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分层作业
13.3.1 三角形的内角
第2 课时 直角三角形的性质和判定
目 录
A 组 巩固过关
题型01 已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数
题型02 利用方程思想求直角三角形锐角度数
题型03 利用三角板求直角三角形锐角度数
题型04 利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数
题型05 利用直角三角形性质综合解决问题
题型06 利用直角三角形的判定解决问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数
1． 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若∠𝐴= 42°，则∠𝐵的度数为（ ）
A．38°
B．48°
C．58°
D．68°
2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，𝐶处有一灯塔，点𝐴表示轮船的初始位置，点𝐵表示轮船行进中某
一时刻的位置，当轮船从点𝐴行驶到距离灯塔最近点时，此时∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
题型01
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
利用方程思想求直角三角形锐角度数
3．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴:∠𝐵= 1:2，则两个锐角的度数为（ ）
A．30°和60°
B．45°和45°
C．40°和80°
D．以上说法都不对
4.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
5.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶与直角三角形𝐴𝐶𝐸中，∠𝐵= 50°，∠𝐵𝐶𝐷比∠𝐴𝐶𝐸大20°，则∠𝐸𝐴𝐷= ________．
利用三角板求直角三角形锐角度数
6.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠𝛼= （ ）
A．60°
B．55°
C．45°
D．30°
7.如图，三角尺𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵分别在直线𝑙1，𝑙2上，若𝑙1 ∥𝑙2，且𝐵𝐴平分∠𝐶𝐵𝐷，则∠2的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
题型02
题型03
8.一副三角板（内角分别是90°，45°，45°；90°，30°，60°）按如图方式叠放在一起，则∠1的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．70°
D．75°
利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数
9.如图，将长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，使点D 落在长方形内的点𝐷′处，已知∠𝐷𝐴𝐸= 25°，则∠𝐶𝐸𝐷′ =
_______°．
10 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，𝐷是边𝐴𝐵上的一个动点，连接𝐶𝐷，当𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平
分线时，将△𝐶𝐷𝐵沿着𝐶𝐷翻折，得到△𝐶𝐷𝐸．如下结论：①点𝐸落在𝐴𝐶上；②𝐷𝐸⊥𝐴𝐶；③𝐷𝐸平分
∠𝐴𝐷𝐶．结论正确的是_________
11.如图，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转28°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，𝐴′𝐵′交𝐴𝐶边于点𝐷．若∠𝐴′𝐷𝐶= 90°，则∠𝐴=
_______
题型04
利用直角三角形性质综合解决问题
12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是角平分线，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为__________
14.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
15.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50∘，∠𝐵= 70∘，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于F，求∠𝐶𝐷𝐹的度数．
题型05
利用直角三角形的判定解决问题
15.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶
C．∠𝐴= 1
2∠𝐵= 1
3∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵= 3∠𝐶
16.如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
17.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点E．
(1)求∠𝐴𝐸𝐶的度数；
(2)若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐶𝐷𝐹= 75°．判断△𝐶𝐹𝐷的形状，并说明理由．
题型06
1．将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠𝐵= ∠𝐹= 90°，点𝐷在𝐴𝐵边上，保持
点𝐷位置不动，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐷旋转，始终保持𝐷𝐸边与𝐵𝐶边相交，则∠1和∠2的数量关系是（ ）
A．∠1 + ∠2 = 75°B．∠1 + ∠2 = 90°
C．∠1−∠2 = 30°
D．∠1−∠2 = 45°
2.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作直线𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐷𝐸于点𝐸、𝐷，则∠𝐷+ ∠𝐸=
（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．65°
3.如图，将一个直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶(∠𝐴𝐶𝐵= 90°)，沿线段𝐶𝐷折叠，使点𝐵落在𝐵′处，若𝐵′𝐷//𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵′
= 3∠𝐴𝐷𝐵′，则∠𝐵的度数为________．
4.如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵的值为________
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角为_____度．
6.如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，点𝐶，𝐷分别落在𝐶′，𝐷′的位置，𝐶′𝐹的延长线交𝐶𝐷于点𝐺，
∠𝐸𝐹𝐺= 2∠𝐴𝐸𝐷′，则∠𝐵𝐻𝐷′度数为________
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶> ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°，则∠𝐷𝐴𝐸= _________；
(2)计算：若∠𝐶−∠𝐵= 50°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(3)猜想：∠𝐷𝐴𝐸、∠𝐵、∠𝐶的关系_________．
8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．
(1)如图1，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．
(2)如图2，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．
(3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数．
1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面𝑂𝐴上，其受力分析如图，重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵
垂直，摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，支持力𝐹2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1 = 28°，则支持力𝐹2与
重力𝐺方向的夹角∠2的度数是（ ）
A．162°
B．152°
C．142°
D．118°
2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点𝐴′实
际是在更深处的池底点𝐴处（点𝐴，𝐴′,𝑂在一条竖直直线上）．若∠1 = 132°，则∠2的度数为（ ）
A．48°
B．46°
C．44°
D．42°
3．【分类讨论】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，垂足为𝐷，∠𝐵= 36°，且∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶
的度数为__________．
4．
【分类讨论】已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，∠𝐵比∠𝐴大26°，点M，N 分别在边𝐴𝐶,𝐴𝐵上，连接𝑀𝑁，将△𝐴𝑀𝑁
沿着𝑀𝑁折叠，得到△𝐴′𝑀𝑁，当𝐴′𝑁所在直线与𝐴𝐶垂直时，∠𝐴𝑀𝑁的度数是_______
5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的
1
2，我们称这两个角互为“友爱角”，这个
三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 80∘,∠𝐵= 40∘，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶
为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵），∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
①求∠𝐴、∠𝐵的度数．
②若𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高，则△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐴= 66°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴，𝐵重合），连接𝐶𝐷，若△𝐴𝐶𝐷
是“友爱三角形”，直接写出∠𝐴𝐶𝐷的度数．
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1 = 50°，则∠2的度数
是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线𝑙1∥𝑙2，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点D，∠1 = 50°，则∠2的度数是（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
3.一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形
