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第 04 讲 三角形的内角
课程标准 学习目标
1. 阐述并验证三角形的内角和定理。
①三角形内角和定理
2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定。
②直角三角形的性质与判定
3. 能够利用三角形的内角和进行角度的计算
知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 。
即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 。
2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作DE平行于BC。
∵DE∥BC
∴∠B＝ ；∠C＝ 。
∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 。
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 。
【即学即练1】1．在△ABC中，∠A+∠B＝140°，∠C+∠B＝160°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【即学即练2】
2．在△ABC中，如果∠A＝ ∠B＝ ∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．
知识点02 直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用 表示直角三角形ABC。
2. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 。
3. 直角三角形的判定：
有两个角 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 三角形。
【即学即练1】
3．在直角三角形中，如果一个锐角为40°，则另一个锐角为 ．
【即学即练2】
4．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55° B．35° C．30° D．50°题型01 利用三角形的内角和进行计算
【典例1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C
的度数为（ ）
A．60° B．64° C．74° D．80°
【变式1】在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．
【变式2】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，求∠A、∠B和∠C的度数，它是什么三角形？
【变式3】如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点
N，则∠AMN的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【变式4】如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数
是（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝
∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（ ）
A． B． C． D．
题型02 直角三角形的性质与判定
【典例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．38° C．50° D．30°
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，
交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【典例1】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠CC．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝ ∠C
【变式1】在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A
＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A＝ ∠C；⑤∠A＝∠B＝ ∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 ．
题型03 三角形的内角和与直角三角板
【典例1】一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2＝ 度．
【变式1】如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2
的度数为（ ）
A．85° B．60° C．50° D．95°
【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式3】将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝
90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【变式4】如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝
30°，∠E＝45°，∠ECB＝ ，则∠CFB＝（ ）
αA． +90° B． +45° C．105°﹣ D．180°﹣
α α α α
题型04 三角形内角和与角平分线和高线
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（
）
A．10° B．12° C．13° D．15°
【变式1】如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，
∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（
）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式3】如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求：①∠DAC的度数；②∠DAE的度数．
（2）已知∠C＞∠B，则∠DAE＝ （用∠B、∠C表示）．1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°
2．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B
＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，将△ABC沿AB向右平移得△DEF，则∠F的度数为
（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，
则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置，Rt△DBE的直角边BE恰好平分Rt△ABC的
直角∠ABC，则∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．95° C．105° D．120°
6．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°，如
果∠CAD＝150°，则∠4＝（ ）
A．75° B．80° C．60° D．65°
7．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（ ）A．80° B．95° C．110° D．140°
8．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是
（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
9．我们定义：若一个三角形的两个内角 与 ，满足2 + ＝90°，则这样的三角形称为“奇妙互余三角
形”．已知△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
α β α β
A．10° B．20° C．25° D．50°
10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，
则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）
A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180°
C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°
11．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是 三角形．
12．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB
的度数是 ．
13．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝ ．
14．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝ ．15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG
于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝
∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 ．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE．18．三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种
证明方法．
已知：如图甲， ．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：如图乙，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE＝∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B＝∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B＝180°（ ）．
（1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
（2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
19．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB、CD 和一块含 60°角的直角三角尺 EFG
（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与
∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG
与∠CFG间的数量关系．
20．【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金
角”．
例如： ＝76°， ＝40°， ﹣ ＝36°，则 和 互为“黄金角”，即 是 的“黄金角”， 也是 的
“黄金角”．
α β α β α β α β β α
（1）已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1和∠2互余，则∠1＝ ；
（2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交
AC、CM于D、E两点．
①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，则∠A＝ ；
②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若∠DCN与∠CDN互为“黄金
角”，求∠A的度数；③如图3所示，∠ACM的平分线CH交BE于点H，当∠A和∠BHC互为“黄金角”时，则∠A＝
．
