=50°，
∴∠CAB=80° － 50°=30°.
∵AD//BE，∴∠ BAD+∠ ABE=180°.
∴∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,
∠ABC=∠ABE －∠EBC=100°－40°=60°，
在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC －∠CAB =180°－60°－30°=90°.
方法二：解：由题意可得：
∠DAC=50°， ∠DAB=80°， ∠CBE=40°
过点C作CF//AD
∵ CF//AD, AD//BE，
∴ CF//BE，
∴∠BCF＝∠CBE ＝40 °, ∠ACF＝∠DAC ＝50 °,
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF ＝50 ° ＋40 ° ＝90 °
【设计意图】通过分层例题，从基础到综合，逐步提升学生的应用能力：例1 巩固定理
的直接应用；例2 渗透方程思想，培养学生用代数方法解决几何问题的能力；例3 结合
角平分线考查综合应用；例4 联系生活实际，考查方位角与内角和的综合运用，提升学
生解决实际问题的能力。
变式训练
1. 如图，在△ABC 中，∠A=46°，CE 是∠ACB 的平分线，B、C、D 在同一条直线上，
FD∥EC，∠D=42°，求∠B 的度数。
课
堂
1. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C 的度数为（D ）
A. 20° B. 60° C. 80° D. 100°
2. 如图，△ABC 平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE 的度数是_80°___。
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵＝70°，∠𝐵𝐴𝐷＝30°，则∠𝐶的度数为____50°
_____
4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2 的度数
为_70°__。
解：∵FD//EC, ∠D=42°
∴∠BCE=∠D=42°
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=84°
∵∠B=180°−∠ACB−∠A=50° ,∠A=46°
∴∠B=180°−84°−46°=50°
2. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 平分∠ABC，求∠BDC 的度数。
解：∵∠C＝∠ABC=2∠A，∴设∠A=x°，则∠C＝∠ABC= 2x°
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C =180°，
∴x+2x+2x=180，解得x=36.即∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝1
2∠ABC＝1
2×72°＝36°
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=180°－36°－72°=72°
3. 轮船从B 处沿南偏东30°方向航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船
航行一段路程到达点C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A 的度数。
解：根据题意画出图形，得∠1＝∠2＝30°
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°＋60°＝90°
∵∠CBA＝75°－30°＝45°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.
【设计意图】通过变式练习，及时巩固所学内容，检验学生对定理的理解和应用能力，
同时进一步渗透角平分线、平行线、方位角等相关知识的综合运用。
独立完成
3 道变式
题，同桌
互相批
改，交流
解题思
路。
练
习
4. 如图，AC 和BD 相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D 的度数为_60°___。
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线BE、CD 相交于点F，已知∠ABC=52°，
∠A=60°，求∠BFC 的度数。
解：∵∠𝐴𝐵𝐶＝52°，∠𝐴＝60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵＝68°.
∵∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝐹，
∴∠𝐹𝐵𝐶＝1
2∠𝐴𝐵𝐶＝26°，∠𝐹𝐶𝐵＝1
2∠𝐴𝐶𝐵＝34°.
∴∠𝐵𝐹𝐶＝180°－(∠𝐹𝐵𝐶＋∠𝐹𝐶𝐵)＝120°.
7.如图是𝐴，𝐵，𝐶三岛的平面图，𝐶岛在A 岛的北偏东50°方向，𝐵岛在𝐴岛的北偏东80°方
向，𝐶岛在𝐵岛的北偏东30°方向，求从𝐶岛看𝐴，𝐵 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵的度数.
解：由题意，得∠𝐷𝐴𝐶＝50°.∠𝐷𝐴𝐵＝80°
∴∠𝐶𝐴𝐵＝∠𝐷𝐴𝐵－∠𝐷𝐴𝐶＝30°.
∵𝐴𝐷//𝐵𝐸，∴∠𝐷𝐴𝐵＋∠𝐴𝐵𝐸＝180°.
∴∠𝐴𝐵𝐸＝180°－∠𝐷𝐴𝐵＝100°.
又∵∠𝐶𝐵𝐸＝30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐵𝐸＋∠𝐶𝐵𝐸＝130°.
由三角形内角和定理，得∠𝐴𝐶𝐵＝180°－∠𝐶𝐴𝐵－∠𝐴𝐵𝐶＝20°.
板
书
设
计
13.3.1 三角形的内角
一、探究方法 三、证明思路
1. 测量法：
2. 折叠法：折成平角 四、应用举例
3. 剪拼法：拼成平角 例1：基础计算
二、三角形内角和定理 例2：方程思想
三角形三个内角的和等于180° 例3：角平分线综合
例4：方位角应用
课
堂
小
结
13.3.1 第一课时 三角形的内角和
作
业
教材P13 练习1、2；P16 复习巩固第1、2、3 题。
