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分层作业
13.3.2 三角形的外角
参考答案
识别三角形的外角
1． B
2． D
利用三角形外角性质求角的度数
3. B
4. 120°．
三角板中涉及的三角形外角计算
5. B
6. 105°
实际生活问题中的三角形外角计算
7.A
8. 122°
三角形角平分线模型
9.A
10. 60°
题型01
题型02
题型03
题型04
题型05
不规则图形中三角形外角计算
11. 200°
12. 180
三角形外角计算综合应用
13. 94°
14. （1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐶= 70°，
∵∠1 = ∠2，
∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐵+ ∠1 = ∠𝐴𝑃𝐷+ ∠2，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝑃𝐷，
∴∠𝐴𝑃𝐷= 70°．
（2）∵∠𝐴𝑃𝐶= ∠1 + ∠𝐵= ∠𝐴𝑃𝐷+ ∠2，
且∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐴𝑃𝐷，
∴∠1 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐴𝐷𝑃，
∵∠𝐴𝐷𝑃= ∠2 + ∠𝐶，
∴∠1 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐶+ ∠2，
∴∠1 + ∠𝐵= 2∠2 + ∠𝐶．
又∵∠𝐵= ∠𝐶，
∴∠1 = 2∠2．
15. (1)证明：在△𝐴𝐶𝐸中，∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴，
∵∠𝐹+ ∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐴，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴𝐹𝐷∥𝐵𝐶．
（2）解：∵𝐹𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
又∵∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐹𝐸𝐴，
∴∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶；
设∠𝐹= 𝑥，则∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸= 𝑥，∠𝐴𝐶𝐵= 2𝑥，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐸𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴= 𝑥+ 57°，
题型06
题型07
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
即57° + 2𝑥+ 𝑥+ 57° = 180°，
解得𝑥= 22°；
故∠𝐴𝐵𝐶= 22° + 57° = 79°．
1. D
2．C
3. 40°
4．70°
5. 55°/55度
6. 60°
7. （1）解：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐷，
由三角形外角定理可知∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 76° + 42° = 118°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= 1
2 × 118° = 59°，
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷= 59°，
又∵𝐺𝐹∥𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐹𝐺= 121°；
(2)证明：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∴1
2∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐶𝐷= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵2∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 360°，
∴∠𝐸𝐹𝐺+ 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐸𝐶𝐷= 180°，
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐶= 180°，
∴𝐹𝐺∥𝐸𝐶．
8. (1)证明：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸．
∵∠𝐵𝐹𝐸，∠𝐵𝐸𝐹分别是△𝐴𝐵𝐹，△𝐴𝐸𝐶的外角，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶．
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐸𝐹．
(2)解：∠𝐻𝐵𝐶= 2∠𝐻，理由如下：
∵∠𝐺𝐴𝐻，∠𝐺𝐴𝐶分别是△𝐴𝐵𝐻，△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐺𝐴𝐻= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻，∠𝐺𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶+ ∠𝐶．
∵∠𝐴𝐵𝐻= ∠𝐶，
∴∠𝐺𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶．
∵𝐴𝐻平分∠𝐺𝐴𝐶，
∴∠𝐺𝐴𝐶= 2∠𝐺𝐴𝐻．
∴2∠𝐺𝐴𝐻= 2∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐶，2∠𝐺𝐴𝐻= 2∠𝐴𝐵𝐻+ 2∠𝐻．
∴∠𝐻𝐵𝐶= 2∠𝐻．
1． B
2． 80°
3． 【详解】（1）∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶．
∵翻折，
∴∠𝐸= ∠𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐹𝐶= 90°即𝐴𝐸⊥𝐵𝐶
（2）①∵∠𝐶= ∠𝐵+ 10°，∠𝐶+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶= 50°，∠𝐵= 40°
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐸= ∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐹𝐸= 50°．
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐹= 10°，
由翻折可知，𝑥= ∠𝐵𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐹= 5°；
②∠𝐵𝐴𝐷= 𝑥°，则∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸― ∠𝐴𝐷𝐶= 140° ― 𝑥― (40° + 𝑥) = (100 ― 2𝑥)°，∠𝐷𝐹𝐸= (2𝑥+ 40)°
当∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐸时，100 ― 2𝑥= 2𝑥+ 40，解得，𝑥= 15，
当∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐸= 40°，100 ― 2𝑥= 40，解得，𝑥= 30，
当∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐸= 40°时，2𝑥+ 40 = 40，解得，𝑥= 0，∵0 < 𝑥< 50，
∴不合题意，舍去，
综上可知，存在这样的𝑥的值，使得△𝐷𝐸𝐹中有两个角相等，且𝑥= 15或30．
1．A
2．B．
