文档内容
27.2 相似三角形（第2课时）
教学目标
1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相
似”，并能运用这两个判定定理解决简单问题．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论
的过程，提高推理论证能力．
教学重点
理解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相
似”，并会用这两个定理判定三角形相似．
教学难点
判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形
相似”的证明．
教学准备
准备量角器、圆规、带刻度的直尺和一把剪刀．
教学过程
知识回顾
1．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
【答案】全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，
而相似三角形不一定是全等三角形．
2．平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？
【答案】基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成
比例．3．上节课学习了哪些判定三角形相似的方法？
【答案】定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似．
【设计意图】复习上节课学习的知识，巩固基础，为本节课的学习做好准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】判定三角形全等的方法有哪些？
【师生活动】学生独立思考，得出答案．
SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
【问题】类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形
相似呢？
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，
度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
【师生活动】教师引导学生任意画△ABC，取一个便于操作的k值（如 ，2，3等），
得到△A'B'C'的三边长，作出△A'B'C'．
教师指导学生用量角器测量或把画好的三角形裁剪下来，比较这两个三角形的对应角
的度数，得出答案．
通过度量可知，两个三角形的对应角相等；又由题意可知，两个三角形的边对应成比
例，所以这两个三角形相似．
让学生归纳发现的结论，提出猜想．
【猜想】三边成比例的两个三角形相似．
【设计意图】通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维
方式，让学生猜想得出由三边判定三角形相似的方法．
【追问】你能证明这个猜想吗？
【师生活动】学生先给出已知和求证．如图，在△ABC和△A′B′C′中， ＝ ＝ ．求证△ABC∽△A′B′C′．
学生结合图形交流讨论，当学生没有思路时，教师用前面剪出的△ABC与△A′B′C′的
纸片为模型，将较小的△ABC放置于较大△A′B′C′上（学生取的k值不同，可能会出现多种
图形，但证明的本质是相同的），点A与点A′重合，点B在边A′B′上，记为点D，点C在
边A′C′上，记为点E．
学生直观发现DE∥B′C′，进而得到△A′DE∽△A′B′C′．
教师提示学生：△A′DE是证明的中介，它把△ABC与△A′B′C′联系起来．学生根据教
师的提示，整理出证明过程，教师总结．
【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，
交A′C′于点E．
∵DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′．
∴ ＝ ＝ ．
又 ＝ ＝ ，A′D＝AB，
∴ ＝ ， ＝ ．
∴DE＝BC，A′E＝AC．∴△A′DE≌△ABC．
∴△ABC∽△A′B′C′．
【新知】由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形
相似．
符号表示：
∵在△ABC和△A′B′C′中， ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【设计意图】让学生在操作中发现解决问题的方法，体会转化的思想，提高分析问题、
解决问题的能力．
【问题】类似于判定三角形全等的SSS方法，我们证明了三边对应成比例的两个三角
形相似．那么类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角
形相似呢？
任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′， ＝ ＝k，量出BC及
B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量这两个三角形另外两组角，它们分别相等吗？
这两个三角形相似吗？
【师生活动】教师引导学生画出△ABC和△A'B'C'．
学生独立完成测量、计算，得出答案．
通过度量、计算可知， ＝ ＝ ＝k；通过度量可知，∠B＝∠B′，∠C＝
∠C′，所以这两个三角形相似．
教师引导学生归纳发现的结论，提出猜想．
【猜想】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．【追问】你能证明这个猜想吗？
【师生活动】学生先给出已知和求证．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ＝ ．
求证：△ABC∽△A′B′C′．
学生模仿上一个定理的证明，讨论证明思路，并完成证明过程．
【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，
交A′C′于点E．
∵DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′．
∴ ＝ ．
又 ＝ ，A′D＝AB，∴A′E＝AC．
又∠A′＝∠A，∴△A′DE≌△ABC．
∴△ABC∽△A′B′C′．
【新知】由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相
等的两个三角形相似．
符号表示：
∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ＝ ，
∴△ABC∽△A′B′C′．【设计意图】运用类比的思维方式，根据前面探究的经验，让学生猜想得出由两边和
夹角判定三角形相似的方法，并仿照上一个猜想的证明思路，完成这个命题的证明．
【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果 ＝ ，∠B＝∠B′，这两个三角形一定
相似吗？
【师生活动】学生尝试画图，小组讨论，找出反例．
如图，△ABC与△A′B′C′相似；△ABC与△A′B′C′′不相似．
【答案】对于△ABC和△A′B′C′，如果 ＝ ，∠B＝∠B′，这两个三角形不一
定相似．
【设计意图】学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条
件的理解与记忆．
二、典例精讲
【例1】根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：
AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，
A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．
【答案】解：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
∴△ABC∽△A′B′C′．
【思考】这两个三角形的相似比是什么？【师生活动】学生独立思考，回答：这两个三角形的相似比是 ．
【归纳】利用三边成比例判定三角形相似的步骤：
第1步：排序，即将三角形的边按大小顺序排列；
第2步：计算，即分别计算三边的比值；
第3步：判断，即看比值是否相等来判断两个三角形是否相似．
【设计意图】通过例1，考察学生是否会利用三边判断三角形相似．
【例2】根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：
∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，
∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．
【答案】解：∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【思考】这两个三角形的相似比是什么？
【师生活动】学生独立思考，回答：这两个三角形的相似比是 ．
【归纳】利用两边和夹角判定三角形相似的方法：
（1）找到两个三角形中相等的角；
（2）分别找到两个三角形中夹这个等角的两条边，并按大小顺序排列；
（3）看这两组边是否成比例，若成比例，则两个三角形相似，否则不相似．
【设计意图】通过例2，考察学生是否会利用两边和夹角判断三角形相似．
课堂小结板书设计
一、由三边判定三角形相似的定理
二、由两边和夹角判定三角形相似的定理
课后任务
完成教材第34页练习第1～3题．
教学反思
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