文档内容
27.2 相似三角形（第5课时）
教学目标
1．能构造相似三角形解决问题，会综合应用相似三角形的判定解决与圆、函数、动点
有关的问题．
2．经历用相似三角形的判定解决方案问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力．
教学重点
巩固相似三角形的判定方法，并能熟练地运用它们进行计算和证明．
教学难点
综合应用相似三角形的判定解决问题．
教学过程
知识回顾
1．相似三角形需要满足的条件是什么？
【答案】（1）三个角分别相等；（2）三条边成比例．
2．平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？
【答案】基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成
比例．
3．三角形相似的判定方法有哪些？
【答案】（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（3）三边成比例的两个三角形相似．
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（5）两角分别相等的两个三角形相似．
4．直角三角形相似的判定方法有哪些？
【答案】（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
新知探究
类型一、构造相似三角形解决问题
【问题】1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝ AB，
在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE＝___________．
【师生活动】教师引导学生分析：构造以A，D，E为顶点且与△ABC相似的三角形时，
要注意所构造的三角形与△ABC各顶点的对应性．学生小组讨论，完成作答．
【答案】 或10
【解析】（1）如图①，过点D作DE∥BC交AC于点E，
1 1
则△ADE ∽△ABC，
1
∴ ＝ ．
∵AD＝ AB，AC＝15，
∴AE＝ AC＝10．
1
（2）如图②，在AC上取点E，使∠AED＝∠B，
2 2则△AED∽△ABC，
2
∴ ＝ ．
∵AB＝12，AC＝15，AD＝ AB，
∴AD＝8．
∴ ＝ ．
∴AE＝ ．
2
综上可得，AE的值为 或10．
【提醒】在解决与相似三角形有关的问题时，若仅说两个三角形相似，并未明确顶点
的对应性时，则应注意分情况来构造相似三角形，不要出现漏解现象．
【设计意图】通过解答问题1，让学生学会构造相似三角形解决问题，体会分类讨论
的思想．
类型二、相似三角形的判定与圆的综合应用
【问题】2．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．【答案】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠C＝∠DBE．
在△AEC和△DEB中，∠C＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB．
（2）解：∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，
∴BE＝AE＝ AB＝4．
∵△AEC∽△DEB，
∴ ＝ ．
即 ＝ ，
∴CE＝8．
∴CD＝10．
∴⊙O的半径为5．
【归纳】判定圆中相似三角形的策略：
对于判定圆中相似三角形的问题，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利
用“同弧或等弧所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法．
【设计意图】通过解答问题2，让学生学会解决相似三角形与圆的综合应用问题，发
展推理论证的能力．
类型三、相似三角形与函数的综合应用
【问题】3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1
个单位长度的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位长度的速
度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x s(0＜x≤3)，
解答下列问题：
（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数解析式表示S；当x为何值时，S有最值？并
求出最值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．【师生活动】教师提示：正确构建面积S与x的函数解析式是求面积S是否有最值以
及求最值的前提；根据QP⊥DP的条件，将x是否存在的问题转化为三角形相似问题．学
生小组讨论，完成作答．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3．
当运动x s时，则AQ＝x，BP＝x，
∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x．
∴S ＝ AD·AQ＝ ×4x＝2x，S ＝ BQ·BP＝ (3－x)x＝ x－ x2，
△ADQ △BPQ
S ＝ PC·CD＝ (4－x)×3＝6－ x．
△PCD
又S ＝AB·BC＝3×4＝12，
矩形ABCD
∴S＝S －S －S －S
矩形ABCD △ADQ △BPQ △PCD
＝12－2x－ －
＝ x2－2x＋6
＝ (x－2)2＋4，
即S＝ (x－2)2＋4，
∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2．
∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大．
又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S＝ ，
但在x的取值范围内取不到x＝0，
∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在．理由如下：
由（1），知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，
当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC＝90°，
∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C．
∴△BPQ∽△CDP．
∴ ＝ ，即 ＝ ．
解得x＝ （舍去）或x＝ ．
∴当x＝ 时，QP⊥DP．
【设计意图】通过问题3，将新知识与已学知识相结合，让学生学会解决相似三角形
与函数的综合应用问题，提升学生分析问题、解决问题的能力．
类型四、应用相似三角形判定定理解决动点问题
【问题】4．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿边AB向
点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果点
P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【师生活动】学生独立思考作答，教师指导、总结．
【答案】解：设经x s△PBQ与△ABC相似，则AP＝2x cm，BQ＝4x cm．
∵AB＝8 cm，BC＝16 cm，
∴BP＝AB－AP＝(8－2x)cm．
∵∠B是公共角，有两种情况：
（1）当 ＝ 时，△PBQ∽△CBA，
∴ ＝ ，
解得x＝0.8；（2）当 ＝ 时，△PBQ∽△ABC，
∴ ＝ ．
解得x＝2．
∴点P，Q分别从点A，B同时出发0.8 s或2 s时，△PBQ与△ABC相似．
【归纳】解决动态型几何问题时，常在“动”中求“静”，寻找符合条件的瞬间，利
用分类讨论思想抓住问题的关键，逐一击破．
【设计意图】通过问题4，让学生学会用相似三角形的判定解决动点问题，巩固学生
对相似三角形的判定方法的掌握，拓展数学思维，进一步发展推理论证的能力．
类型五、应用相似三角形判定定理解决方案问题
【问题】5．要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为
50 cm，60 cm，80 cm，另一个三角形教具的一边长为20 cm，请问怎样选料可使这两个三
角形教具相似？想想看，有几种解决方案？
【师生活动】学生小组讨论、尝试作答，教师指导、总结．
【答案】解：（1）当20 cm的边长的对应边为50cm时，
∵50∶20＝5∶2，且一个三角形教具的三边长分别是50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形教具对应的三边长分别为20 cm，24 cm，32 cm；
（2）当20 cm的边长的对应边为60 cm时，
∵60∶20＝3∶1，且一个三角形教具的三边长分别是50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形教具对应的三边长分别为 cm，20 cm， cm；
（3）当20 cm的边长的对应边为80 cm时，
∵80∶20＝4∶1，且一个三角形教具的三边长分别是50 cm，60 cm，80 cm，
∴另一个三角形教具对应的三边长分别是 cm，15 cm，20 cm．
∴选料有三种方案．
【设计意图】通过解答问题5，让学生学会应用相似三角形判定定理解决方案问题，
进一步体会分类讨论的思想．
课堂小结板书设计
一、构造相似三角形解决问题
二、相似三角形的判定与圆的综合应用
三、相似三角形与函数的综合应用
四、应用相似三角形判定定理解决动点问题
五、应用相似三角形判定定理解决方案问题
课后任务
完成教材第44页习题27.2第13～14题．
教学反思
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