文档内容
27.2 相似三角形（第3课时）
教学目标
1．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”，并能运用这个判定定理解决简单问题．
2．掌握直角三角形相似的判定方法，能运用直角三角形相似的条件解决简单的问题．
教学重点
理解“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法．
教学难点
“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法的证明．
教学准备
准备量角器、带刻度的直尺和一副三角尺．
教学过程
知识回顾
目前我们学习了哪些判定三角形相似的方法？
【答案】定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似．
利用三边判定三角形相似：三边成比例的两个三角形相似．
利用两边和夹角判定三角形相似：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【设计意图】复习上节课学习的知识，巩固基础，为本节课的学习作准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三
角尺大小可能不同，它们相似吗？【师生活动】学生分小组观察、讨论，得出答案．
有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺相似．
【探究】任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，这时∠C
＝∠C′吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ， ， ，你有什么发现？
【师生活动】教师引导学生画出△ABC和△A'B'C'．
学生独立完成测量、计算，得出答案．
根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′；通过度量、计算可知， ＝ ＝ ．
所以△ABC∽△A′B′C′．
让学生归纳发现的结论，提出猜想．
【猜想】两角分别相等的两个三角形相似．
【追问】你能证明这个猜想吗？
【师生活动】学生给出已知和求证．
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′．学生模仿上节课的证明思路，完成证明过程．
【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，
交A′C′于点E．
∵DE∥B′C′，
∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．
又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴∠B＝∠A′DE．
∵AB＝A′D，
∴△ABC≌△A′DE．
∴△ABC∽△A′B′C′．
【新知】一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两
个三角形相似．
符号表示：
∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′．【设计意图】学生通过自己动手，猜想得出由两组角判定两个三角形相似的方法，并
仿照上节课的证明思路，完成这个命题的证明，运用直观操作和逻辑推理相结合的方式，
提高学生独立分析问题、解决问题的能力．
二、典例精讲
【例1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一点，AE＝5，
ED⊥AB，垂足为D．求AD的长．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．
【答案】解：∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°． 又∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
∴ ＝ ．
∴AD＝ ＝ ＝4．
【归纳】判定相似找两角，隐含条件很重要
已知两个三角形中有一组角对应相等，只要看是否还有另一组角对应相等即可．一般
地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条
件．
【设计意图】通过例1，考察学生是否会利用两组角判定三角形相似，引出“直角三
角形相似的判定方法”．
三、探究学习【问题】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直
角三角形就相似了？
【师生活动】学生自由发言，教师总结．
【答案】由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组
直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
【问题】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一
条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
【师生活动】学生小组讨论，并归纳发现的结论，提出猜想．
【猜想】斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
【追问】你能证明这个猜想吗？
【师生活动】学生先给出已知和求证．
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°， ＝ ．求证
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
教师引导学生分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证 ＝ ＝ ．若
设 ＝ ＝k，则只需证 ＝k．
学生根据分析，完成证明．
【答案】证明：设 ＝ ＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．
由勾股定理，得BC＝ ，B′C′＝ ．
∴ ＝ ＝ ＝ ＝k．∴ ＝ ＝ ．
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
【新知】我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的定理：斜边和一条直
角边成比例的两个直角三角形相似．
符号表示：
∵在△ABC和△A′B′C′中， ＝ ，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
【设计意图】类比判定两个直角三角形全等的“HL”方法，猜想得出由斜边和一条直
角边判定直角三角形相似的方法，并完成这个命题的证明，让学生体会从特殊到一般的方
法，提高推理论证能力．
四、典例精讲
【例2】如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′分别
是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．【答案】证明：∵CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，
∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．
又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，
∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′．
∴∠A＝∠A′．
∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【归纳】直角三角形相似的判定方法：
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
【设计意图】通过例2，考察学生是否掌握直角三角形相似的判定方法．
课堂小结
板书设计
一、由两组角判定三角形相似的定理
二、直角三角形相似的判定方法
课后任务
完成教材第36页练习第1～3题．
教学反思
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