文档内容
27.2 相似三角形（第4课时）
教学目标
1．复习三角形相似的判定方法，并能选取适合的方法进行计算和证明．
2．理解相似三角形的几种常见模型，并能用这些模型解决相关问题．
教学重点
掌握相似三角形的几种常见模型．
教学难点
能够选取适合的模型和判定方法解决问题．
教学过程
知识回顾
三角形相似的判定方法有哪些？
【答案】（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（3）三边成比例的两个三角形相似．
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（5）两角分别相等的两个三角形相似．
新知探究
类型一、平行线型
【问题】1．如图，E是 ▱ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各
式：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ ．其中成立的是
（ ）．A．③ B．③④
C．②③④ D．①②③④
【师生活动】学生独立思考作答，教师讲评总结．
【答案】C
【解析】∵AD∥BC，
∴△AEF∽△BEC．
∴ ＝ ≠ ， ＝ ，故①错误，③和④正确．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△DFC．
∴ ＝ ．
∵AB＝CD，
∴ ＝ ，故②正确．
【归纳】平行线型：如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
【设计意图】通过解答问题1，让学生掌握判定两个三角形相似的基本模型——平行
线型．
类型二、相交线型
【问题】2．如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评．
【答案】解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF．
又∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF．
∴ ＝ ，即 ＝ ．
∴DF＝4．
【问题】3．如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点 E，∠ADB＝
∠ACB．求证 ＝ ．
【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评总结．
【答案】解：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE．
又∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB．
∴ ＝ ，即 ＝ ．
又AB＝AD，∴ ＝ ．
【归纳】相交线型：如图，∠ADE＝∠ABC，则△ADE∽△ABC．
【设计意图】通过解答问题2和问题3，让学生掌握判定两个三角形相似的基本模型
——相交线型．
类型三、“子母”型
【问题】4．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明
△ACP与△ABC相似的是（ ）．
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB D．AB·CP＝AP·AC
【师生活动】学生代表作答，教师讲评．
【答案】D
【解析】选项A：当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△ACP∽△ABC，故本选项不符合
题意；
选项B：当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
选项 C：当 AC2＝AP·AB，即 AC∶AB＝AP∶AC 时，结合∠A＝∠A 可以判定
△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
选项D：当AB·CP＝AP·AC时，不能判断△ACP和△ABC相似．
【问题】5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD．
（1）求∠ACB的度数；（2）若AC＝4，AB＝10，求AD的长．
【师生活动】学生小组讨论，完成解答，教师讲评总结．
【答案】解：（1）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
∵CD2＝AD·BD，
∴ ＝ ．
∴△ADC∽△CDB．
∴∠A＝∠BCD．
又∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°．
∴∠ACB＝90°．
（2）∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴ ＝ ．
又AC＝4，AB＝10，
∴ ＝ ．
∴AD＝1.6．
【归纳】“子母”型：如图，∠ACD＝∠ABC，则△ACD∽△ABC．
【设计意图】通过解答问题4和问题5，让学生掌握判定两个三角形相似的基本模型——“子母”型．
类型四、旋转型
【问题】6．如图，在△ABC与△ADE中， ＝ ，且∠EAC＝∠DAB．求证
△ABC∽△ADE．
【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评总结．
【答案】解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE．
∴∠BAC＝∠DAE．
∵ ＝ ，
∴△ABC∽△ADE．
【归纳】旋转型：如图，∠DAE＝∠BAC，∠ABC＝∠ADE，则△ADE∽△ABC．
如图，连接BD，CE，则△ABD∽△ACE．
【设计意图】通过解答本题，让学生掌握判定两个三角形相似的基本模型——旋转型．
类型五、一线三等角型【问题】7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，
点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B，求证△DCE∽△ABD．
【师生活动】学生小组讨论，尝试解答，教师给予帮助．
【答案】证明：如图，
∵∠ADC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠3，∠1＝∠B，
∴∠2＝∠3．
又AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴△DCE∽△ABD．
【归纳】一线三等角型：如图，在△ABC 和△CDE 中，B，C，D三点共线，且
∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE．
【设计意图】通过解答本题，让学生掌握判定两个三角形相似的基本模型——一线三等角型．
课堂小结
板书设计
一、平行线型
二、相交线型
三、“子母”型
四、旋转型
五、一线三等角型
课后任务
完成教材第42页习题27.2第4～5题．
教学反思
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