文档文本内容
分层作业
1.2.4 绝对值（分层作业）
说明：ABC 三组为必做内容，拓展部分为选做。
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目 录
A 组 巩固过关.......................................................................................................................................1
题型一、绝对值的几何意义...............................................................1
题型二、求一个数的绝对值...............................................................4
题型三、绝对值的性质...................................................................6
题型四、绝对值非负性...................................................................8
题型五、绝对值的应用..................................................................10
题型六、绝对值的最值问题..............................................................12
B 组 能力进阶.....................................................................................................................................15
C 组 思维拔高.....................................................................................................................................20
拓展 衔接中考.....................................................................................................................................23
A 组 巩固过关
绝对值的几何意义
（25-26 七年级上·山东德州·期末）数轴上表示数x 的点与表示3的点的距离为2 ，可以表示为（ ）．
A．
3
2
x +
=
B．
3
2
x -
=
C．
2
3
x +
=
D．
2
3
x -
=
【答案】B
【分析】根据数轴上两点距离公式，点x 与点3的距离表示为
3
x -
，且该距离为2 ．
【详解】解：∵ 点x 与点3的距离为2 ，
巩固过关
1
题型
1.
∴可以表示为
3
2
x-
=
．
故选：B ．
（25-26 七年级上·贵州贵阳·期末）如图，在数轴上与表示2
- 的点距离2 个单位长度的点表示的数是
（ ）
A．0
B．4
-
C．0 或4
-
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，
先设该点表示的数为a，根据两点之间的距离得
( 2)
2
a - -
=
，求出解即可．
【详解】解：设该点表示的数为a，根据题意，得
( 2)
2
a - -
=
，
解得
0
a =
或
4
a = - ，
所以该点表示的数是0 或4
- ．
故答案为：C．
（25-26 七年级上·江苏南京·期末）关于1- a 的说法不正确的是（ ）
A．1 与a 的差的绝对值
B．1 到a 的距离
C．a 到1 的距离
D．1 与a 的差的相反数
【答案】D
【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐
一判断即可．
【详解】解：A、1- a 表示的是1 与a 的差的绝对值，原说法正确，不符合题意；
B、1- a 表示的是1 到a 的距离，原说法正确，不符合题意；
C、1- a 表示的是a 到1 的距离，原说法正确，不符合题意；
D、1 与a 的差的相反数为
1 a
-
-
，而当1
0
a
-
³
时，|1
| 1
a
a
-
= -
；当1
0
a
-
<
时，|1
|
(1
)
a
a
-
= -
-
，原说法
错误，符合题意；
故选：D．
2.
3.
（25-26 七年级上·贵州黔东南·期末）点M 在数轴上表示的数为负数，且点M 到原点的距离小于4，则
点M 表示的数可以是（ ）
A．6
B．3
C．3.8
-
D．6
-
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上负数在原点左边，到原点的距离
表示该数的绝对值．根据数轴上点的特点进行解答即可．
【详解】解：点M 在数轴上表示的数为负数，且点M 到原点的距离小于4，则点M 表示的数大于4
- ，
\点M 表示的数可以是3.8
-
．
故选：C．
（25-26 七年级上·福建福州·期末）,a b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把,
, ,
a a b
b
-
按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b
a
a
b
- <
<
<
B．a
b
b
a
< - <
<
C．b
a
a
b
- <
<
<
D．a
b
a
b
< - <
<
【答案】B
【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思
想．
利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可．
【详解】解：由数轴可得a
a
= - ，
在数轴上表示出,
, ,
a a b
b
- 如下：
∴a
b
b
a
< - <
<
，
故选：B．
（22-23 七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若a
b
=
，则a 和b 的关系为（ ）
A．a 和b 相等
B．a 和b 互为相反数
C．a 和b 相等或互为相反数
D．以上答案都不对
【答案】C
4.
5.
6.
【分析】由绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数即可选出答案．
【详解】解：若a
b
=
，
则有a
b
= ± ，即a 和b 相等或互为相反数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的相关性质，牢记两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数是
解题关键．
（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）若
3
x =
，则x 的值是_________．
【答案】3 或3
-
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此
方程
3
x =
有两个解．
【详解】解：由绝对值的定义可知，
3
x =
表示x 到原点的距离为3，
∴
3
x =
或
3
x
-
=
．
故答案为：3 或3
- ．
求一个数的绝对值
（25-26 九年级上·广东惠州·期末）2026
-
的绝对值是（ ）
A．2026
B．2026
-
C．
1
2026
D．
1
2026
-
【答案】A
【详解】解：
2026
2026
-
=
．
（2024·江苏连云港·二模）2024 相反数的绝对值是（ ）
A．
1
2024
B．
1
2024
-
C．2024
D．2024
-
【答案】C
【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，熟练掌握相反数和绝对值的定义是关键．按照定义先求出2024
的相反数，再计算其绝对值即可得到结果．
【详解】解：2024 的相反数是2024
-
，
2024
2024
-
=
．
故选：C．
7.
2
题型
1.
2.
（24-25 七年级上·云南昆明·阶段检测）绝对值等于5 的数是（ ）
A．5
B．5
-
C．5 或5
-
D．0
【答案】C
【详解】解：绝对值等于5 的数是5 或5
- ．
若x
x
= - ，则x 一定是（ ）
A．负数
B．正数
C．非负数
D．非正数
【答案】D
【详解】解：∵ x
x
= - ，
当
0
x >
时，x
x
=
，不满足条件；
当
0
x =
时，0
0
0
=
= - ，满足条件；
当
0
x <
时，x
x
= - ，满足条件；
∴
0
x £
，即x 为非正数．
3 p
-
的绝对值是___．
【答案】
3
p - / 3 p
- +
【详解】解：
3
3
3
p
p
p
-
= -
-
=
- ．
（25-26 七年级上·福建莆田·期末）
2026
-
的相反数是______．
【答案】
2026
-
【分析】先计算绝对值，再根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：
2026
2026
-
=
Q
2026
\ -
的相反数是2026
-
．
（25-26 七年级上·河南漯河·期末）计算：
2
2
- - -
-
= ___________．
【答案】
0
【分析】本题考查有理数的绝对值、相反数，掌握绝对值、相反数的有关概念是解题关键，先计算括号内
的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0．
3.
4.
5.
6.
7.
【详解】解：计算：
2
2
- -
=
，则原式变为
2
2
-
-
，
计算绝对值内：2
2
0
-
=
，故 0
0
=
，
最后取负：0
0
- =
，
故答案为 ：0．
（25-26 七年级上·山西大同·期末）计算：
1
2026
- -
=________．
【答案】
1
2026
-
【分析】本题考查绝对值的定义：一个数的绝对值表示该数到原点的距离，总是非负的，对于负数，其绝
对值等于它的相反数，根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：
1
1
2026
2026
- -
= -
．
故答案为：
1
2026
-
．
（25-26 六年级上·山东东营·期末）数轴上点A 表示的数是3，将点A 向左移动5 个单位长度到达点B，
则点B 表示的数的绝对值是______．
【答案】2
【分析】本题考查了数轴上的点移动规律，求绝对值．
先求出点B 表示的数，再求其绝对值即可．
【详解】解：点A 表示的数是3，向左移动5 个单位长度，得点B 表示的数为3
5
2
-
= - ，
∵
2
2
-
=
，
∴点B 表示的数的绝对值是2．
故答案为：2．
绝对值的性质
（24-25 七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0 大；②如果两个数相等，那
么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，
离原点越远．其中正确的有（ ）
A．2 个
B．1 个
C．3 个
D．4 个
8.
9.
3
题型
1.
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0 大，0 的绝对值等于0，故①不符合题意；
②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意；
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意；
④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意；
综上，符合题意的有②④，共2 个，
故选：A．
（23-24 七年级上·陕西延安·阶段检测）已知7
7
3
3
a
a
-
=
-
，请写一个符合条件的整数a =_______．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的意义，得到
7
0
3
a -
³
，进而得到
7
3
a ³
，写出一个整数a 的值即可．
【详解】解：∵7
7
0
3
3
a
a
-
=
-
³
，
∴
7
3
a ³
，
∴符合条件的一个整数
3
a =
；
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查绝对值的非负性的应用，以及有理数比较大小．解题的关键是根据绝对值的非负性，求
出a 的范围．
（23-24 七年级上·河南南阳·期末）绝对值大于3 且小于5 的所有整数是_____．
【答案】4
±
【分析】根据绝对值的意义，整数的意义解答即可．
解题关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等．
【详解】解：∵大于3 小于5 的整数绝对值是4，
∴绝对值大于3 且小于5 的所有整数是4
± ．
故答案为：4
± ．
小贝认为：若有理数a，b 满足|
| |
|
a
b
>
，则a
b
>
．小贝的观点正确吗？请说明理由．
【答案】小贝的观点不正确．理由见解析．
【分析】根据绝对值的含义和求法，可得：两个负数，绝对值小的，这个数反而大；一个正数一个负数，
绝对值大的负数小于正数；并举例子证明即可．
2.
3.
4.
【详解】解：小贝的观点不正确．理由如下：
因为当
2,
1
a
b
= -
= - 时，| 2 | | 1|
-
> -
，但是2
1
-
- <
，
所以若|
| |
|
a
b
>
，则a
b
>
不一定成立，所以小贝的观点不正确．
【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理
数时，a 的绝对值是它本身a；②当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a；③当a 是零时，a 的绝
对值是零．
绝对值非负性
（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）如果a
a
= - ，那么a ______0 ．
【答案】£
【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a <
时，a
a
= - ，据
此即可解答．
【详解】解：根据绝对值的定义，当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a <
时，a
a
= - ．
当
0
a <
时，a
a
= - 成立；当
0
a =
时，a
a
= - 也成立；
故由a
a
= - ，可知
0
a £
，
故答案为：£ ．
（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a 的相反数等于a 的绝对值，则a 可以是
______．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设a 的相反数为a
- ，a 的绝对值为a ，则a
a
- =
，得
出
0
a £
，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设a 的相反数为a
- ，a 的绝对值为a ，
∴a
a
- =
，
∵
0
a ³
，
∴
0
a
- ³
，即
0
a £
，
当
0
a £
时，a
a
= - ，等式成立，
4
题型
1.
2.
∴a 可以是任何非正有理数，例如0，
故答案为：0 （答案不唯一）．
（25-26 七年级上·云南怒江·阶段检测）若有理数a ，b 满足
2
2
6
0
a
b
-
+
+
=
，则b
a 的值为（ ）
A．6
B．4
-
C．3
D．3
-
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值的非负性，平方结果的非负性，理解非负数的性质是解题的关
键．利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每项为零，解出 a 和 b 的值后计算比值.
【详解】解：∵
2 2
0
a -
³
且 |
6 | 0
b +
³
，且
2
2
6
0
a
b
-
+
+
=
，
∴
2
2
0
a -
=
且
6
0
b +
=
，
∴
2 0
a- = 且
6
0
b +
=
，
∴
2
a =
，
6
b = - ，
∴
6
3
2
b
a
-
=
= - .
故选：D．
已知2
3
a -
与5
b
-
互为相反数，则2a
b
-
= （ ）
A．1
-
B．1
C．2
-
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性
质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a 和b 的值，再代入计算．
【详解】解：∵2
3
a -
与5
b
-
互为相反数，
∴2
3
5
a
b
-
= -
-
；
∵2
3
0
a -
³
且
5
0
b
-
-
£
，
∴2
3
0
a -
=
且5
0
b
-
=
，
∴2
3
0
a -
=
且5
0
b
-
=
，
∴
3
5
2
a
b
=
=
，
，
∴
3
2
2
5
2
2
a
b
-
=
´
-
= - ．
故选：C．
3.
4.
绝对值的应用
（25-26 七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，检测4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，
不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论．
【详解】解：∵
0.9
0.9
+
=
，
2.5
2.5
-
=
，
0.8
0.8
-
=
，
3.6
3.6
-
=
，0.8
0.9
2.5
3.6
<
<
<
，
∴
0.8
0.9
2.5
3.6
-
< +
< -
< -
，
∴最接近标准的是选项C 足球．
（25-26 七年级上·云南昭通·期末）某实验室检测A，B，C，D 四个零件的质量（单位：克），超过标准
质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正负数的应用，求一个数的绝对值，质量的绝对值最小的那个零件为最接近标准
质量的零件，据此求解即可．
【详解】解：
1.3
1.3
0.4
0.4
2.4
2.4
0.5
0.5
-
=
+
=
-
=
-
=
，
，
，
，
∵0.4
0.5
1.3
2.4
<
<
<
，
∴最接近标准质量的零件是质量记为0.4
+
克的那个零件，
故选：B．
古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音，如图所示
是某古筝调音器软件的界面，指针指向40 表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧
琴弦，且最接近标准音（指针指在0 处为标准音）的是（ ）
5
题型
1.
2.
3.
A．10
B．8
C．5
-
D．10
-
【答案】C
【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解调音软件的运行机制，运用绝对值判断大小．
【详解】解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，
\选C 或D，
又Q指针越接近0 就越接近标准音，| 5| 5
-
=
，| 10 | 10
-
=
，10
5
>
，
5
\- 更接近0，
故选：C．
（25-26 七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学
楼共5 层，若从1 层到5 层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点
爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题．
会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即
可．
【详解】解：设会议地点在第k 层，
则总距离
10
1
9
2
7
3
5
4
6
5
S
k
k
k
k
k
=
´ -
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
，
当
1
k = 时，
10
1 1
9
2 1
7
3 1
5
4 1
6
5 1
62
S =
´ - + ´
- + ´
- + ´
- + ´
-
=
；
当
2
k =
时，
10
1 2
9
2
2
7
3
2
5
4
2
6
5
2
45
S =
´ -
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
=
；
当
3
k =
时，
10
1 3
9
2
3
7
3
3
5
4
3
6
5
3
46
S =
´ -
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
=
；
当
4
k =
时，
10
1 4
9
2
4
7
3
4
5
4
4
6
5
4
61
S =
´ -
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
=
；
当
5
k =
时，
10
1 5
9
2
5
7
3
5
5
4
5
6
5
5
86
S =
´ -
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
+ ´
-
=
；
可知当
2
k =
时，总距离最短，
4.
故会议地点应设在第2 层．
故答案为：2．
（25-26 七年级上·北京顺义·期末）某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是40mm
0.5mm
±
，这表示乒
乓球的标准直径是40mm ，偏差是0.5mm
±
，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5 个该品牌乒乓
球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号．
乒乓球编
号
1
2
3
4
5
直径长度
38.8mm
40.8mm
39.5mm
40.2mm
37.8mm
【答案】4
【分析】本题主要考查了绝对值的实际应用，深刻理解绝对值的实际含义是解题的关键．分别计算每个乒
乓球的直径与标准直径40mm 的差的绝对值，即绝对值最小的最接近标准直径，据此即可得到答案．
【详解】解：由题意得，38.8
40
1.2mm
-
=
，40.8
40
0.8mm
-
=
，39.5
40
0.5mm
-
=
，40.2
40
0.2mm
-
=
，
37.8
40
2.2mm
-
=
，
故合格的有编号3 和编号4 的乒乓球，
又
0.2
0.5
0.8
1.2
2.2
<
<
<
<
Q
，
\编号4 的乒乓球的直径最接近标准直径．
故答案为：4．
绝对值的最值问题
（25-26 七年级上·江苏南通·期中）关于代数式
1
2
x
x
+ -
-
的最值，下列说法正确的是（）
A．最小值是0
B．最小值是3
C．最小值是3
-
D．无最大值
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义
1
2
x
x
+ -
-
表示x 到1
- 的距离与2 的距离的差，
进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值．
【详解】解：
1
2
x
x
+ -
-
表示x 到1
- 的距离与2 的距离的差，
5.
6
题型
1.
①当
1
x
-
<
时，
1
1
x
x
- -
+
=
，
2
2
x
x
-
= - +
，
∴
1
2
1
2
3
x
x
x
x
+ -
-
= - -
- - +
= -
②当1
2
x
- £
<
时，
1
1
x
x
+
=
+ ，
2
2
x
x
-
= - +
，
∴
1
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x
+ -
-
=
+
- - +
=
-
∴3
2
1
3
x
- £
- <
③当
2
x ³
时，
1
1
x
x
+
=
+ ，
2
2
x
x
-
=
-
，
∴
1
2
1
2
3
x
x
x
x
+ -
-
=
+
-
-
=
综上所述，当
1
x £ - 时，
1
2
x
x
+ -
-
有最小值为3
-
故选：C．
（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
的最
小值为______
【答案】15
【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有
奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可．
【详解】解：
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
可以看成数轴上一个表示x 的点到1
个2020 、2 个2021、3 个2022 、4 个2023、5 个2024 的距离之和，共1
2
3
4
5
15
+
+ +
+
=
个点，
∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15 个点正中间的是第8 个点，
∴当
2023
x =
时，
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
有最小值，
最小值
2023
2020
2 2023
2021
3 2023
2022
4 2023
2023
5 2023
2024
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
3
2 2
3 1
4 0
5 1
15
=
+ ´ + ´ + ´ + ´ =
，
故答案为：15．
（25-26 七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上
A、B 两点对应的数分别为a
b
、，且A
B
、两点之间的距离可以表示为AB ，则
|
|
AB
a
b
=
-
（或|
|
b
a
-
）．
（1）求
| 5
3 |
- -
= ___；
（2）|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
的最小值是___．
【答案】
8
7
2.
3.
【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可；
（2）根据绝对值的几何意义，分成
3
x
-
<
、3
4
x
- £
£
、
4
x >
三种情况分别讨论即可．
【详解】解：（1）∵
5
3
- -
表示5 ，3
- 所对应的点之间的距离，
∴
5
3
5
3
8
8
- -
=
+
=
=
，
故答案为：8 ．
（2）|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
可以看作x 对应的点到4 和3
- 对应的点的距离之和，
当
3
x
-
<
时，则
4
0
x -
<
，
3
0
x +
<
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
-
+
= - +
-
-
= -
+
∵
3
x
-
<
，
∴2
1
7
x
-
+ >
；
当3
4
x
- £
£
时，则
4
0
x -
£
，
3
0
x +
³
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
7
x
x
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
+
+
= - +
+
+
=
；
当
4
x >
时，则
4
0
x -
>
，
3
0
x +
>
，
∴
|
4 |
|
3|
4
3
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
=
-
+
+
=
-
+
+
=
- ，
∵
4
x >
，
∴2
1
7
x - >
；
∴|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
的最小值为7 ，
故答案为：7 ．
（25-26 七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以
用两数之差的绝对值来表示，点A 表示的数是a，点B 表示的数是b，则A，B 两点之间的距离
AB
a
b
=
-
．例如：若点A 表示5，点B 表示2
- ，则
2
5
7
AB = - -
=
．解决下列问题：
(1)若点A 表示的数是4，点B 表示的数是1
- ，则A，B 两点之间的距离是_______；
(2)当
2
3
x -
=
时，请在数轴上标记x 所在的位置并写出x 的值；
(3)是否存在有理数m，使得
3
2
m
m
+
-
-
有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
4.
【答案】(1)5
(2)
5
x =
或
1
x = - ，在数轴上标记x 所在的位置如图所示：
(3)当
2
m ³
时，
3
2
m
m
+
-
-
的值最大，最大值为5
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题
的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果；
（2）先根据绝对值的意义求出
5
x =
或
1
x = - ，再在数轴上标记x 所在的位置即可；
（3）分区间讨论
3
2
m
m
+
-
-
的化简结果，比较得出最大值即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数是4，点B 表示的数是1
- ，
∴A，B 两点之间的距离是
4
1
5
- -
=
；
（2）解：∵
2
3
x -
=
，
∴
2
3
x -
=
或
2
3
x -
= - ，
∴
5
x =
或
1
x = - ，
（3）解：当
3
m £ - 时，
3
2
3
2
3
2
5
m
m
m
m
m
m
é
ù
+
-
-
= -
+
- -
-
= -
- +
-
= -
ë
û
，
当3
2
m
- <
<
时，
3
2
3
2
3
2
2
1
m
m
m
m
m
m
m
é
ù
+
-
-
=
+ - -
-
=
+ +
-
=
+
ë
û
，此时5
2
1
5
m
- <
+ <
，
当
2
m ³
时，
3
2
3
2
3
2
5
m
m
m
m
m
m
+
-
-
=
+ -
-
=
+ -
+
=
，
∴当
2
m ³
时，
3
2
m
m
+
-
-
的值最大，最大值为5 ．
B 组 能力进阶
（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）如果a 是负数，且
2
a < -
，那么数轴上表示数a，2
- 的点的位置关
系是（ ）
A．a 在2
- 左侧
B．a 在2
- 右侧
C．a 与2
- 重合
D．无法确定
【答案】B
能力进阶
B 组
1.
【分析】先根据绝对值的性质求出负数a 的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a 和2
-
的位置关系．
【详解】解：∵
2
2
-
=
，
又∵
2
a < -
，且a 是负数，
∴2
0
a
- <
<
，
∴表示数a 的点在表示2
- 的点的右侧，故B 正确．
设a 是不为零的实数，那么x＝|
|
a
a 的不同取值共有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】B
【分析】由题意知：|a|≠0，即a≠0．在根据a＞0 及a＜0 进行分类讨论．
【详解】解：由题意知：|a|≠0，即a≠0．
当a＞0 时，|a|＝a，则
1
a
a
x
a
a
=
=
= ，
当a＜0 时，|a|＝﹣a，则
1
a
a
x
a
a
=
=
= -
-
，
∴x＝|
|
a
a 的取值有2 种．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝
对值是0，解题关键是根据a 的正负情况讨论计算即可．
（25-26 七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|
|
0
a
a
+ = ，则a 为负数
B．|
| 1
a + 一定是正数
C．若|
| |
|
a
b
=
，则a
b
=
D．若|
| |
|
a
b
>
，则a
b
-
是正数
【答案】B
【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非
负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可．
【详解】解：A．由|
|
0
a
a
+ = ，则
0
a
a
= - ³
，即
0
a £
，故a 不一定为负数，可能为零，A 错误；
B．由
0
a ³
，则
1 1
0
a + ³ >
，故|
| 1
a + 一定是正数，B 正确；
C．由|
| |
|
a
b
=
时，a
b
=
或a
b
= - ，故不一定相等，C 错误；
2.
3.
D．例如
5,
3
a
b
= -
=
，
5
3
a
b
=
>
=
，但
8
0
a
b
-
= - <
，故a
b
-
不一定是正数，D 错误．
故选B．
（24-25 七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点A 、B 、C 表示的数都是整数，若点
A 和点C 表示的两个数的绝对值相等，则点B 表示的数是（ ）
A．4
-
B．3
-
C．1
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴找到原点的位置是解题的关键．根据题意可知点A 和点C 的
中点为原点，再结合数轴得到点A 和点C 的距离为8，得到点A 和点C 分别表示的数，即可求出点B 表示的
数．
【详解】解：Q点A 和点C 表示的两个数的绝对值相等，
\点A 和点C 的中点为原点，原点表示的数为0，
由数轴可知，点A 和点C 的距离为8，
\点A 表示的数是4
- ，点C 表示的数是4，
由数轴可知，点B 在点A 右边，且与点A 距离1 个单位长度，
\点B 表示的数是3
- ．
故选：B．
（24-25 七年级上·福建福州·期中）如图，
,
,
,
M N P R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是
原点，并且
1
MN
NP
PR
=
=
= ．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若
2
a
b
+
=
，则
原点是（ ）
A．M 或N
B．M 或R
C．N 或P
D．P 或R
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出a
b
、之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可
求解．
【详解】解：
1
MN
NP
PR
=
=
=
Q
，
a
b
\ 、之间距离小于3，
4.
5.
2
a
b
+
=
Q
，
\原点可以是N 或P．
当原点在 M 时，
2
b >
，当原点在R 时，
2
a >
，此时都不符合题意，
故原点只能是N 或P．
故选：C．
（25-26 七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若|
6 |
a +
与|
2 |
b -
互为相反数，则
b
a 的值是（ ）
A．12
-
B．36
C．18
D．25
-
【答案】B
【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数
均为0 是解题的关键．
首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a 和b 的值，最后
计算
b
a 的值即可．
【详解】∵
6
a +
与
2
b -
互为相反数，且
6
0
a +
³
，
2
0
b -
³
，
∴
6
0
a +
=
，
2
0
b -
=
，
∴
6
0
a +
=
，
2
0
b -
=
，
∴
6
a = - ，
2
b =
，
∴
2
6
36
b
a = -
=
，
故选：B．
若
4
5
a -
=
，则a 的值为________．
【答案】9 或1
-
【分析】本题考查绝对值，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：由
4
5
a -
=
，得
4
5
a -
=
或
4
5
a -
= - ，
解得
9
a =
或
1
a = - ．
故答案为：9 或1
- ．
6.
7.
（25-26 七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对
值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a <
时，a
a
= - ，对于含绝对值
的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：8
5
8
5
-
=
- ；5
8
8
5
-
=
- ；
4
1
4
1
7
2
7
2
-
=
-
，1
4
4
1
2
7
7
2
-
=
-
．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①3
7
-
= _________；②2
p
-
= _________．
【拓广应用】
(2)用合适的方法计算：1
12
1
12
1
6
25
2
25
6
-
+
-
+
=_________________．
(3)请利用你探究的结论计算：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2024
2023
2025
2024
- +
-
+
-
+××××××+
-
+
-
【答案】(1)①7
3
- ；②
2
p -
；
(2) 1
2
(3) 2024
2025
【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据绝对值的化简方法解答即可；
（2）根据绝对值的化简方法运算即可；
（3）根据绝对值的化简方法运算即可．
【详解】（1）解：3
7
7
3
-
=
- ，2
2
p
p
-
=
-
，
故答案为：①7
3
- ；②
2
p -
；
（2）解：1
12
1
12
1
12
1
1
12
1
1
6
25
2
25
6
25
6
2
25
6
2
-
+
-
+
=
-
+
-
+
=
，
故答案为：
1
2 ；
（3）解：1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2024
2023
2025
2024
- +
-
+
-
+××××××+
-
+
-
原式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
2024
2025
= -
+
-
+
-
+
+
-
+
-
LL
1
1
2025
= -
8.
2024
2025
=
．
C 组 思维拔高
（25-26 七年级上·山东济宁·期末）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代
数学之父”．他曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【问题情境】
数学活动课上，王老师出示了一个问题．
如图，点A，B 在数轴上分别表示有理数, ,
a b A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上
,
A B 两点之间
的距离为AB
a
b
=
-
．
请利用数形结合思想解答下列问题：
【初步运用】
（1）数轴上表示2 和6 的两点之间的距离为_____；表示2 和1
- 的两点之间的距离为_____；
【深入探究】
（2）数轴上表示x 和2
- 的两点之间的距离为__________；（用含x 的代数式表示）
（3）试用数轴探究：若
1
3
m -
=
时，则m 的值为_____．
【答案】（1）4,3；（2）
2
x +
；（3）2
- 或4.
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式
|
|
AB
a
b
=
-
，绝对值的几何意义，准确代入数值、化简绝对值，
并对绝对值方程进行分类讨论是解题的关键．
（1）直接代入公式计算具体数值的距离；
（2）将对应数代入公式表示距离；
（3）通过绝对值的几何意义（表示两点间距离）求解m 的值．
【详解】（1）解：| 2
6 | | 4 | 4
-
= -
=
，
| 2
( 1) | | 2
1| 3
- -
=
+
= ，
故答案为：4,3；
（2）解：|
( 2) | |
2 |
x
x
- -
=
+
；
思维拔高
C 组
1.
故答案为：
2
x +
．
（3）解：|
1|
m -
表示数轴上数m 对应的点与数1 对应的点之间的距离，
Q该距离为3，
\分情况求解m 的值：
当数m 对应的点在数1 对应的点左侧时，
1 3
2
m = -
= - ；
当数m 对应的点在数1 对应的点右侧时，
1 3
4
m = +
=
；
m
\
的值为2
- 或4 ．
故答案为：2
- 或4.
（25-26 七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，
记作a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作a
b
-
，如数轴上表示数5 的点与表示数7 的点的
距离为5
7
2
-
=
，
5
7
5
7
+
=
- -
表示数轴上表示数5 的点与表示数7
- 的点的距离，
5
a -
表示数轴上表示
数a 的点与表示数5 的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
【初步应用】
（1）①数轴上表示数2
- 的点与表示数3 的点的距离为______；
②若
5
3
a -
=
，则a =______；
【深入探究】
（2）求
2
3
x
x
+
+
-
的最小值．以下是小明的解答过程：
解：记点P，A，B 分别表示数x，2
- ，3，点P、点A 的距离
2
PA
x
=
+
，点P、点B 的距离
3
PB
x
=
-
．
当点P 在点A 的左边，即
2
x
-
<
时，如图①，此时
0
PA >
，
5
PB >
．
∴
5
PA
PB
+
>
，即
2
3
5
x
x
+
+
-
>
．
当点P 在线段AB 上，即2
3
x
- £
£
时，如图②，此时
5
PA
PB
+
=
．
即
2
3
5
x
x
+
+
-
=
，
当点P 在点B 的右边时，即
3
x >
时，如图③，此时
5
PA >
，
0
PB >
．
∴
5
PA
PB
+
>
，即
2
3
5
x
x
+
+
-
>
．
∴当2
3
x
- £
£
时，
2
3
x
x
+
+
-
有最小值，最小值为5．
2.
请根据小明的解答过程，完成下列问题：
求式子
3
1
2
x
x
x
+
+
+ +
-
的最小值．
【解决问题】
（3）某公司办公楼有6 层，公司要召开会议，从1 层到6 层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于
电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？
【答案】（1）①5；②2 或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4 或5 层
【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义
是解题的关键．
（1）①直接利用A、B 两点间的距离公式AB
a
b
=
-
进行计算即可得到答案；
②根据绝对值几何意义解答即可；
（2）根据绝对值几何意义分类讨论即可；
（3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答
即可．
【详解】解：（1）①由条件可知距离是
3
2
3
2
5
- -
=
+
=
．
故答案为：5．
②
5
3
a -
=
表示数轴上表示a 的点到5 的距离为3，
∴
5
3
a -
=
或
5
3
a -
= - ，
解得：
8
a =
或
2
a =
，
故答案为：8 或2．
（2）记点P，A，B，C 分别表示数x，3
- ，1
- ，2，点P、点A 的距离
3
PA
x
=
+
，点P、点B 的距离
1
PB
x
=
+
，点P、点C 的距离
2
PC
x
=
-
．
当点P 在点A 的左边，即
3
x
-
<
时，此时
0
PA >
，
2
PB >
，
5
PC >
．
∴
7
PA
PB
PC
+
+
> ，即
3
1
2
7
x
x
x
+
+
+ +
-
>
；
当点P 与点A 重合时，
7
PA
PB
PC
+
+
=
，即
3
1
2
7
x
x
x
+
+
+ +
-
=
；
当点P 在线段AB 上，即3
1
x
-
- <
<
时，此时
2
PA
PB
+
=
，
3
PC > ．
∴
5
PA
PB
PC
+
+
>
，即
3
1
2
5
x
x
x
+
+
+ +
-
>
；
当点P 与点B 重合时，
5
PA
PB
PC
+
+
=
，即
3
1
2
5
x
x
x
+
+
+ +
-
=
；
当点P 在线段BC 上，即1
2
x
- <
<
时，此时
3
PB
PC
+
=
，
2
PA >
．
∴
5
PA
PB
PC
+
+
>
，即
3
1
2
5
x
x
x
+
+
+ +
-
>
；
当点P 与点C 重合时，
8
PA
PB
PC
+
+
=
，即
3
1
2
8
x
x
x
+
+
+ +
-
=
；
当点P 在点C 的右边时，即
2
x >
时，此时
5
PA >
，
3
PB >
，
0
PC >
．
∴
8
PA
PB
PC
+
+
>
，即
3
1
2
8
x
x
x
+
+
+ +
-
>
．
∴当
1
x = - 时，
3
1
2
x
x
x
+
+
+ +
-
有最小值，最小值为5．
故答案为：5．
（3）设会议地点应设在第x 层，
由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
x
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
-
+
-
，
可以拆分为
1
2 +
2
3
4 +
4
5 +
5 +
5
6 +
6 +
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
- +
-
-
+
-
+
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
，即x到这12
个数的距离和最小，这12个数正中间的两个数为4 和5，
∴当4
5
x
£
£
时，有
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
x
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
-
+
-
最小，
又∵x 为正整数，
∴当
4
x =
或
5
x =
时有
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
x
x
x
x
x
x
- +
-
+
-
+
-
+
-
+
-
最小．
故答案为：会议地点应设在第4 或5 层．
拓展 衔接中考
（2026·四川遂宁·中考真题）2026
-
的绝对值是( )
A．2026
B．2026
-
C．2026
±
D．
1
2026
-
【答案】A
【详解】解：2026
-
的绝对值是2026
（2026·陕西·中考真题）计算：
6
-
= （ ）
衔接中考
拓展
1.
2.
A．6
B．6
-
C．1
6
D．
1
6
-
【答案】A
【详解】解：
6
6
-
=
．
（2025·北京·中考真题）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
1
a
-
>
B．
0
a
b
+
=
C．
0
a
b
-
>
D．a
b
>
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得，2
1
0
1
a
b
- <
< - <
<
< ，且b
a
<
，再逐项分析即可．
【详解】解：由数轴得，2
1
0
1
a
b
- <
< - <
<
< ，且b
a
<
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
<
，
故A，B，C 均错误，不符合题意，D 正确，符合题意，
故选：D．
3.
