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2026 年新疆维吾尔自治区中考数学真题完全解读
试卷总评
· 考情分析
· 复习策略
· 真题解读
试题分析
2026 年新疆维吾尔自治区中考数学试卷共23 题，满分150 分，考试时间120 分钟。试卷采用“选择题
9 题+填空题6 题+解答题8 题”的结构，分值分布为36 分、24 分、90 分。整体难度以基础性为主，兼顾综
合性、应用性和创新性，突出对数学核心素养的全面考查。选择题第1~9 题覆盖有理数比较、众数、坐标
平移、平行线、不等式、一次函数应用、方程组建模、尺规作图、动态几何函数图象等核心知识，其中第
7 题以《孙子算经》经典问题为背景考查二元一次方程组建模，第9 题以两个正方形重叠面积动态变化考
查分段函数图象识别，体现基础题中的思维含量。填空题第10~15 题分别考查二次根式有意义的条件、科
学记数法、几何概率、圆锥侧面展开图圆心角、反比例函数与等边三角形综合、直角三角形滑动最值问
题，梯度明显。解答题第16~23 题中，第16 题为实数运算与整式化简，第17 题结合分式方程与赵爽弦图
考查勾股定理应用，第18 题考查平行四边形的性质与判定，第19 题以景区游客消费调查为背景考查统计
图表分析、加权平均数和概率，第20 题以货船航线为背景考查解直角三角形，第21 题以音乐广场喷水池
改造为背景考查二次函数建模，第22 题考查圆的切线证明与内心性质，第23 题以等腰直角三角形旋转为
背景考查线段关系猜想与证明。全卷对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识和创新意识
均有覆盖，尤其注重传统文化、地方产业（新疆电网新能源、景区旅游）与数学知识的融合。
试题亮点
1. 新疆地方发展成就与传统文化情境高频入题，彰显育人导向：第11 题以新疆电网新能源装机容量为背
景考查科学记数法，引导学生关注家乡绿色发展；第19 题以某景区游客人均日消费抽样调查为背景，将统
计知识应用于新疆旅游经济分析；第17 题第(2)问以赵爽弦图为载体，让学生在传统文化中体会勾股定理
的证明智慧。这些情境既有新疆辨识度，又体现数学服务地方发展与文化传承的价值。
2. 解答题梯度清晰，几何与函数应用成为区分主战场：第20 题以货船航行方向角为背景，综合考查解直
角三角形和方向角应用；第21 题以圆形喷水池改造为情境，要求学生建立二次函数模型并分析平移后的喷
水范围；第22 题圆的切线证明与内心性质综合，第23 题等腰直角三角形旋转中的线段关系探究。第21、
22、23 题合计34 分，是区分学生几何直观、函数建模和综合推理能力的关键。
3. 基础题中渗透思维考查，动态几何与概率情境创新：第9 题通过两个正方形匀速运动过程中重叠面积的
变化，要求学生分段建立函数关系并识别图象，是选择题中的亮点；第12 题以正方形内切圆为背景考查几
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何概率，将概率与面积有机结合；第15 题以直角三角板在墙面与地面滑动为背景，求点到墙角距离的最大
值，需要运用直角三角形斜边中线性质和三角形三边关系。这些题目体现“基础题不基础”的命题倾向。
命题趋势
一、新疆地方发展与文化符号将持续入题，服务地方发展导向鲜明：2026 年试卷第11 题选用新疆电网新
能源装机数据，第19 题选取新疆景区游客消费调查，将地方经济建设成就与数学知识自然融合。未来新疆
卷将继续挖掘本地新能源、旅游、农业、传统文化等素材，引导学生在熟悉的地域情境中建立数学模型，
体现“数学服务新疆发展、传承中华优秀传统文化”的育人导向。
二、几何与函数应用仍是压轴区分主战场，综合推理要求稳中有升：第21 题二次函数建模、第22 题圆与
内心综合、第23 题旋转背景下的线段关系探究，三题合计47 分，是顶尖区分度载体。其中第23 题设置三
个递进式猜想证明，从特殊中点位置到一般角度位置，要求学生通过添加辅助线、构造全等或相似三角形
完成推理。未来压轴题将继续强化几何直观与逻辑推理的结合，淡化复杂计算、重视思维过程。
三、统计与概率贴近生活实际，数据分析能力考查常态化：第2 题众数、第12 题几何概率、第19 题频数
分布直方图、加权平均数与抽样概率，统计与概率题目贯穿全卷并与实际情境紧密结合。第19 题要求补全
直方图、计算平均数、用样本估计总体、再用列表法或树状图求概率，完整呈现统计调查的各个环节。预
计未来新疆卷将继续加强统计应用与决策分析能力的考查。
四、基础题“送分到位”但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：选择题第1~6 题和填空题第10~11 题总体
保持较低难度，但第3 题坐标平移、第4 题平行线与三角板综合、第7 题《孙子算经》古文翻译为方程
组、第9 题分段函数图象识别，均需要学生真正理解概念本质。未来基础题将继续通过传统文化翻译、动
态几何、图象识别等设计检验学生是否真正理解数学概念。
考点细目表
题号
题型
分
值
具体考点
关键能力
1
单选
4
数与式→有理数→有理数的大小比较
运算能力
2
单选
4
统计与概率→统计量→众数
数据观念
3
单选
4
图形的性质→图形与坐标→坐标平移
几何直观
4
单选
4
图形的性质→相交线与平行线→平行线性质与三角板角度
几何直观、推理
能力
5
单选
4
方程与不等式→一元一次不等式→一元一次不等式的解法
运算能力
6
单选
4
函数→一次函数→一次函数的实际应用
模型观念、运算
能力
7
单选
4
方程与不等式→二元一次方程组→二元一次方程组的实际
应用
模型观念、推理
能力
8
单选
4
图形的变化→尺规作图→尺规作图与平行四边形性质
推理能力、几何
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直观
9
单选
4
函数→二次函数→动态几何中的分段函数图象
几何直观、推理
能力
10
填空
4
数与式→二次根式→二次根式有意义的条件
运算能力
11
填空
4
数与式→科学记数法→科学记数法的应用
运算能力、应用
意识
12
填空
4
统计与概率→概率→几何概率
几何直观、数据
观念
13
填空
4
图形的性质→圆→圆锥侧面展开图的圆心角
运算能力、空间
观念
14
填空
4
函数→反比例函数→反比例函数与等边三角形综合
推理能力、运算
能力
15
填空
4
图形的性质→直角三角形→直角三角形滑动中的最值
几何直观、推理
能力
16
解答
12
数与式→实数与整式→实数运算与整式化简
运算能力
17
解答
12
方程与不等式→分式方程→分式方程的解法与赵爽弦图
运算能力、推理
能力
18
解答
10
图形的性质→平行四边形→平行四边形的性质与判定
推理能力
19
解答
12
统计与概率→统计与概率综合→频数分布表、直方图、平
均数、概率
数据分析、推理
能力
20
解答
10
图形的性质→解直角三角形→解直角三角形的实际应用
（方向角）
模型观念、几何
直观
21
解答
10
函数→二次函数→二次函数的实际应用（抛物线建模）
模型观念、运算
能力
22
解答
11
图形的性质→圆→圆的切线证明与内心性质
推理能力、几何
直观
23
解答
13
图形的变化→图形的旋转→等腰直角三角形旋转中的线段
关系
推理能力、创新
意识
考点模块占比分析
数与式模块（约18%，27 分）：重点考查有理数比较、二次根式、科学记数法、实数运算和整式化简等基
础概念与运算，对应第1、10、11、16 题。该模块强调运算准确性和概念辨析。
函数模块（约16%，24 分）：重点考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质及实际应用，对应第
6、14、21、9 题。第21 题以喷水池改造为背景考查二次函数建模与平移，第9 题以动态几何考查分段函
数图象。
图形的性质模块（约32%，48 分）：重点考查平行线、平行四边形、直角三角形、圆锥与圆、解直角三角
形、圆的切线与内心等几何图形的性质与推理，对应第3、4、8、13、15、18、20、22 题。该模块是新疆
卷分值最大的板块，突出几何直观与逻辑推理。
图形的变化与综合实践模块（约22%，33 分）：重点考查坐标平移、尺规作图、图形旋转、动态几何和综
合探究，对应第3、8、9、23 题。第23 题以等腰直角三角形旋转设置三问递进式猜想证明，是压轴题。
统计与概率模块（约12%，18 分）：重点考查众数、几何概率、频数分布表、直方图、加权平均数和抽样
概率，对应第2、12、19 题。第19 题以景区游客消费调查为背景，完整呈现统计调查与数据分析过程。
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核心复习策略
1. 夯实基础运算，重视概念本质
（1）系统梳理有理数、整式、二次根式、分式方程、一元一次不等式的运算法则，强化运算步骤规范，
避免因符号、通分、化简等细节失分。
（2）深入理解二次根式有意义的条件、科学记数法、众数、圆锥侧面展开图等基本概念，通过变式训练
识别“反套路”设计。
2. 强化几何推理与动态几何能力
（1）系统掌握三角形、四边形、圆的核心性质与判定，熟练添加常见辅助线，掌握全等、相似、勾股定
理在综合几何问题中的综合运用。
（2）加强动态几何、图形旋转和分段函数图象的训练，培养从特殊到一般、从静态到动态的思维迁移能
力。
3. 提升情境建模与统计分析能力
（1）多关注新疆地方发展、传统文化、旅游、新能源等真实情境，训练从文字、表格、图像中提取信息
并建立函数、方程、不等式模型的能力。
（2）熟悉统计调查完整流程，包括数据收集与整理、数据描述、数据分析与应用，掌握频数分布表、直
方图、平均数、概率的综合运用。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
一、单选题
1．下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，气温最高的城市是（ ）
A．北京（−4.6℃）
B．广州（13.1℃）C．南京（2.4℃）
D．哈尔滨（
−19.4℃）
命题透视
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核心考点：有理数的大小比较
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以我国几个城市某年一月份的平均气温为背景，比较气温高低。
（2）问题设计：给出四个城市的气温数据，要求学生利用正数大于负数、两个负数比较绝对值
大的反而小等法则判断气温最高城市。
（3）考查目标：考查运算能力和对有理数大小比较法则的掌握。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据正数大于一切负数，两个正数比较，绝对值大的数更大求解即可．
【详解】解：−4.6℃和−19.4℃均是负数，故−4.6℃和−19.4℃均小于13.1℃，2.4℃，
而13.1℃>2.4℃，
∴气温最高的城市是广州．
知识总结
① 核心概念：正数大于0，0 大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。② 解题要点：先区
分正负数，正数中找最大，负数中绝对值越小越大；本题广州气温为正数，故最高。③ 拓展关联：有理
数大小比较广泛应用于温度、海拔、财务收支等实际情境。
2．某校九年级在“学雷锋月”黑板报评比活动中，7 个班的得分分别是8，9，7，9，10，8，9，则这组数
据的众数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
命题透视
核心考点：众数
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以“学雷锋月”黑板报评比活动中7 个班的得分为背景，考查众数。
（2）问题设计：给出一组数据，要求学生找出出现次数最多的数据。
（3）考查目标：考查数据观念和对众数概念的理解。
答案与解析
【答案】C
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【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
【详解】解：统计本题中各数据出现次数：7 出现1 次，8 出现2 次，9 出现3 次，10 出现1 次，
其中，9 出现的次数最多，因此这组数据的众数为9．
知识总结
① 核心概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；一组数据可能有一个或多个众
数。② 解题要点：统计每个数据出现的次数，出现次数最多的即为众数。③ 拓展关联：众数、中位数、
平均数是描述数据集中趋势的三个基本统计量。
3．在平面直角坐标系中，将点A (1,3)向右平移2 个单位长度，到点B，则点B的坐标为（ ）
A．(−1,3)
B．(1,1)
C．(1,5)
D．(3,3)
命题透视
核心考点：坐标平移
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查平面直角坐标系中点的平移，属于基础几何题。
（2）问题设计：已知点坐标和平移方向距离，求平移后点的坐标。
（3）考查目标：考查几何直观和对坐标平移规律的理解。
答案与解析
【答案】D
【分析】利用平移规则“右移横坐标加，纵坐标不变”即可求解．
【详解】∵点坐标平移规律为，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，已知点A坐标为(1,3)，向右平移2
个单位长度得到点B，
∴点B的横坐标为1+2=3，纵坐标为3，
即B的坐标为(3,3)．
知识总结
① 核心概念：在平面直角坐标系中，点向右平移a 个单位，横坐标加a，纵坐标不变；向左平移则横
坐标减a；向上平移纵坐标加a；向下平移纵坐标减a。② 解题要点：明确平移方向和距离，按“右加左
减、上加下减”的规律计算。③ 拓展关联：坐标平移与函数图象平移、图形变换密切相关。
4．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，已知∠1=30°，则∠2=（ ）
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A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
命题透视
核心考点：平行线性质与三角板角度
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以含30°角的直角三角板放置于两条平行线之间为背景，考查平行线性质。
（2）问题设计：给出平行线和三角板的角度关系，要求学生求某个角的度数。
（3）考查目标：考查几何直观和推理能力，以及对平行线性质的掌握。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：由题意可知，∠1=30°，∠2+∠3=90°，
∵直角三角板放置于两条平行线间，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠2=60°
知识总结
① 核心概念：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；直角三角板两锐角互余。②
解题要点：找准截线和被截线，利用平行线性质和三角板内角关系转化角度。③ 拓展关联：平行线性质
与判定是平面几何的基础，常与三角板、三角形内角和综合考查。
5．不等式2 x−3>1的解集为（ ）
A．x<−1
B．x>−1
C．x<2
D．x>2
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命题透视
核心考点：一元一次不等式的解法
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查一元一次不等式的求解，属于基础计算题。
（2）问题设计：给出一个一元一次不等式，要求学生求出解集并从选项中选择。
（3）考查目标：考查运算能力和对不等式解法的掌握。
答案与解析
【答案】D
【详解】解：2 x−3>1
移项得，2 x>1+3,
合并同类项得，2 x>4,
解得x>2,
∴不等式的解集为x>2．
知识总结
① 核心概念：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但两边同乘或同除负数时不等号方
向要改变。② 解题要点：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；特别注意系数为负数时不等
号方向的改变。③ 拓展关联：不等式是描述数量不等关系的重要工具，常与方程、函数结合。
6．一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm，当挂3kg的物
体时，弹簧的长度为（ ）
A．18cm
B．16cm
C．15cm
D．14cm
命题透视
核心考点：一次函数的实际应用
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以弹簧挂物体后的长度变化为背景，考查一次函数建模。
（2）问题设计：给出弹簧原长和每挂1kg 物体的伸长量，求挂一定质量物体时弹簧的总长度。
（3）考查目标：考查模型观念和运算能力，以及将实际问题转化为一次函数的能力。
答案与解析
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【答案】A
【分析】利用弹簧总长度等于弹簧原长加上挂物体后伸长的长度即可求解．
【详解】∵每挂1kg物体弹簧伸长2cm，
∴挂3kg物体时，弹簧伸长量为3×2=6cm，
又∵弹簧原长为12cm，
∴挂3kg物体时弹簧总长度为12+6=18cm．
知识总结
① 核心概念：一次函数y=kx+b 中，b 为初始量，k 为变化率；弹簧总长度=原长+伸长量。② 解题要
点：确定初始量（弹簧原长）和单位变化量（每挂1kg 伸长量），再代入所挂物体质量计算。③ 拓展关联：
一次函数模型广泛应用于行程、注水、成本、利润等实际问题。
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五
寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺．将绳子
对折再量长木，长木还剩余1 尺，问木长多少尺．设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A．{
y = x + 4.5
1
2 y = x−1)
B．{
x = y + 4.5
1
2 y = x−1)
C．{
y = x + 4.5
1
2 x = y −1)
D．{
y = x−4.5
1
2 y = x−1)
命题透视
核心考点：二元一次方程组的实际应用
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以《孙子算经》中“引绳度木”的经典古文问题为背景，考查二元一次方程组
建模。
（2）问题设计：将古文翻译为现代数学语言，根据绳长与木长的两个条件列出方程组。
（3）考查目标：考查模型观念、推理能力和应用意识，体现传统文化与数学建模的融合。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：设木长x尺，绳长y尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺，
∴绳长=木长+剩余绳长，即y = x + 4.5
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，
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∴对折后绳长=木长−剩余木长，对折后绳长为1
2 y，即1
2 y = x−1；
综上可得方程组{
y = x + 4.5
1
2 y = x−1)
知识总结
① 核心概念：当问题中有两个未知量且存在两个等量关系时，可设二元一次方程组求解。② 解题要
点：准确翻译古文中的数量关系，设木长和绳长为未知数，根据“绳余四尺五寸”和“对折不足一尺”列
方程。③ 拓展关联：我国古代数学典籍如《九章算术》《孙子算经》蕴含丰富的方程思想。
8．如图，在▱ABCD中，点E在AB上．第一步：以点E为圆心，任意长为半径画弧交AE，DE于点M，
N；第二步：以点B为圆心，EM长为半径画弧交AB于点P；第三步：以点P为圆心，MN长为半径画弧
交第二步所画的弧于点Q，连接BQ并延长，交DC于点F．则下列结论一定成立的是（ ）
A．∠ABF =∠CBF
B．∠ADE =∠CBF C．DF =CF D．BE = BF
命题透视
核心考点：尺规作图与平行四边形性质
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以平行四边形中的尺规作图痕迹为背景，考查角平分线作图和平行四边形性质。
（2）问题设计：根据作图步骤判断所作线段与已知线段的位置关系或数量关系。
（3）考查目标：考查推理能力和几何直观，以及对尺规作图和平行四边形性质的理解。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹可知∠ABF =∠AED，从而推出DE∥BF，结合平行四边形AD∥BC的性质，
利用三角形内角和定理及平角定义进行角度转换即可得出结论．
【详解】解： 由作图步骤可知，∠ABF =∠AED
∵四边形ABCD是平行四边形
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∴AD∥BC
∴∠A +∠ABC =180°
∴∠CBF =∠ABC −∠ABF =180°−∠A −∠ABF
在△ADE中，∠ADE =180°−∠A −∠AED
∵∠ABF =∠AED
∴∠ADE =∠CBF，其余结论均不能证明．
知识总结
① 核心概念：尺规作图中的作弧痕迹通常表示等半径；平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻
角互补。② 解题要点：识别作图痕迹所蕴含的等角关系，结合平行四边形性质进行角度转化，判断结论。
③ 拓展关联：尺规作图是几何学习的重要内容，与全等、角平分线、垂直平分线等知识密切相关。
9．如图，水平放置的边长为2cm的正方形ABCD，边长为❑√2cm的正方形EFGH的顶点F，H在同一水
平线上，点F与AD的中点重合，现将正方形EFGH以1cm/ s的速度沿AB方向匀速运动，当点H运动到
BC上时停止．在这个运动过程中，正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积y (cm
2)与运动时间x (s)
之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
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命题透视
核心考点：动态几何中的分段函数图象
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以两个正方形匀速运动过程中重叠面积变化为背景，考查分段函数图象识别。
（2）问题设计：正方形沿水平方向运动，重叠部分面积随时间变化呈现不同的函数关系，要求
学生判断函数图象的大致形状。
（3）考查目标：考查几何直观、推理能力和函数观念，是选择题的压轴题。
答案与解析
【答案】B
【分析】连接EG、FH交于点O，正方形EFGH的边与正方形ABCD交于点M、N，FH交AD于点K，
分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积y (cm
2)与运动时间x (s)之间的函数关系表达式，进而得到对应
的函数图象，即可得解．
【详解】解：如图，连接EG、FH交于点O，正方形EFGH的边与正方形ABCD交于点M、N，FH交
AD于点K，
∵边长为❑√2cm的正方形EFGH的顶点F，H在同一水平线上，点F与AD的中点重合，
∴EG = FH =
❑√(❑√2)
2+(❑√2)
2=2(cm)，OE =OF =OG =OH =1cm，EG⊥FH，HF垂直平分AD，
∴AD∥EG，
①当0≤t ≤1时，叠部分的面积为S△FMN，此时FK =t cm，
∵AD∥EG
∵△FMN ∽△FGE，
∴FK
OF = MN
EG ，
∴t
1 = MN
2 ，
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∴MN =2t cm，
∴S△FMN = 1
2 MN ⋅FK = 1
2 ×2t ⋅t =t
2(cm
2)；
②当1<t ≤2时，叠部分的面积为S正方形EFGH −S△HMN，此时HK = FH −FK =(2−t )cm，
同理可得，MN =2(2−t )，
∴ S正方形EFGH −S△HMN =(❑√2)
2−1
2 ×2(2−t )⋅(2−t )=−t
2+ 4t −2=−(t −2)
2+2，
即当x =2时，有最大值为2；
③当2<t ≤3时，叠部分的面积为S正方形EFGH −S△FMN，此时FK =(t −2)cm，
同理可得，MN =2(t −2)，
∴ S正方形EFGH −S△FMN =(❑√2)
2−1
2 ×2(t −2)⋅(t −2)=−t
2+ 4t −2=−(t −2)
2+2；
④当3<t ≤4时，叠部分的面积为S△HMN，此时HK =2−(t −2)=(4−t )cm，
试卷第14页，共3页
同理可得，MN =2(4−t )，
∴ S△HMN = 1
2 MN ⋅HK = 1
2 ×2(4−t )⋅(4−t )=(4−t )
2=(t −4)
2，
综上可知，当0≤t ≤1时，图象为开口向上的抛物线；当1<t ≤2时，图象为开口向下的抛物线，且有最大
值为2；当2<t ≤3时，图象为开口向下的抛物线；当3<t ≤4时，图象为开口向上的抛物线，
只有B 选项符合题意．
知识总结
① 核心概念：分段函数在不同区间有不同的解析式；运动过程中重叠图形可能是三角形、四边形等，
面积表达式不同。② 解题要点：分阶段讨论运动过程，分别求出重叠面积与时间的函数关系，再根据开
口方向、最值等特征判断图象。③ 拓展关联：动态几何与函数图象综合是中考热点，常结合三角形、四
边形、圆考查。
二、填空题
10．若❑√x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为____________．
命题透视
核心考点：二次根式有意义的条件
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查二次根式在实数范围内有意义的条件，属于基础概念题。
（2）问题设计：给出含字母的二次根式，要求确定字母的取值范围。
（3）考查目标：考查运算能力和对二次根式概念的理解。
答案与解析
【答案】
x ≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果．
【详解】解：若❑√x−1在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 x−1≥0，
解得x ≥1．
知识总结
试卷第15页，共3页
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① 核心概念：二次根式√a 在实数范围内有意义，则被开方数a≥0。② 解题要点：根据被开方数非
负列出不等式，求解即可。③ 拓展关联：二次根式有意义的条件常与分式有意义、函数定义域等结合考
查。
11．截至2025 年底，新疆电网新能源装机容量达1.69亿千瓦，占全疆总装机容量的64 %，风电、光伏装机
规模均稳居全国前列．将数据1.69亿用科学记数法表示为____________．
命题透视
核心考点：科学记数法的应用
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以新疆电网新能源装机容量为背景，考查科学记数法表示较大数。
（2）问题设计：给出以“亿”为单位的数据，要求用科学记数法表示。
（3）考查目标：考查运算能力和应用意识，以及将地方经济数据用科学记数法表达的能力。
答案与解析
【答案】1.69×10
8
【分析】先将单位“亿”转换为数字形式，再根据科学记数法的定义确定a和n的值即可得到结果．
【详解】解：1亿=100000000=10
8，
因此1.69亿=1.69×10
8．
知识总结
① 核心概念：科学记数法把一个数表示为a×10^n，其中1≤|a|<10，n 为整数。② 解题要点：先将
“亿”换算为具体数字，再按科学记数法格式表示；注意n 的确定。③ 拓展关联：科学记数法广泛应用于
表示人口、经济、天文、微观粒子等大数据。
12．如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，
且正方形的边长为2cm，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________．
命题透视
试卷第16页，共3页
核心考点：几何概率
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以正方形及其内切圆为背景，考查几何概率。
（2）问题设计：随机往正方形内投一粒米，求落在圆内的概率，即圆面积与正方形面积之比。
（3）考查目标：考查数据观念和几何直观，以及对几何概率的理解。
答案与解析
【答案】π
4
【分析】先计算正方形的面积，再计算内切圆的面积，最后用内切圆面积除以正方形面积，得到米粒落在
圆内的概率．
【详解】解：∵正方形边长为2cm，
∴正方形面积 S正=2×2= 4 c m
2，
∵正方形的内切圆直径等于正方形边长，
∴圆的半径 r =1cm，
圆面积 S圆= π r
2= π ×1
2= π c m
2，
∴概率P = S圆
S正
= π
4 ．
知识总结
① 核心概念：几何概率P(A)=构成事件A 的区域面积÷全部结果构成的区域面积。② 解题要点：分
别计算正方形面积和内切圆面积，再求比值；正方形内切圆直径等于正方形边长。③ 拓展关联：几何概
率可推广到长度、体积等测度，是概率与几何融合的经典题型。
13．已知圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角为____________．
命题透视
核心考点：圆锥侧面展开图的圆心角
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查圆锥侧面展开图与圆锥各量之间的关系，属于基础计算题。
（2）问题设计：已知圆锥底面半径和母线长，求侧面展开图扇形的圆心角。
（3）考查目标：考查运算能力和空间观念，以及对圆锥侧面展开图的理解。
试卷第17页，共3页
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答案与解析
【答案】
90°/90 度
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用
该关系列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的底面周长为：2π ×1=2π
根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：2π = nπ ×4
180
解得 n=90
∴它的侧面展开图的圆心角为90°．
知识总结
① 核心概念：圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长；圆
心角n=（r/l）×360°。② 解题要点：先求底面周长，再利用弧长公式列方程求圆心角。③ 拓展关联：
圆锥、圆柱的展开图与表面积、体积计算密切相关。
14．如图，等边△AOB的面积为9 ❑√3，边OA与双曲线y = k
x 相交于点C，且OA :OC =3:2，则k =
____________．
命题透视
核心考点：反比例函数与等边三角形综合
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以等边三角形和双曲线为背景，考查反比例函数与几何图形的综合。
（2）问题设计：已知等边三角形面积和边与双曲线交点关系，求反比例函数中的k 值，需要构造
相似三角形和坐标关系。
试卷第18页，共3页
（3）考查目标：考查推理能力、运算能力和几何直观。
答案与解析
【答案】4 ❑√3
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，设等边△AOB的边长为2a，结合三角形
面积，求出AD =3 ❑√3，OD =3，证明∠COE∽△AOD，利用相似三角形对应边成比例，求出CE =2❑√3，
OE =2，从而得到点C的坐标，即可得到k的值．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
设等边△AOB的边长为2a，
∴OA =OB =2a，OD = BD = 1
2 OB =a，
∴AD =
❑√O A
2−O B
2= ❑√3a，
∵等边△AOB的面积为9 ❑√3，
∴1
2 OB⋅AD = 1
2 ×2a×❑√3a= ❑√3a
2=9 ❑√3，
∴a=3（负值舍去），
∴AD =3 ❑√3，OD =3，
∵AD∥CE，
∴△COE∽△AOD，
∴AD
CE = OD
OE = OA
OC ，
∵OA :OC =3:2，
∴3 ❑√3
CE = 3
OE = 3
2，
∴CE =2❑√3，OE =2，
∴C (2,2❑√3)，
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∴k =2×2❑√3= 4 ❑√3．
知识总结
① 核心概念：反比例函数y=k/x 中，k=xy；等边三角形面积公式S=（√3/4）a²；相似三角形对应边
成比例。② 解题要点：设等边三角形边长，由面积求边长；作垂线构造相似三角形，利用比例求出点坐
标，再求k。③ 拓展关联：反比例函数常与等边三角形、等腰直角三角形、正方形等结合考查。
15．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面
上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB =3，BC = 4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为
____________．
命题透视
核心考点：直角三角形滑动中的最值
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以直角三角形木块斜靠在墙面和地面滑动为背景，求顶点到墙角距离的最大值。
（2）问题设计：利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合三角形三边关系求最大值。
（3）考查目标：考查几何直观、推理能力和最值思想，是填空题压轴题。
答案与解析
【答案】2+ ❑√13/❑√13+2
【分析】取BC中点D，连接OD , AD ,OA，根据直角三角形的性质求出OD =2，利用勾股定理求出
AD = ❑√13，由OA ≤AD +OD即可得出结果．
【详解】解：取BC中点D，连接OD , AD ,OA，
试卷第20页，共3页
∵BC = 4，
∴BD = 1
2 BC =2，
由题意得∠ABC =∠BOC =90°，
∴OD = 1
2 BC =2，
∵AB =3，
∴AD =
❑√A B
2+ B D
2= ❑√13，
∵OA ≤AD+OD，
∴OA的最大值为AD +OD =2+ ❑√13，
即木块顶点A到墙角O的距离的最大值为2+ ❑√13．
知识总结
① 核心概念：直角三角形斜边中线等于斜边的一半；三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取
等号。② 解题要点：取斜边中点，连接顶点到中点，利用斜边中线性质将距离转化为三角形两边之和，
当三点共线时取最大值。③ 拓展关联：最值问题常结合圆、三角形三边关系、二次函数等知识。
三、解答题
16．计算：
(1)|−1)−❑√4 +(❑√2)
0；
(2)(a−1)
2−a(a−2)．
命题透视
试卷第21页，共3页
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核心考点：实数运算与整式化简
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查实数混合运算和整式化简，属于基础计算题。
（2）问题设计：第(1)问进行综合实数运算，第(2)问用完全平方公式和单项式乘多项式法则化
简整式。
（3）考查目标：考查运算能力和对实数运算、整式运算法则的掌握。
答案与解析
【答案】(1)
0
(2)
1
【分析】（1）先分别计算绝对值、算术平方根、零次幂，再依次进行加减运算得出结果；
（2）先用完全平方公式展开平方项、单项式乘多项式法则展开乘积项，去括号后合并同类项化简整式．
【详解】（1）解：|−1)−❑√4 +(❑√2)
0
=1−2+1
=0；
（2）解：(a−1)
2−a(a−2)
=a
2−2a+1−(a
2−2a)
=a
2−2a+1−a
2+2a
=1．
知识总结
① 核心概念：实数运算包括绝对值、算术平方根、零次幂等；整式化简常用完全平方公式、平方差
公式、单项式乘多项式法则。② 解题要点：分别化简每一项，注意符号；整式化简时先展开再合并同类
项。③ 拓展关联：实数运算和整式化简是代数学习的基础，运算准确性直接影响后续解题。
17．解决问题：
(1)解方程：3
2 x =
2
x +3；
(2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形
试卷第22页，共3页
ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长．
命题透视
核心考点：分式方程的解法与赵爽弦图
►
命题分析：
►
（1）情境创设：第(1)问直接解分式方程，第(2)问以赵爽弦图为背景考查勾股定理应用。
（2）问题设计：第(2)问给出大正方形和小正方形面积，求直角三角形某条直角边的长。
（3）考查目标：考查运算能力、推理能力和对传统文化的理解。
答案与解析
【答案】(1)x =9
(2)6
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）根据正方形的面积求出边长，设BF = x，在Rt △ABF中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：3
2 x =
2
x +3，
去分母得，3(x +3)=2×2 x，
去括号得，3 x +9= 4 x，
移项合并得，x =9，
经检验，当x =9时，2 x (x +3)≠0，
∴分式方程的解为x =9；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，
∴AB =10，EF = FG =2，
设BF = x，则AF = BG = x +2，
在Rt △ABF中，A F
2+ B F
2= A B
2，
试卷第23页，共3页
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∴(x +2)
2+ x
2=10
2，
解得：x =6或x =−8（舍），
即BF的长为6．
知识总结
① 核心概念：分式方程需去分母化为整式方程，解后必须检验；赵爽弦图中大正方形面积等于四个
直角三角形面积加中间小正方形面积，也等于弦（斜边）的平方。② 解题要点：第(2)问由面积求边长，
设未知数，利用勾股定理列方程求解。③ 拓展关联：赵爽弦图是中国古代证明勾股定理的经典方法，体
现数形结合思想。
18．如图，在▱ABCD中，点E，F 在对角线BD上，BE = DF．求证：
(1)△ABE ≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
命题透视
核心考点：平行四边形的性质与判定
►
命题分析：
►
（1）情境创设：直接考查平行四边形的性质与判定，属于基础几何证明题。
（2）问题设计：第(1)问证明三角形全等，第(2)问证明四边形为平行四边形。
（3）考查目标：考查推理能力，以及对平行四边形性质和判定的掌握。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB =CD，
∴∠ABE =∠CDF，
又BE = DF，
∴△ABE ≌△CDF (SAS)；
(2)证明：∵△ABE ≌△CDF，
试卷第24页，共3页
∴AE =CF ,∠AEB =∠CFD
∵∠AEB+∠AEF =∠CFD +∠CFE =180°
∴∠AEF =∠CFE
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB =CD，根据平行线的性质可得
∠ABE =∠CDF，结合已知条件根据SAS即可证明△ABE ≌△CDF；
（2）根据△ABE ≌△CDF可得AE =CF ,∠AEB =∠CFD，根据邻补角的意义可得∠AEF =∠CFE，
可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）略
（2）略
知识总结
① 核心概念：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形。② 解题要点：利用平行四边形性质得到边、角关系，再用SAS、ASA 等判定三角形全
等；由全等得到边相等，进而判定平行四边形。③ 拓展关联：平行四边形是特殊四边形的基础，与矩形、
菱形、正方形联系紧密。
19．为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日
消费金额．统计情况如下表：
【数据收集与整理】
组别
人均日消费金额x（元）
组中值
频数
频率
A
0≤x<200
100
20
0.1
B
200≤x<400
300
60
0.3
C
400≤x<600
500
a
0.4
D
600≤x<800
700
30
b
E
800≤x<1000
900
10
0.05
【数据描述】
试卷第25页，共3页
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【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中a=____________，b=____________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数；
(4)从D 组，E 组中各选取2 人，在这4 人中再随机抽取2 人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2 人
恰好来自同一组别的概率．
命题透视
核心考点：频数分布表、直方图、平均数、概率
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以某景区游客人均日消费抽样调查为背景，综合考查统计与概率知识。
（2）问题设计：第(1)问根据频数分布表求未知频数和频率；第(2)问补全频数分布直方图；第
(3)问用组中值求加权平均数；第(4)问用列表法或树状图求概率。
（3）考查目标：考查数据分析、推理能力和应用意识，完整呈现统计调查流程。
答案与解析
【答案】(1)80；0.15
(2)解：补图如下：
(3)450 元
(4)1
3
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【分析】（1）求出样本容量，减去已知几个组的人数即可求出a 的值；用600≤x<800组的人数除以样本
容量即可求出b 的值；
（2）根据（1）中结果补图即可；
（3）根据加权平均数定义求解即可；
（4）根据题意画出树状图，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即
可求解．
【详解】（1）解：样本容量为20÷0.1=200，
∴a=200−20−60−30−10=80，
b=30÷200=0.15；
（2）略
（3）解：1
200 ×(100×20+300×60+500×80+700×30+900×10)= 450，
答：估计这一天游客人均日消费金额的平均数450 元；
（4）解：记D 组两人为D1、D2；E 组两人为E1、E2，
画树状图如下：
共12 种等可能结果，其中2 人恰好来自同一组别的结果为4 种，
2
∴人恰好来自同一组别的概率为4
12 = 1
3.
知识总结
① 核心概念：频率=频数÷总数；加权平均数=各组组中值×频率之和；用样本估计总体。② 解题要
点：先求样本容量，再求未知频数和频率；根据数据补全直方图；用组中值计算加权平均数；用树状图或
列表法列举等可能结果求概率。③ 拓展关联：统计调查广泛应用于社会调查、市场分析、质量评估等领
域。
20．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送货物．已知港口A 位于
港口B 北偏西18.4°的方向上，港口C 位于港口A 北偏东53°的方向上，AB =100 ❑√10海里，AC =500海
里，甲船航行速度为10 海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C
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（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin18.4°≈
❑√10
10 ，
cos18.4°≈3 ❑√10
10
，tan18.4°≈1
3）
命题透视
核心考点：解直角三角形的实际应用（方向角）
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以甲、乙两艘货船从港口A、B 同时出发向港口C 航行为背景，考查解直角三角
形和方向角应用。
（2）问题设计：根据方向角、已知距离和速度，求乙船速度使两船同时到达。
（3）考查目标：考查模型观念、几何直观和运算能力，突出数学在航海测量中的应用。
答案与解析
【答案】6 ❑√5海里/时
【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出BD，ED，EF，CF的长
度，最后根据勾股定理即可求出BC长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度．
【详解】解：过点B的正北方向作BF ⊥CF于点F，交AC于点E，过点A作AD⊥BF于点D，设A的正
北方向上一点G，如图所示，
试卷第28页，共3页
∴∠ADB =∠ADE =∠CFE =90°
，
DF ∥AG
，
∴∠GAE =∠AED =∠CEF =53°．
∵ sin18.4°≈
❑√10
10 ，cos18.4°≈3 ❑√10
10
， AB =100 ❑√10海里，AC =500海里，
∴在Rt△ADB中，sin18.4°≈
❑√10
10 = AD
AB =
AD
100 ❑√10，cos18.4°≈3 ❑√10
10
= BD
AB =
BD
100 ❑√10，
∴AD =100海里，BD =300海里．
∵ sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
∴在Rt△ADE中，sin53°≈0.80= AD
AE = 100
AE ，则AE =125海里，
cos53°≈0.60= ED
AE = ED
125，则ED =75海里．
∵AC =500海里，
∴EC = AC −AE =500−125=375海里，
∴在Rt△CFE中，sin53°≈0.80= CF
CE = CF
375，则CF =300海里，
cos53°≈0.60= EF
CE = EF
375，则EF =225海里．
∴FB = BD + DE + EF =300+75+225=600海里，
∴在Rt△CFB中，BC =
❑√C F
2+ F B
2=
❑√300
2+600
2=300 ❑√5海里．
∵ AC =500海里，甲船航行速度为10 海里/时，甲和乙的行驶时间相同，
∴t乙=t甲= 500
10 =50小时，
∵ BC =300 ❑√5海里，
∴V 乙= 300 ❑√5
50
=6 ❑√5海里/时．
∴乙船的航行速度大约是6 ❑√5海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C．
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【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利
用方向构建直角三角形．
知识总结
① 核心概念：方向角是以正北或正南方向为基准描述物体方向的角度；解直角三角形利用锐角三角
函数和勾股定理。② 解题要点：根据方向角构造直角三角形，利用正弦、余弦求各边长度，再用时间相
等求乙船速度。③ 拓展关联：解直角三角形广泛应用于测量、航海、工程、军事等领域。
21．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷
出抛物线形水柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不
变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．
过程
方法
说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作
说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据
测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱
在与水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立
模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y =a x
2+bx +0.8(a≠0)，求a，b 的值；
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
命题透视
核心考点：二次函数的实际应用（抛物线建模）
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以音乐广场圆形喷水池改造为背景，考查二次函数建模与平移。
（2）问题设计：第(1)问根据已知条件求抛物线解析式中的参数；第(2)问求水管增高后喷水池
的最小直径。
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（3）考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识，突出函数在工程设计中的应用。
答案与解析
【答案】(1)a=−0.1，b=0.7
(2)18米
【分析】（1）抛物线经过(8,0)，对称轴为直线x =3.5，再由待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令y =0，求出x，即可求解半径．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过(8,0)，对称轴为直线x =3.5，
∴{
64 a+8b+0.8=0
−b
2a =3.5 )
解得{
a=−0.1
b=0.7 )；
∴a=−0.1，b=0.7；
（2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为y =−0.1 x
2+0.7 x +0.8，
配方可得y =−0.1(x −3.5)
2+2.025，
∵现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变
∴新抛物线的表达式为y =−0.1(x −3.5)
2+2.025+1，即y =−0.1(x −3.5)
2+3.025，
当y =0时，−0.1(x −3.5)
2+3.025=0，
解得x1=9，x2=−2（舍去），
∴9×2=18（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．
知识总结
① 核心概念：二次函数y=ax²+bx+c 的图象是抛物线；抛物线平移不改变形状，只改变位置。② 解题
要点：根据顶点坐标或对称轴设解析式，代入已知点求参数；水管增高1 米即抛物线向上平移1 个单位；
令y=0 求水柱落地点到中心的距离，再求直径。③ 拓展关联：抛物线模型广泛应用于喷泉、抛体运动、桥
梁设计等实际问题。
22．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD，CD，经过点D 的直线与AB的
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延长线相交于点E，且∠BDE = 1
2 ∠BAC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果点I 是△ABC的内心，tan∠BAC = 12
5 ，BC =24，求DI的值．
命题透视
核心考点：圆的切线证明与内心性质
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以三角形内接于圆、角平分线和过圆上一点的直线为背景，考查圆的切线证明
和内心性质。
（2）问题设计：第(1)问证明直线是圆的切线；第(2)问已知三角形内心和边长，求某个比值。
（3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，是圆的综合题。
答案与解析
【答案】(1)证明：连接DO并延长交⊙O于点F，连接BF，
∵BD
⏜
= BD
⏜
∴∠1=∠3
∵DF是直径，
∴∠FBD =90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD平分∠BAC
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∴∠3= 1
2 ∠BAC
∵∠BDE = 1
2 ∠BAC，
∴∠3=∠BDE
∴∠1=∠BDE
∴∠BDE+∠2=∠EDF =90°
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)4 ❑√13
【分析】（1）连接DO并延长交⊙O于点F，连接BF，由圆周角定理得到∠1=∠3，∠FBD =90°，则
∠1+∠2=90°，由角平分线得到∠3= 1
2 ∠BAC，结合已知条件可得∠3=∠BDE，继而等量代换证明
即可；
（2）连接BI ,CI ,OB ,OC ,OD，OD交BC于点M，先由圆周角定理得到证明∠4 =∠5，根据垂径定理
的推论可得OD⊥BC，BM =CM =1
2 BC，再证明∠BOM =∠BAC，解Rt△BOM求出OM，OB，即
可求解DM，BD，再由内心的性质导角证明DI = DB．
【详解】（1）略
（2）解：连接BI ,CI ,OB ,OC ,OD，OD交BC于点M，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD =∠CAD，
∴BD
⏜
=CD
⏜
，
∴∠4 =∠5，
∵DO是半径，
∴OD⊥BC，BM =CM =1
2 BC = 1
2 ×24 =12，
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∵OB =OC
∴∠BOC =2∠BOM
∵∠BOC =2∠BAC，
∴∠BOM =∠BAC
∵tan∠BAC = 12
5
∴tan∠BOM = BM
OM = 12
OM = 12
5
∴OM =5
∴OB =
❑√O M
2+ B M
2=13
∴OD =13
∴DM =OD−OM =8
∴BD =
❑√B M
2+ D M
2=
❑√12
2+8
2= 4 ❑√13，
∵点I 是△ABC的内心，
∴∠ABI =∠CBI
∵BD
⏜
= BD
⏜
∴∠5=∠BAD
∴∠4 =∠BAD
∵∠DBI =∠4+∠CBI ,∠6=∠BAD+∠ABI
∴∠DBI =∠6，
∴DI = DB = 4 ❑√13．
知识总结
① 核心概念：圆的切线垂直于过切点的半径；圆周角定理；三角形内心是三条角平分线的交点。②
解题要点：第(1)问连接半径，证明半径与直线垂直；第(2)问利用角平分线、圆周角、相似三角形或垂径
定理建立边长关系。③ 拓展关联：圆的综合题常与三角形、四边形、相似、三角函数结合，是中考几何
的重点。
23．已知，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC = BC，点D 为AB上一点，∠EDF =90°，现将∠EDF
绕着点D 旋转，交AC于点F，交BC 于点E．
试卷第34页，共3页
(1)如图1，当点D 为AB中点时，猜想DE，DF之间的数量关系，并进行证明；
(2)如图2，当BD =2 AD时，猜想AF ，BE，AB之间的数量关系，并进行证明；
(3)如图3，当BD =nAD时，猜想AF ，BE，AB之间的数量关系，并进行证明．
命题透视
核心考点：等腰直角三角形旋转中的线段关系
►
命题分析：
►
（1）情境创设：以等腰直角三角形绕边上一点旋转为背景，设置三问递进式猜想与证明。
（2）问题设计：第(1)问当D 为中点时猜想AE、BF、EF 关系并证明；第(2)(3)问当旋转角为
45°和135°时猜想并证明三条线段关系。
（3）考查目标：考查推理能力、创新意识和几何直观，是压轴题，突出从特殊到一般的探究过
程。
答案与解析
【答案】(1)解：猜想DE = DF，证明如下：
如图所示，连接CD，
∵AC = BC，∠ACB =90°，点D 为AB中点，
∴∠A =∠B = 45°，CD⊥AB，CD = 1
2 AB = AD = BD，
∴∠DCE =∠B = 45°，
∴∠DCE =∠A，
∵∠EDF =90°，
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∴∠1=∠3=90°−∠2，
∴△ADF ≌△CDE (ASA)，
∴DE = DF；
(2)解：猜想BE +2 AF = 2❑√2
3
AB，证明如下：
如图所示，过点D作DM ⊥AC，DN ⊥BC，垂足分别为M , N，则∠DMF =∠DNE =∠DNC =90°，
由（1）知∠A =∠B = 45°，
∴△AMD ,△BND为等腰直角三角形，则AM = MD , DN = BN，
∴AM = MD = AD×sin A =
❑√2
2 AD，
同理DN = BN =
❑√2
2 BD，
∵BD =2 AD，
∴DN =2 DM，
∵∠C =90°，
∴∠MDN =360°−90°−90°−90° =90°，
∵∠EDF =90°，
∴∠1=∠2=90°−∠FDN，
∴△DMF ∽△DNE，
∴DM
DN = MF
NE = 1
2
∴NE =2 MF；
∵AF = AM + MF，BE = BN −NE，
∴AF =
❑√2
2 AD + MF，BE =
❑√2
2 BD−NE ①，
∴2 AF = ❑√2 AD +2 MF ②
由①+②得，BE +2 AF = ❑√2 AD +
❑√2
2 BD = ❑√2 AD +
❑√2
2 ×2 AD =2❑√2 AD，
试卷第36页，共3页
∵BD + AD =2 AD + AD = AB，
∴AD = 1
3 AB，
∴BE +2 AF =2❑√2 AD = 2❑√2
3
AB；
(3)解：猜想BE +nAF =
❑√2n
n+1 AB，证明如下：
如图所示，过点D作DM ⊥AC，DN ⊥BC，垂足分别为M , N，
同（2）可得AM = MD =
❑√2
2 AD，DN = BN =
❑√2
2 BD，
∵BD =nAD，
∴DN =nDM，
同（2）可证明△DMF ∽△DNE
∴DM
DN = MF
NE = 1
n
∴NE =nMF，
∵AF = AM + MF，BE = BN −NE，
∴AF =
❑√2
2 AD + MF，BE =
❑√2
2 BD−NE ①，
∴nAF =
❑√2
2 nAD +nMF ②，
由①+②得，BE +nAF =
❑√2
2 nAD +
❑√2
2 BD =
❑√2
2 nAD +
❑√2
2 ×nAD = ❑√2nAD，
∵BD+ AD =nAD+ AD = AB，
∴AD =
1
n+1 AB，
∴BE +nAF = ❑√2nAD = ❑√2n×
1
n+1 AB，即BE +nAF =
❑√2n
n+1 AB．
【分析】（1）连接CD，证明△ADF ≌△CDE (ASA)即可；
（2）过点D作DM ⊥AC，DN ⊥BC，垂足分别为M , N，则AM = MD =
❑√2
2 AD，DN = BN =
❑√2
2 BD，
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然后证明△DMF ∽△DNE，则NE =2 MF，由AF = AM + MF，BE = BN −NE，得到
AF =
❑√2
2 AD + MF，BE =
❑√2
2 BD−NE ①，那么2 AF = ❑√2 AD +2 MF ②，再由①+②求解即可；
（3）同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
知识总结
① 核心概念：旋转保持对应边相等、对应角相等；等腰直角三角形两锐角为45°；全等三角形的判
定与性质。② 解题要点：第(1)问连接CD，利用等腰直角三角形三线合一和全等证明；第(2)(3)问过点作
垂线，构造等腰直角三角形和全等三角形，利用线段和差推导关系。③ 拓展关联：旋转综合题常与全等、
相似、等腰直角三角形、正方形结合，是中考几何压轴题的主流形式。
